几何概型与互斥事件

1、全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)几何概型与互斥事件【考情分析】考试要求1 几何概型，A级要求；2互斥事件，B级要求.了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解 决问题.对于比较复杂的概率问题，可利用其对立事件求解，或分解成若 干小事件 利用互斥事件的概率加法公式求解.【知识清单】1. 几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一 个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型

2、.2. 概率计算公式d的测度域d内在几何区域D中随机地取一点，记事件 该点落在其内部的一个区为事件A,贝y事件A发生的概率P(A)二P的测度.3. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件-4. 如果事件A、B互斥，则事件A + B发生的概率等于事件力、B分别发生的概率的和，即卩P(A + E)二P(A) + PQB).5. 一般地，如果事件Ai, A2,，An两两互斥，那么P(A1 + A2+ An)二 P (Al)+ P(A2)+- + P(AQ -6若两个互斥事件必有1个发生，则称这两个事件为戒立畫性再事件A的对立事件记作A,贝J P(A) + P(A) = 1, P(A)= 1 P(A).【

3、课前预习】1,0上的概率1在区间1,3上任取一点，则此点落在区间 为1解析：1,0的区间长度为1, 1,3的区间长度为4,二P二42. （必修3Pu5练习2改编）一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任 取2 件.恰有1件次品和恰有2件次品；至少有1件次品和全是次品；至少有1件正品和至少有1件次品；至少有1件次品和全是正品.以上各组事件中是互斥事件的序号是答案： 解析：中的两事件互 斥，中的两事件不互斥.3. （必修3Puo习题7改编）一只小球在图所示的方砖上自由滚动，最终 停在涂色方砖的概率为解析：由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题这只小球在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖

4、共9块，停2在涂色方砖的概率为9-4. 中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，31甲夺得冠军的概率为3,乙夺得冠军的概率为4那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 答案：n解析：设事件A为甲夺得冠军”事 件B为乙夺得冠军”则P(A)31=3, P(B)二4,因为事件A和事件B是互斥事件.3119-P (A + B)= P (A) + P(B) =7+4= 28.5.(必修3Piio习题3改编)在面积为S的八ABC的边AB上任取一点P,S则厶PBC的面积大于S的概率是答案：AP， 3解析：如下图，在AE边上取点P,使一二4,则P只能在AP内运AP， 3动，则所求概率为P二AP

5、 = 4.【典型例题】目标1几何概型例1已知半圆0的直径AB为2R,在半圆弧上随 机地取一点M,过M作平行于AB的弦MN,求使丨MN vR的概率.全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）解析：在半圆弧AB上取三等分点P、Q,则PQ二R,记MN vR”为事件A,取弧PQ上一点M，过M作平行AE的弦MN,则|MNR,而弧PQ的 弧长是半圆弧AB的| 所以由几何模型的概率计算3公式得:P(A21Am 4.【借题发挥】变式1若条件变为在半圆内随机地取一点S,过S作平行于AB的弦MN ,结果如何？解析：在半圆弧AB上取三等分点P、Q,当S取在弓形PQ内，即如图所示的阴影部分时所作的弦MN

6、的长小于R.故由几何模型的概率计算公式得:732兀一12 ( 6 2弓形PQ的面积 _13j3变式2若条件改为在垂直于半圆直径AB的半径0C上任取点S,过S作平行于AB的弦MN ,P (结果又如何?A)二半圆0的面积二-TIR解析：在半圆弧AE上取三等分点P、Q,连接PQ,记PQ与0C交于点T,则S取在线段CT上时所作的弦MN的长小于半径R,易求 0T/23r , |CT|= （i_） r.故由几何模型的概率计算公式得：p （A）二空二1 oC 1【规律方法】几何概型的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。其中事件A的概率的

7、计算公式为：（A）构成事件A的测度（长度、面积或体积P二试验的篷揶结果所构成的测度（长度、面积或体积等） 。背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的。因而在解决几何模型的概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性，找到合适的度量方法，才能真正解决问题。【同步拓展如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA, 0B为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，贝眦点取自阴影部分的概 率是全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)2答案：I-2n2 ny 2解析：设扇形的半径为2,则其面积为 七一二n记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1,

