(2021年整理)东北大学历年期末高等数学试题

1、东北大学历年期末高等数学试题东北大学历年期末高等数学试题 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（东北大学历年期末高等数学试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为东北大学历年期末高等数学试题的全部内容。八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分,每小题4分)1已知2设函数，当a= ，b=

2、 时,f(x)在x=1处可导.3方程共有 个正根。4当 时,曲线的曲率最大.5 .二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1下列结论中，正确的是（ ）（a)若,则；(b）发散数列必然无界；（c）若，则；（d)有界数列必然收敛。2函数在处取得极大值,则必有（ ）。(a）; （b）；（c)或不存在； （d）且.3函数在上可导的充分条件是：在上（ )（a）有界; （b）连续； （c）有定义； （d)仅有有限个间断点。4设,，则必有关系式（ ）（a） ；（b）；（c）；（d）。5设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，则必有（ ）。（a）是极值点，不是拐点； （b）是极值点，不一定是拐点；

3、（c）不是极值点，是拐点； （d）不是极值点，不是拐点。6直线与平面的位置关系是（ ）（a)与平行但不在上； （b）与垂直相交； （c)在上; （d）与相交但不垂直。6微分方程的特解形式为（ ）（a）; （b）；（c）； （d） 三、计算下列各题（每小题7分,共28分）1计算2求3设,求。4求。四、解答下列各题（每小题7分,共21分）1在半径为r的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。2计算由椭圆所围成的图形的面积以及此图形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。3在由平面和平面所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点.3在曲线上每一点处切线在y轴上的

4、截距为,且曲线过点.求此曲线方程.五、（7分)设函数在上连续，在（0，3）内可导，且有.试证：必有使.答案 一、1。ln3；2.a=1,b=2；3。1；4.;5.1.二、1。a；2。c；3。b；4.d；5。c；6.a。三、1.;2.；3.;4.。四、1. ，;2.；九、高等数学试题 2006/1/10一、选择题（本大题24分,共有6小题,每小题4分）1下列结论中，正确的是 （a）有界数列必收敛； (b）单调数列必收敛；（c）收敛数列必有界;（d）收敛数列必单调。2。设函数f(x）在u(x0，d）内有定义，对于下面三条性质: f(x）在x0点连续； f（x)在x0点可导;f(x)在x0点可微.若

5、用“p q表示由性质p推出性质q，则应有 (a） ；(b) ；(c）； (d） 。3.曲线 （a)既有水平渐近线，又有垂直渐近线;（b)仅有水平渐近线;（c)仅有垂直渐近线；(d）无任何渐近线。4。设函数 f（x)在a，b上有定义，则存在的必要条件是 (a） f（x)在a,b上可导;(b) f(x)在a,b上连续；（c) f(x）在a，b上有界;（d) f(x)在a，b上单调.5. y = y(x)是微分方程y + 3y=e2x的解，且y（x0) = 0，则必有 (a) y（x）在x0某邻域内单调增加； (b) y（x)在x0某邻域内单调减少;（c） y(x)在x0取极大值；(d) y（x）在

6、x0取极小值.6。若f(x）的导函数是sinx，则f(x）有一个原函数是 （a) ； （b） ； (c) ； （d） 。二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题， 每小题4分， 共36分） 1. 2。_。 3。. 4。_。5。 6.7。 8.9。三、(8分）计算不定积分。四、（8分)求曲线的升降区间， 凹凸区间及拐点。五、（8分)求微分方程的通解。六、(10分）在0，1上给定函数，问为何值时，如图所示阴影部分的面积与的和最小，何时最大？并求此时两图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。七、（6分)设，且不恒为常数,。试证:一、1（c） 2.(a) 3.（a ） 4 。（c）. 5。(d)

7、6。 （b) 二、1. 2。 3。 4. 5。6。 7. 8。 9。9*。三、 四、内为上升曲线. 所以凸区间为 , 凹区间为 ， 拐点为. 五、. 六、最小 所求体积为 = 十、高等数学试题 2007/1/14一、选择题(本大题20分，共有5小题,每小题4分）1设数列xn收敛，yn发散，则必有 成立。 （a)存在； （b）存在;（c)不存在;（d)存在。2.设 则x = 0是f(x）的 .（a）可去间断点；（b) 跳跃间断点;（c） 无穷间断点； （d） 连续点。3.设x在点x0处有增量dx，函数y = f （x)在x0处有增量dy，又f (x0） 0,则当dx0时，dy是该点微分dy的 （

