2019-2020学年辽宁省多校联盟高一下学期期末数学试卷(解析版

1、2019-2020学年辽宁省多校联盟高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1 .若复数Z满足i=3-2i,其中i为虚数单位，则Z的共机复数的虚部为（A. 3B. -3C. 3iD. -3i2 .已知 sina=, sin2a，=7T I-ta n xB.D.j=cos22rj=sin2x - cosZr5 .函数/ （x） =sin-txos （x+寺）的最小值为（）Blc- 4D. -16.若虚数l-2i是关于x的方程大2-+6=0（% /,gr）的一个根,则kr+历1=(A. 29C. V21D. 37.%为不重合的直线，a,仇Y为互不相同的平面，下列说法错误的是（）A.若小则

2、经过加，的平面存在且唯一B.若。B,aCy=m9 8门丫=，则，C.若 a-Ly,PY anB=i, /IYD.若加ua,ua, 仇仇 则。B8.ABC中，CA = 1, CB=29 ZACB = 120 ,以边AC所在直线为轴将/MBC旋转一周后，形成的几何体的表面积为（）A. (721-23)n B.(收+2) it C. 3(V7+2) n D. (+23)TT9 .已知向量之=（1, cos2x） , （sin2r, Jg）,将函数/ Q）=三的图象沿x轴向左平移p （p0）个单位后，得到的图象关于原点对称，则3的最小值为（）兀A-7210 .在43C中，。为边的中点，AD=3, BC

3、=49 G为AABC的重心,则己端的值为（）A. - 12B. -15C. -3D.-华4二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.11 .正四核锥P-A8CD中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60 ,下列结论正确的是（）A.直线PA与BC、PA与CD所成的角相等B,侧棱与底面所成角的正切值为C,该四棱锥的体积为乐”or jrD.该四棱锥的外接球的表面积为二二12 .在A43C中，内角A, B,。所对的边分别为叫b9 c, AA3C的面积为S.下列有关ABC的铸论,正确的是（）

4、A. cosA+cosB0B.若 ab,则 cos2A Vcos25C. S=4/?2sinAsiiiBsinC,其中K为ABC外接圆的半径D.若ABC 为非直角三角形，则 tanA+tanB+tanC=tanAtan5tanC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题有两空，第空2分，第二 空3分.13 .已知点尸（1, 2）为角a的终边上一点，则tan2a=.14 .边长为2的正方形A3CO中，P为对角线上一动点，则标 AC=.15 .复数 Zi, Z2 满足01=3,石1=2, IZi -Z2l=V7,则5+Z2l=.16 .已知正四面体A3CD的楂长为12,其外接球半

5、径R=；若其内切球的球心为。,则内切球O与三极锥O - BCD的公共部分的体积为.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .已知函数/ (x) =sii】3X- coso)x+V3cos2u)x (o)0)的周期为 e(1)求3的值；(2)求/ (x)的单调增区间.18 .在ZABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为% b, c9 (3b -c) cosA=acosC.(1)求 cosA ；(2)若。=愿，求ABC的面积S的最大值.19 .如图，A3为半圆的直径，C为半圆上一点(不与A, B重合)，PAJ.平面ABC, QB /PA,且 PA

6、=2QB.(1)求证：平面PACJ平面03C;(2)试问线段AC上是否存在一点D,使得50平面CP0,若存在，指出O的位置， 并加以证明；若不存在，请说明理由.20 .如图，直四棱柱ABCD-AiBiGOi的底面A3c。为直角梯形，A3CD, ZBAD=90c , AAi=CD=2f AB=AD=1, E, F 分别为棱CG 的中点.(1)在图中作出平面AiEF与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过 程)；(2) 为棱CD的中点，求异面直线。阳与E尸所成角的余弦值.CiIhBA21 .在A5C中，内角A, B, C所对的边分别为% b9 c9已知sh】Ccos= (2 - cos

7、C)Q(1)若cosA=I试判断的形状；D(2)求证：b+c=2a.22 .如图甲，矩形从BCD中，AB=2, AD = 1, E为A3中点，将ZkAOE沿直线DE折起成尸DE (如国乙)，连接PC, PB.在国乙中解答：(1)当平面PDEJ.平面5C0E时，求三棱锥3-PCE的体积；(2) F为PC中点，连接3尸.求证：BF平&PDE,并求线段的长.C图甲)(图乙)参考答案一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求.1 .若复数Z满足Zi=3-2i,其中i为虚数单位，则Z的共机复数的虚部为()A. 3B. -3C. 3/D. -3