8、另外三段圆弧围成的阴影面积为S2,是S1二2 人扌一 1)二 n- 1, S2= n2-2 弓+ 2- 1= 2- 1 ,故阴影部分总面积为2X(2- 1)= n_ 2,因此任取一点，此点取自阴影兀一 22部分的概率为=1-2.nn目标2古典概型与几何概型的区别与联系例2设关于x的一元二次方程X2 + 2ax + b2= 0,其中a, b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.(1) 若随机数 a, b 1 , 2, 3, 4；(2) 若a是从区间0 , 3中任取的一个数，b是从区间0, 2中任取的一个数.解析：设事件A为 方程x2+2ax+ b2 = 0有实根”当aQb

9、0时，方程* + 2ax + b2= 0有实根的充要条件为a约.2), (1, 3), (1, 4), (2,1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3,1), (3, 2), (3, 3), (3,(1)基本事件共有16个：(1 , 1), (1,4),(4, 1),(4, 2),(4, 3),(4,4),其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含10个基本事件，故事件A发生的概率为10 5 P 二 16二&(2)试验的全部结果所构成的区域为 (a, b) 0 a手3W b 2 构成事件A的区域为 (a , b) |0a,0bW2ab即如图的阴影区域所示，0 2

10、3 if3 * 2 2 怎 $ 2所以所求的概率为P(A)二一33、幺【借题发挥】变式设关于x的一元二次方程X2 4- 2ax+ b2= 0,其中a, b是 某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率.(1)若a, b分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数.r 0若随机数笃满足不等式组log解析：(1)甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在事件A中包含21个基本事件，故事件A发生的概率217为 P(A)二 31= 12.0(2)不等式组L6表示的区域的面积为Si = 36,事件A的区域的面积为S2二1&所以所求的概率为P (A) =S2=36=1【规律方法】一

11、般地，若一个随机事件需要两个连续变量来描述，用 这两个变 量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利 地建立与面积有关 的几何概型.若一个随机事件需要两个离散变量来描述，用这两个变量的有序全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）实数对来表示它的基本事件，利用古典概型求解事件的概率【同步拓展已知一次函数f(x)二mx+ n分别在下列条件下，求函数图象经 过一、二、三象限的概率.(1) 设 m -2,- 1, 123, -2, 3；jm+n-l0(2) 实数m, n满足条件4 lml(一 ln 1.解析：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(一2,-2), (-2, 3),

12、(-1, - 2), (- 1,3), (1 , - 2), (1,3), (2, 2), (2,3), (3,2), (3, 3),共10个基本事件，设函数图象经过一、二、三象限的事件为A,则A包含的基本事件有：(1,3), (2, 3),3(3, 3),共3个基本事件，所以，P (A)=-Q+n 1Q(2) m、n满足条件lml的区域如图所示：(一 ln0, n0,故使函数图象过一、二、三象限的(m, n)的区域为第一象限的阴影12 1 部分，二所求事件的概率为p二7二7.目标3互斥事件2全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)例3 盒中装有各色球10个，其中4个红球、3个

13、黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：(1) 取出的这个球是红球或黑球的概率；(2) 取出的这个球是红球或黑球或白球的概率解析：记事件Ai二任取1个球为红球” ；A2二任取1个球为黑球”；A3=任取 1 个球为白球”,则 P(Ai)=0. 4, P (A2)=0. 3, P(As)=0. 2,根据题意知，事件Al, A2, A3彼此互斥，由互斥事件概率的加法公式，得(1) 取出1个球为红球或黑球的概率P (Ai+A2)=0. 3+0. 4=0. 7;(2) 取出1个球为红球或黑球或白球的概率P (A1+A2+A3) =P (Ai) +P (A2) +P (Ab) =0. 4+0. 3+

14、0. 2=0. 9.【规律方法】1.利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤是:(1)要确定这些事件彼此互斥;(2) 这些事件中有一个发生；(3) 先求出这些事件分别发生的概率，再求和.2. 概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题该公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用如果事件A, B不互斥，就不能应用公式P (A+ B) = P(A)+ P0B)来求概率.【同步拓展】由统计分析得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率 如下：排队人数012345人以上概率00. 10.00.0. 0416331求：(1)至多有2个排队的概率；(2)至少有2个排队的概率.解

15、析：(1)设没有人排队”为事件A ,“1个人排队”为事件B, “2个人排队”为事件 C,贝 J P (A) =0. 1, P(B)=0. 16, P(C)=0. 3 由题 意知，A、B. C彼此互斥，所以至多2个人排队的概率 为： P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0l+016+03=056,即 至多有 2 个人排队的概率是056.(2)设至少2个排队为事件D,则d为至多1个人排队”即D 二A+B ,因止匕 P(D) =1 -P(D) =1 -P(A +B) =1 -P (A) -P (B) =1 _0. 1 -0. 16 =0.74 即至少有2个人排队的概率是0. 74.【归纳