8、a)高阶无穷小;（b） 等价无穷小；（c) 低阶无穷小；（d） 同阶但不是等价无穷小。4。设f(x)在（-， +)上二阶可导且为奇函数，又在(0， +)上f （x0) 0，f （x0) 0,则在（-， 0）上必有 (a) f （x0) 0， f （x0) 0；（c） f （x0) 0, f （x0） 0；（d） f (x0) 0， f (x0) 0。5.设,，则有关系式 成立。（a)g a b； （b) a g b ;（c) g b a;(d） b a g.二、填空题(将正确答案填在横线上，本大题共6小题， 每小题4分， 共24分） 1. 2.方程x5 5x 1 = 0在（1, 2)内共有_个

9、根. 3。_。4. 5。球体半径的增长率为0.02m/s,当半径为2 m时，球体体积的增长率为_。6。微分方程y + 2y - 3y = 0的通解为y = _。 三、计算题（6分4 = 24分)1.设2.求.3。求。4求微分方程（x y)ydx x2dy = 0的通解。 四、（10分)设y = xe-x （0 x 0， 试证：$x（a， b)，使f (x) = 0.答案：一、1(c） 2.(a） 3.（b ） 4 .(d）. 5。(a) 二、1. 2。1 3. 4。 5. 0.32p 6。c1e-3x + c2ex.三、1。 9。 2。. 3. 。 4. 四、极大值， 拐点,面积，体积。五、.

10、 六、a = 2, b = -1， 。十、高等数学试题 2008/1/14一单项选择题(本题共4小题，每小题4分，共计16分）1数列，当时,是 (a） 无穷大；(b) 无界但非无穷大；(c) 无穷小； （d) 有界但非无穷小2设，则 (a) 2n； （b) ；（c) ； (d) 3设，则为 （a) 正常数； (b) 负常数； (c） 恒为零 （d） 不为常数 4设y=是方程的解，且，则在 （a) 的某个邻域内单调增加； （b） 的某个邻域内单调减少; （c） 处取极小值； (d) 处取极大值二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共计16分）1。 在处的切线方程是 2. 一个圆锥形容器，深度为1

11、0m,上面的顶圆半径为4m,则灌入水时水的体积对水面高度的变化率为 3曲线的拐点为 4满足微分方程初值问题 的解为 三、(7分）设 试研究函数在上是否满足拉格朗日中值定理的条件。四、计算下列各题(本题共6小题，每小题6分，共计36分）1. 。2. 。3。 设， 计算4。 计算积分 5. 计算积分6. 求微分方程的通解五、（7分）由曲线,围成曲边三角形，其中a为与的交点，b为与的交点在曲边上求一点，过此点作的切线，使该切线与直线段，所围成的三角形面积为最大六、（7分)求心形线与圆所围图形公共部分。七、（7分）设当时，可微函数满足， 。1。 求；2. 证明:当时，八、（4分)设在上二阶可导，且，证

12、明答案：一、1。 b. 2. a. 3. a。 4.c. 二、1。 。 2. . 3. （2，12）. 4。. 四、1.2。 2.1, 3. ， 4. 5. , 6. . 五。 。 六. . 七。提示:两边求导解微分方程。八提示：在处的一阶taylor公式为十一、高等数学试题 2009/1/16一单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）1f (x0) = 0, f （x0） 0是函数y = f （x)在x0 = x0处取得极小值的一个 （a） 必要充分条件；(b） 充分条件非必要条件；（c） 必要条件非充分条件; （d） 既非必要条件也非充分条件2设c为任意常数，且f(x） = f

13、(x）， 则 （a） ； （b） ;（c） ； （d) 3设x 0时，(1 cosx)ln（1 + x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n = (a） 1； （b) 2； (c） 3; （d） 4 4设函数f (x）在区间（a， b）内可导,x1 , x2是(a, b）内任意两点，且x1 0， b 0； (c） a 0， b 0； （d） a 0， b 0二、填空题（本题共小题，每小题分，共计1分）1. 已知在处连续,则a = 2. 设函数f （x)可导，y = f (sin2x)，则dy = 3函数f (x) = ex的阶麦克劳林公式为 4质点以速度t