8、i【分析】求出2；=-2-3i,从而，=-2+3i,由此能求出Z的共握复 1 1数的虚部.解：.复数Z满足Zi=3-2Z,其中i为虚数单位，3-2i &21区 Mi-2 12A z= - 2+3i,Z的共机复数的虚部为3.故选：A.2.已知 sina=q, sin2a(), Sin2a=2sinaC0Sa0, 4.cosa=3X5X*=Lt 乙乙 2j二a在b上的投影的数量为j=j= 2 = ； 2 *故选：C.4.下列函数中，周期为等的偶函数是（）乙A. j=ltanrlB. j=cos22xtanxC. y=2-D. j=shi2x - cos2rl-ta n x【分析】由题意利用三角函数

9、的周期性和奇偶性，从而得出结论.解：:函数J=ltanxl的周期，即=匕的周期，为丁=tt,故排除A；函数j=cos2Zr=上蛆辔虫的周期为卓=3,且函数为偶函数，故3满足条件； 乙oZ乙t-anx 17T函数）=7；2-tan2x,它的周期为-7T,但该函数为奇函数，故C不满足条1-tan xN件；2兀=%故O不满足条件,函数J=sin2r的周期为乙故选：故5.函数=sin（T）+-cos a+；）的最小值为（B.)D. -1【分析】寻找两个角的关系，利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的有界性进行求解即可.7T , 7T、 7T 兀打、兀解：(x-) =-, Ax+= (x-百)力

10、，兀4当疝（X-）=-lBt,/（x）有最小值-于故选：A.6. 若虚敷l-2i是关于x的方程力=。（% %R）的一个根，则匕+历|=（）A. 29B. a/29C. V21D. 3【分析】先把l-2i代入方程，然后根据复数相等的条件可求。，b,再根据模长公式即 可求解.解：由题意可得，(1-20 2-a (1-2Z) +力=0,所以-。-3+ (2a - 4) anp=Wi,则 1丫D.若加ua, ua, 配3 则。B【分析】对于4,由公理三及其推论得经过小，的平面存在且唯一；对于5,由面面 平行的性质定理得加；对于C,由线面垂直的判定定理得 11_丫；对于。，。与B相 交或平行.解：由，明

11、 为不重合的直线，a,伍Y为互不相同的平面，知：对于4,若?“，则由公理三及其推论得经过，的平面存在且唯一，故A正确； 对于3,若。B,。0丫=旭，pnY=,则由面面平行的性质定理得?，故5正确； 对于C,若aJLy, PY,则由线面垂直的判定定理得加,丫，故C正确；对于。，若/ua, ua, “B, 伍 则。与B相交或平行，故。错误.故选：D.8. A3C中，CA = 19 CB=29 ZACB = 120 ,以边AC所在直线为轴将启3。旋转一 周后，步成的几何体的表面积为)A.(屈-2J1)n B.(屈+2 K C. 3 C/7+2) n D.(亚+23)TT【分析】以边AC所在直线为轴将

12、ABC旋转一周后，形成的几何体是81锥45。挖去 圆锥C3OD后剩余的几何体，推导出50=2退，由此能求出形成的几何体的 表面积.解：如图，以边4c所在直线为轴将iMBC旋转一周后，形成的几何体是圆锥挖去圆锥C3。后剩余的几何体,A5C 中，CA = 19 CB=29 ZACB=12QQ ,Vl+4-2 x 1 X 2 x cos 1200 =V7,=V4+4-2 X 2 X 2 X cos 120 =电,:.以边AC所在直线为轴将AABC旋转一周后，再成的几何体的表面积为:故选：B.$=兀乂。乂有+兀乂甸”乂2=（收+2退）豆b= （sinlr,遮），将函数/ （x）= E的图象沿x轴向7T

13、B.T左平移p （p0）个单位后，得到的图象关于原点对称，则中的最小值为（）C四- 12【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得/ （x） =2sin （2x弓）,向左平移年个单位，得到j=2sin （2x+2（p+-）,从而有2年+*W-=%口，keZ,再结合（p0,即可得解.解：/ (x) =ae b=sin2r+V3cos2x=2sin(2x+),=2sin(2r+2(p-K-),3将函数/。）的图象向左平移P个单位，得至仃=2sh】2a+p）7T7T k JT因为该函数关于原点对称，所以Ze+n5-n的1，依z,解得年=-卞-+缶-兀又因为年0,所以中的教小值为丁丁.3故选：D