16、分析】1. 对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率.2. 分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个.3. 求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法；一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)二l-P(A).若

17、解决 至少”至 多”型的 题目用后一种方法就显得比较方便解题时需注意全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）斥事件”与对立事件”的区别与联系，搞清楚互斥事件”与等可能 性事件”的差异.【课后作业】1在水平放置的长为5 m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端 距离都大于2 m的概率是.1答案:5解析：这是一个几何概型，其概率就是相应的线段CD、AE的长度的比值， P二5AC DJff2若A, B为互斥事件,P(A)二 0. 4, P(A + B)= 0.7,贝 J P(B) =答案：0.3 解析:- A, B 为互斥事件， P(A+ B)= P(A) + P(B), P(B) =

18、 P 64 + B) P(A)= 0. 7- 0. 4= 0. 3.3. 广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得岀结论，他任意时间打开电视机看该台节9目，看不到广告的概率为10,那么该台每小时约有分钟的广告.答案:69解析：60X1 50）二6分钟.口袋内装1个球，4有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸岀摸出红球的概率为0. 42,摸出黄球的概率是0. 28.若红球有21个，则蓝球有个.答案：15全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)解析：根据对立事件的概率计算公式得 摸出蓝球”的概率为1_0.42-. 28=.3, 口 袋内装有红球黄

19、球和蓝球的总数为需二5，则 蓝球有50x0.3=15个.5. 欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见 行行出状元”，卖油 翁的技艺让人叹 为观止若铜钱的形状是直径为3cm的圆，中间有边长为lcm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油 滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是 答案：-解析：根据几何概型知P 二 二 4(I) 2 9冗6. 某射手射击，至少击中6环的概率是0. 7,至多击中6环的概率是0. 6,则他击中6环的概率为答案：0.3解析：设事件 击中6环”为事件A,击中7或8或9或10环”为事击中1或2或3或4或5环”为事件

20、C,P(A )+ P(B )=0.7据题意可得：“P(A )+ P(C )=0.6P(A )中 P(B )中 P(C ) = 1解得 P(A)=0. 3,即该射手击中6环的概率为037. 某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7: 307: 50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比 小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答)答案：32解析：设小张到校的时间为X,小王到校的时间为y, (X, y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Q二(X, y)閉八罟，罗今晋，这是一个正方形区域，面积为111 Sq= 3%=9.事件A表示小张比小王早到5分

21、钟，所构成的区全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编(附详解)115471547域为A二 (X, y) x- y12,迈夯，在，2爭气 ,即图中的阴 影111 1部分，面积为Sa二2厂二32.这是一个几何概型问题，所以Sa 9P (A)二Saa二32.8.抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a,第二次出现点数记为b,则直线ax+ by二0与直线x + 2y+ 1二0有公共点的概率为11答案：11解析：设 直线ax+ by= 0与直线x+2y+ 1 = 0有公共点”为事件A, 则A为它们无公共点”，

22、1 a 1T k= 一 2,二 b二 2, ； a二 1, b= 2 或 a2 二 2, b二 4 或 a = 3, b=6,全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）-31111二 P（A）二36二祛二 P（A）= -12二P.9.在等腰直角三角形AEC中，过直角顶点C在/ ACB内部任作一射线CM,与线段AB交于点M,求AM AC的概率.解析：如图，过点C在/ ACB内任作射线CM ,则射线CM在/ ACB内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是/IA一ACB的大小，即90。在AB上取AC18015=AC ,贝 J Nacc二 =67.5记 “AM 2，故 AC AC 为事件食则事件人的概率卩（厲二詈10设0为坐标原点，点P的坐标（X-2, x-y）（1）在一个盒子中，放有标号为1, 2, 3的二张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为X, y,求| OP |的最大值，并求事件“丨0取到最大值”的概率；（2）若利用计算机随机在0, 3上先后取两个数分别记为X, y,求P点在第一象限的概率.解析：（1）记抽到的卡片标号为（X, y），所有的情况分别为，(X, y)(1,(1,(1,(2,(2,2)(2,3)(3,(3,2)(3,3)1)2)3)1)1)P( X-2,(-1(-1 ,