14、sint2（米秒)做直线运动,则从时刻（秒）到（秒）内质点所经过的路程等于(米)5以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为三、（分）设函数 ，求f (x)。四、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分，共计36分)1. .2。 .3。 设函数y = y（x）由y = 1 + xey确定,求4. 设函数f （x）连续，且，求f (7）5. 的通解五、(8分）求解微分方程的初值问题：六、（分）设函数，计算.七、（分)在抛物线y = x2 + 1（x 0）上求一点p，过p点作抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小八、(8分)设函数f （x）在1,

15、 +）上连续，由曲线y = f (x）,直线x = 1, x = t （t 1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为，又已知，求f （x).九、（分）设函数y =在(-1, 1)内具有二阶连续导数且，(1)证明对于(-1， 1)内任一x 0， 存在惟一的q （x) （0, 1），使f (x） = f (0） + xf q （x）x成立;(2)求答案：一、1. b。 2. a. 3. b. 4.c. 5。 d 二、1. 。 2。 。 3. 。 4。. 5。y + 4y = 0。三、四、1。2. ， 3。 , 4。 五. y = x3 + 3x + 1。 六. 。 七。 八十二、高

16、等数学试题 2010/01/16一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1x = 0是函数的 间断点（a) 可去；（b） 跳跃；（c) 震荡； (d) 无穷2设 f (x) = 2x， 则 = （a） ln2； (b) ； (c） 2； (d） 3函数，则f （x） = （a） 正常数; (b) 负常数； （c） 零； (d) 非常数 4设y1 , y2是二阶线性方程y + p(x)y + q(x)y = 0的两个解， 那么y = c1y1 + c2y2 （c1， c2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是 (a） ； （b） ; (c) ； (d） 5若f （x）在a, b上有

17、二阶导数，且f （x） 0, 能使不等式成立的是(a)f (x） 0, f (x） 0； （c) f （x） 0, f （x) 0二、填空题（本题共6小题，每小题4分,共计24分）1。 若函数在处连续，则a = 2。 函数 在内的极小值为 3函数f (x）在(-, +)是可导的偶函数，且 则y = f (x)在点(-3， f (-3)）处的切线斜率为 4若，则f （1) =5若f （x)在上连续，则6若方程y + y tanx = -2cos2x有一个特解y = f (x), 且f (0） = 0， 则三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分)1. 若 (a 0）, 求。2。 求

18、极限。3。 计算不定积分4. 计算定积分5若，求6如果y = f (x)满足，且f （1) = 1， 求f （x）四、（8分）摆线(a 0)的第一拱(0 t 2p）， 求（1）该摆线的弧长;（2）该摆线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积五、（分）若j （x)连续，且满足方程,(1）写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；(2)求j (x）.六、（4分)若f (x)在0, a上连续，且，证明至少存在一点x(0， a),使得。答案：一、1。 a。 2。 b. 3. a。 4。d. 5。 d 二、1. . 2. . 3。 。 4.2。 5.0 6。 -2。三、1。 。2. , 3. ，

19、 4。6, 5. 6。 十三、高等数学试题 2011/01/14一单项选择题1x = 0是函数的 间断点(a) 可去；（b） 跳跃；（c) 震荡； (d) 无穷2下列结论中,正确的是 （a）有界数列必收敛； (b）单调数列必收敛;（c）收敛数列必有界；(d）收敛数列必单调.3设c1, c2是任意常数， 则函数y = c1ex + c2e-2x + xex满足的微分方程式 （a) y + y - 2y = 3ex; （b) y + y - 2y = 3xex； (c) y - y - 2y = 3xex; （d) y - y - 2y = 3ex 4设函数设f (x）在(-， +)内连续，其导函

20、数f (x）的图形如下所示， 则f (x）有 (a） 一个极小值点和两个极大值点； （b） 两个极小值点和一个极大值点； (c） 三个极小值点和一个极大值点； （d) 两个极小值点和两个极大值点5设f （x)连续，f (0） = 0， f (0） 0， ， 且当x 0时,f (x)与xk是同阶无穷小， 则k = （a）1; (b）2; (c）3; (d)4二、填空题1。 设y = lnx, y（n)（1) = 2。 3 4位于y轴右侧，x轴上方,曲线下方的平面图形的面积为5水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面,顶部与水面相齐，则闸门所受到的水压力为三、计算下列各题1

