锐角三角函数的实际应用

1、学生姓名授课日期广州卓越一对一初中数学教研部编著课题锐角三角函数的实际应用教学目标1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题第一部分：知识点回顾1边与边关系：a2 b2 c22角与角关系：A B 90a b a b 3边与角关系， sinA c，cosA c， tanA b， cota a4仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的1 就是仰角， 2 就是俯角。坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高

2、度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比 )，读作 i，即 i AC ，坡度通常用1:m 的形式 (注意 :坡度一定要写出1:几的形BC式 )，例如上图的 1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 i tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。第二部分：自我评测掌握情况知识点备注非常好一般有待提高特殊三角函数的值坡度计算三角函数的实际应用第三部分：例题剖析例：如图，若 CAB = 9 0， C = ， BDA = ， CD = m，求 AB.ABx解法：设 AB = x，在 Rt BAD 中， DA，tantanABx在 Rt ABC 中， CAt

3、antan CA=CD+DAxxx 的值m通过解方程求出知数tantan第2页共14页第四部分：典型例题例 1：某人在 D 处测得大厦BC 的仰角 BDC 为 30 ,沿 DA 方向行 20 米至 A 处 ,测得仰角 BAC 为 45 ,求此大厦的高度BC。变式训练1：（2011 广东）如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB 是 A 到l 的小路 .现新修一条路AC 到公路 l .小明测量出 ACD =30o， ABD =45o，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l 的距离 AD 的长度（精确到0.1m；参考数据：21.414 ，31.732 ）.DBClA变式训

4、练2：如图所示， 小明家住在32 米高的 A 楼里， 小丽家住在B 楼里， B 楼坐落在 A第3页共14页楼的正北面，已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹角为30o （ 1）如果 A， B 两楼相距 20 3 米，那么 A 楼落在 B 楼上的影子有多长？（ 2）如果 A 楼的影子刚好不落 在 B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）CB楼A30 D楼EGFH2、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。例 2：（ 2011 江苏淮安， 23，10 分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物

5、AB 与铁塔 CD 都垂直于底面， BD= 30m，在 A 点测得 D 点的俯角为 45，测得 C 点的仰角为 60.求铁塔 CD 的高度变式训练1：小明想测量塔BC 的高度他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为 60o ；爬到楼顶D 处测得大第4页共14页楼 AD 的高度为 18 米，同时测得塔顶B 的仰角为 30o ，求塔 BC 的高度变式训练 2：某高为 5.48 m 的建筑物 CD 与一铁塔 AB 的水平距离 BC 为 330 m，一测绘员在建筑物顶点 D 测得塔顶 A 的仰角 a 为 30 . 求铁塔 AB 高 .（精确到 0.1 m） .AEDB330 mC第5页共14页变式训练3、（

6、 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部 B 的俯角为30，看这栋大楼底部C 的俯角为 60，热气球 A 的高度为 240 米，求这栋大楼的高度3、方位角 ：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90的角为方向角。例 3：一个半径为20 海里的暗礁群中央P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A 处观测此灯塔在北偏西60方向，航行了20 海里后到B，灯塔在北偏西30方向，如图 .问货轮沿原方向航行有无危险？变式训练1：（广东中山， 15， 6 分）如图所示，A 、 B 两城市相距 100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公

7、路 （即线段 AB ），经测量，森林保护中心P 在 A 城市的北偏东30和 B 城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心， 50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：P3 1.732 ，2 1.414 ）EF3045AB第6页共14页变式训练2: 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛A 北偏西 45 并距该岛 20 海里的 B 处待命 位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60 的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号

8、我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60 海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位参考数据：2 1.4， 3 1.7 ）如图，小明从A 地沿北偏东 30 方向走 100 3m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走200 m 到 C 地，此时小明离 A 地m 4、坡度与坡角坡角：把坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用 i 表示。即 i = h =h: l ，hl坡度 = i tanl坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡例 4：（湖南衡阳，9，3 分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡

9、比是 1：3 ，堤高 BC=5m，则坡面AB 的长度是（）A 10m B 103 mC 15mD 5 3 m例 ：（甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1 3 ，坝外斜坡的坡5度 i=1 1，则两个坡角的和为。例 6： (福建省漳州市 )一个钢球沿坡角31的斜坡向上滚动了 5 米，此时钢球距地面的高度是（）A 5sin 31o 米B 5cos31o 米C 5tan 31o 米D 5cot 31o 米第7页共14页例 7：一水库大坝的横断面为梯形 ABCD ，坝顶宽 6.2 米，坝高 23.5 米，斜坡 AB 的坡度 i 1 13，斜坡 CD 的坡度 i 2 = 1