14、.10.在ZUBC中，。为边5c的中点，AD=39 BC=49 G为AABC的重心,则瓦 前的值为（）B. - 15C. -3D.兰【分析】特殊化，取A5C为等腰三角形，由G为A43C的重心，得GD=1,易知AOJLBC, ZBGC=2ZBGDt GC=GB=后，cosNBGD=,故 cosN5GC=2cos2n5G。51=噎.再结合平面向量数量积的运算，GB* GC= |GB | | GC |e cosN3GC,代入数据进行运算即可得解.解：不妨特殊化，取A3C为等腰三角形，如图所示,B:G 为 AABC 的重心,：.GD=AD=19,O 为 3C 的中点，.ADLBC,，BGC=2NBGD

15、, .GC=G3=而产+.）2=行&=击,cosN3G0=冬（JD 5Q/ cos Z BGC = 2cos2 Z BGD - 1=.，瓦 GC= |GB |-|GC 卜 cosZBGC=V5 X-V5 x （啧）=-3.故选：c.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11.正四校锥尸-45CD中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60。，下列结 论正确的是（）A.直线PA与3C、与CD所成的角相等B.侧楼与底面所成角的正切值为当C,该四棱锥的体积为小/5or jrD.该四棱锥

16、的外接球的表面积为二二 U【分析】对于A,直线PA与8C所成角为NPA。，PA与CD所版的角为NPAB,从而 直线与5C、PA与CD所成的角相等；对于3,连结4C, BD,交于点O,连结PO, 取AO中点邑 连结OE、PE,则POL平面ABC。，NPAO是侧棱与底面所成角，推导出侧棱与底面所成角的正切值为噂；对于C,该四棱镇的体积为笃Z；对于。，设该5四枝锋的外接球半径为R,则R2=（Vs-R） 2+（V2） 2,解得r=b声，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积.解：连结AC, BD,交于点0,连结P0,取AD中点E,连结OE、PE,对于A,直线PA与5c所成角为NPA。，PA与CD所展的惫为

17、NPAB, :PA=PB=PD, AB=AD9 ：. ZPAD=ZPABf 直线尸4与3C、尸4与CD所成的角相等，故A正确;对于3,平面A3CD,是侧棱与底面所成角,丁4正四棱锥P-43c。中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60 , ,.O=,AC=/2 2 + 2 2=6, NPEO=60。，OE=1, PE=2,尸0=五一声质, 刨棱与底面所成角的正切值为tanZPAO=,故8错误；7 22对于C,该四棱锥的体积为y】x S正方班BCD xpo=4x 2X2X、/=,故。错误；对于则R2=设该四棱锥的外接球半径为R,（g-R） 2+ （施）2,解得&=病,DE兀，该四极锥的外

18、接球的表面积为S=4kR2=与六，故O正确.12 .在iMBC中，内角A, B,。所对的边分别为叫 b9 c, 4ABC的面积为S.下列有关ABC的结论,正确的是（）A. cosA+cosB0B.若。力，则 cos2AVcos25C. S=4/?2siiiAsiiiBsinC,其中R为443。外接圆的半径D.若A3C 为非直角三角形，则 tanA+tanB+tanC=tanAtan5tanC【分析】对于4,利用A+BVtt及余弦函数单调性，即可判断;对于3,由力，可得shfBAsiMC,即可得1 - IshfVl - ZshfC,从而判定;对于 C,利用 S=yabsinC=22siiL4si

19、iiBsinC 判定;对于。，利用两角和的正切公式进行运算;解：对于A, VA+Bn, AOAn-Bcos(r-B) = - cosB9 Acos4+cosB0,故正确；对于 3,有 ab,则 sin2Bsin2C,即可得 1 - 2sWvi - 2sii】2(7,也就是 BcosZA Vcos25,故正确;对于 C, S=-?LbsinC =p2RsinA-2RsinBpsinC=2/?2shiAsinBsinC,故错; 乙乙对于，在口为非直角三角形，tanA=-tan ()=-潞黑,则taiU+tanB+tanC=taivltanBtanC,故正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，

20、每小题5分，共20分.其中第16题有两空，第空2分，第二 空3分.13 .已知点尸(1, 2)为角a的终边上一点，则tai】2a=一言.【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角公式，求得雉果.2解：已知点尸(1, 2)为角a的终边上一点，则tana=：=2,2tana4Atan2a=-一年=-予1-tan ClS14 .边长为2的正方形A3CD中，P为对角线上一动点，则&正= 4 .【分析】根据平面向量基本定理可知，由于3、P、O三点共线，则存在入，使得族=入靛+ (1-人)AD,故族正=入靛 AC+ 0)的周期为 it.(1)求3的值；(2)求/ (x)的单调增区间.【分析】(1)先