21、。 求极限。2. 求函数。 的导数.3。 求4. 确定曲线的凹凸区间与拐点四、求下列积分12 五、解微分方程1。求解初值问题2求的通解.六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高七、设f (x)在0, 1上可微,且，证明至少存在一点x(0, 1),使得。答案:一、1。 b。 2。 c. 3。 a。 4。d。 5. c 二、1. 。 2。 arcsinex + c。 3. . 4. . 5. 24g(kn)。三、1。 。2. ， 3. ， 4。拐点四、1。 .2. 五、1。 。2. 六、。 十四、高数2012/01/09一、单项选择题 1若f (x)在(-，+)内可微，当dx

22、 0时,在任意点x处的dy - dy是关于dx的 (a）高阶无穷小； （b)等价无穷小;(c)同阶无穷小；（d)低阶无穷小. 2 (a)等于5； (b）等于0；(c）为+；(d)不存在但不为。 3，其中a2 + c2 0, 则必有 (a）b = 4d; (b） b = -4d；（c） a = 4c;(d） a = -4c。二、计算 1求星形线在时的切线方程。 2求 (a 0）。 3求. 4求解初值问题。 5设f (x) c -a， a （a 0)， 证明：，并计算。 6确定常数a和b，使得当x 0时，f （x) = x (a + bcosx）sinx是关于x的5阶无穷小。 7求序列的最大项。三

23、、计算由椭圆所围平面图形绕x轴旋转一周而成的椭球体的体积。四、函数,判断函数f (x）在x = 0处是否可导，如不可导请给出理由；如可导，请求出一阶和二阶导数，并对n （n 3)阶导数值给出猜测。五、设物体a从点（0，1)出发以常速度v沿y轴正向运动，物体b以常速度2v从点(-1，0）与a同时出发，方向始终指向a,建立物体b运动轨迹所满足的微分方程。六、证明:对于每个正整数n，。七、f (x)是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，并且对任意实数x，f (x) - f （x） 0,证明:对任意实数x，f （x) 0.八、对任意一个定义在0， 1上的连续函数f （x），定义,，求f （x)取遍所有

24、连续函数时，a(f ） b（f ）的最大值. 答案一、1.a； 2.c; 3.d。二、1。 ;2. ;3。 ；4。 ;5。2；6。 ；7. 。三、。四、。五、。六、 七、因f （x）是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，则存在最小值,设为f (x0）。 若f (x0） 0,因为f （x0)为最小值，则f (x0) 0，故f (x0) - f (x0） 0, 矛盾八、 .十五、高数2013/01/08一、单项选择题 1当x 0时，下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是 （a） ； （b） ；(c) ；（d） 。 2设,则f (x)在x = 1处 （a）左、右导数都存在； (b） 左导数存在，

25、但右导数不存在；（c) 右导数存在,但左导数不存在； (d） 左、右导数都存在。 3设c为任意实数，f （x） = f （x), 则下列各式中正确的是 (a) ； （b) ；（c) ;（d） 。4方程在（-, +)内 （a)无实根；(b）有且仅有一个实根；（c） 有且仅有两个实根；(d) 有无穷多个实根。5微分方程y + y = sinx的一个特解的形式为 （a） ；（b） ；(c) ；(d） 。二、填空题 1已知在处连续，则b= 2曲线y = lnx在点 处的切线平行于y = 2x - 3。 3已知f(x）是sinx2的一个原函数，则= 4微分方程的通解是 。 5设，则= .三、计算题1求。

26、2设，求.3已知方程确定函数y = y(x），求.四、计算积分 1求. 2求。五、求曲线的凹凸区间、拐点及渐近线。六、一密度为2。5103（单位：kg/m3)，底半径为r（单位：m)，高为h(单位：m）的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。七、设函数f (x)满足方程，且由曲线y = f （x)，直线x = 1与x轴围成的平面图形d绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求d的面积。八、设函数f （x)在0, 1上非负连续，证明:（1）存在,使在上以f (x0）为高的矩形面积s1等于在上以y = f (x)为曲边的曲边梯形面积s2。(2）若函数f （x ）在（0， 1）内可导,且，则（1)中的x0是唯一的. 答案十六、高数2014/01/13一 单项选择题（每小题4分，共24分）1 若函数满足，且 ，则 ( ). a: ， b: ， c： , d: 。 2 对于积分 则 （ ）. a：= b: c： d： 。 3 设 ，则在上满足的lagrange 中值定理的 =（ ）. a: ，b： ，c： 或,d： 或. 4极限（）. a: b： c：d：5 若连续，且， , 则( ）。 a：当时， b：当时，c：在至少有一个零点。 d： 在必无零点。 6