10、 2.5。求：(1) 斜坡 AB 与坝底 AD 的长度（精确到 0.1 米）；(2) 斜坡 CD 的坡角 （精确到 1）。变式训练1：某人沿着坡度i=1:3 的山坡走了 50 米，则他离地面米。变式训练2：（山东东营， 8，3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC 5 米，迎水坡 AB 的坡比 1：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则 AC 的长是（）A53 米B10 米C15 米D103 米变式训练3：（顺义二模） 20一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD ，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45改为 30，若测量得AB= 20 米

11、，求整修后需占用地面的宽度BE 的长（精确到0.1 米，参考数据：21.414 ,31.732 ,62.449AD3045EBC变式训练4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10 米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB的坡角 A=30 ，斜坡CD 的坡度 i =1:3，求坝底宽AD 的长 .（答案保留根号）BCi1: 2.530AEFD第8页共14页第五部分：思维误区1对应关系混淆【 1】如图 9，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 a米，那么这两树在坡面上的距离AB为 （）A. a cos a 米B.a米cosC. a sin a 米aBD.米sinA解析： 分别过

12、点 B， A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点 C 。 则 ABC 是 直 角 三 角 形 ， 且 C=90 , CBA= , BCaa图 9cosa AB，故选 B。ABABcosAB的比，造成错选，错因分析： 部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、余弦是哪个边与斜边也有学生在变式时错误。2专用名词不清B【 2】（年深圳市）如图9，如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1: 3 ，AC 10 米坡顶有C一旗杆 BC，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB 14 米A试求旗杆 BC 的高度D图 10解析： 坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C 作 CE

13、AD于 E，CE为铅直距离， AE 为水平距离，即CE：AE=1: 3 。 tan CAE133， CAE=30，解直角三角3形 AEC可得 CE=5（ m）, AE=53（ m）, 在 Rt ABE中， BEAB 2AE 211（m）, BC=BE-CE=6（ m）错因分析： 本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。第六部分：方法规律由某个锐角的一个三角函数了解锐角三角函数（sin A ，值，会求这个角的其余两个三锐角三角角函数值；会计算含有，cosA ， tanA ）；知道 30，30函数45， 60角的三角函数式的45

14、， 60角的三角函数值值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题会解直角三角形； 能根据问题的需要添加辅助线构造直角解直角三知道解直角三角形的含义三角形；会解由两个特殊直角角形三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题第9页共14页第七部分：巩固练习A.基础训练 ：1在 Rt ABC中， C90，下列关系式错误的是（）A bc cosBB.ba tan BC.a c sin A D.batan B2.在 Rt ABC中， C90，下列式子不成立的是（）A a2c2b2B. sin AaC.a b tan A D.c bcosBc3.Rt ABC中 ,CD 为斜边 AB

15、 上的高， AD 4，BD 2，那么 tan A （）A2B.3C.2D.223484.太阳光与地面成42.5 的角，一树的影长 10 米，则树高约为 _。（精确到0.01 米）5.在离地面高6 米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60角，则拉线的长约是 _米。（精确到 0.01米）6.如图 31 3 1，大坝横截面是梯形ABCD，CD 3 m, AD 6 m. 坝高是 3 m， BC坡的坡度 i 1:3,则坡角 A_ ，坝底宽 AB _ 。7. 如图 31 3 2，在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的 B 处折断，树顶 A落在离树根 12 米的地方，现测得

16、BAC 48，求原树高是多少米？（精确到 0.01 米）第10页共14页复习巩固 ：1 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km 的 B 处，正在向西北方向转移（如图 31 3 3 所示），距沙尘暴中心300km 的范围内将受其影响，问A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？2如图 31 3 4，为了测量电视塔AB 的高度，在C、D 两点测得塔顶A 的仰角分别为30， 45。已知C、 D 两点在同一水平线上，C、 D 间的距离为60 米，测倾器CF 的高为 1.5米，求电视塔AB的高。（精确到0.1 米）3. 如图 31 35

17、，一只船自西各东航行， 上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 68 海里的 M处，上午 11 时到达这座灯塔的正南方向 N 处，求这只船航行的速度。B第11页共14页拓展训练 ：1. （ 2003贵阳）如图 31 3 9，某货船以 20 海里 / 时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知， 一台风中心正以 40 海里 / 时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（ 1）问： B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。（ 2）为避免受到台风的影响，该船

18、应在多少小时内卸完货物？2. 如图 31 3 10，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面25 米远处测得塔顶 A 的仰角为 60，塔底 B 的仰角为 30，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到0.1 米）3、如图，在某海域直径为30 海里的暗礁区中心有一哨所A ，发现有一艘轮船从哨所正西方45 海里处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15 海里到达C 处，此时哨所第二次发出紧急信号（信号传输时间忽略不计）。若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少为东偏北度，求 sin当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船改变的角度东偏南至少应为多少？第12页共14页第八部分：中考体验1、（德州布 市中考）某兴趣小组用高为1.2 米的仪器测量建筑物CD 的高度如示意图，由距CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为测得 A， B 之间D的距离为4 米， tan1.6， tan1.2 ，试求建筑物CD 的高度GE