21、化简解析式为/ (x) =sin (2u)x44 再由周期公式求3的值,(2)由(1)可得函数解析式为/(x) =sin (2r+-)令*n-g-W2r”口子，依Z,解之即可得出函数的单调增区间.解：(1) V/(x) =sin3X cosa)X4-/os2a)x=in2a)x4!- (l+cos2uxr) =sin (2air+-) 223周期为E2兀.2 | Q | =TC 又 30,解得 3 = 1；(2)由(1)可得：/ (x) =sin (2x兀 7T 兀令 2kli -W2r+-WM7T+-, kwZ,解得：垢-12即函数的单调递增区间为长互-*,左口吟，kZ.JL乙，乙18.在

22、AABC 中，内角 A, B, C所对的边分别为% b, c9 (3b -c) cosA=acosC.(1)求 cosA ；(2)若。=抬，求A3C的面积S的最大值.【分析】(D利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求出A的余弦值.(2)由余弦定理得到招改2=3各g结合基本不等式得到Ac的篦国，进而可得面积的最大值222222解：由余弦定理可得(3,-0.，子=0整理得b2+c2- 2 =争*. b2+c2-a2 春 be 1则 cosA = 3=；2bc 0 3222(2)由余弦定理cosA = b2bc,2 , 2 o I=b c 3=告，即炉我2=2b c因为9=b2+c22bc9所以加於

23、石，当且仅当力=c时取“=因为cosA =:，则sinA =当 33则 S=csinAwZ 乂义 乂尊?22 4319.如图，A3为半圆的直径，C为半圆上一点(不与A, 5重合),04J,平面A3C, QB/PA9且尸4=2。(1)求证：平面尸ACL平面。3C；(2)试问线段AC上是否存在一点。，使得80平面CP0,若存在，指出。的位置, 并加以证明；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角，以及线面垂直的性质和判定，推得3CLL平 面PAC,再由面面垂直的判定定理，即可得证；(2)战段AC上存在一点。，且。为AC的中点，使得5。平面CP0,运用三角形的 中位线定理和线面平

24、行的判定定理，即可得证.解：(1)证明：由43为半圆的直径，C为半圆上一点(不与A, 5重合)，可得 ACL3C,由尸平面A3C,可得PAJlBC,而尸A, AC为相交直线，可得5CJ_平面P4C,而BCu平面0BC,可得平面PACL平面。3C；(2)线段AC上存在一点。，且。为AC的中点，使得平面CPQ.证明：延长P0,与延长A3交于H,连接CA,由05尸4,且尸4=2。5,可得8为AH的中点，而。为AC的中点，可得DB/CH,又H为直线尸。上的点，可得H在平面CP?内,由BDU平面CP2, Cu平面CP。，可得BD平面CPQ.20.如图，直四楂柱ABCD-A由iGOi的底面A5CD为直角梯

25、形，A3CD, NA40=9O , AAi=CD=29 AB=AD=19 E, F 分别为枝 BBi, CG 的中点.(1)在图中作出平面4EF与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过 程)；(2) 为棱CD的中点，求异面直线O1与EF所成角的余弦值.【分析】(1)取GOi中点G,连结A】G、EG,四边形AiEFG是平面AiE/与该棱柱 的截面图形.(2)以0为原点，DA为x轴，DC为y轴，O为z轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出异面直线。1日与EF所成角的余弦值.解：(1)取Cid中点G,连结4G、EG,则四边形AiEFG是平面AiE/与该棱柱的截面图形.(2),直四棱柱

26、ABCD-AiBiCiOi的底面A5co为直南梯形，A3CD, ZBAD=90Q ,AAi=CD=2, AB=AD=lt Et 尸分别为棱 B3i, CG 的中点，.以。为原点，ZM为x轴，DC为轴，DOi为z轴，建立空间直角坐标系，。1 (0, 0, 2) f H (0, 1, 0) , E (1, 1, 1) , F (0, 2, 1),甲=(0, 1, -2) , ef= (-1, 1, 0),设异面直线OlH与EF所成角为e,甲而I_1_则侬0=反而南=而历=干.异面直线DiH与EF所成角的余弦值为变.A21 .在ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b9 c9已知sinCc

27、oY= (2 - cosC) 乙Q(1)若cosA=卷，试判断ABC的形状; b(2)求证：lw=2a.【分析】(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得5sh)2C-8shic+3=0,解得sinC=l, 院,分类讨论，可求三角形为直角三角形；(2)将已知等式两边同时乘以利用三角函数恒等变换的应用可得sinC+sinB=2siiU,进而根据正弦定理即可证明力+c=2/z.解： (1) cosA=2cos* 一 1=E，可得 cosg=色，sin*=，sinA =9，解得：co*=3&，劭得=等, /3Z DVsinCcos= (2 - cosC)/. sinC=- (2 - cosC),可得 2shic=2 - cosC,3:.(2sinC) 2= (2 - cosC) 2,整理可得：5sin2C-