平面向量地坐标表示及其运算

1、- 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A B. C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1）若在某时刻ti,四名队员A B C. D保持如图1所示的平行四边形队形队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处你能确定此时队 员C的位置吗？DCA c8m /D81 BmYAFCmT T1V 4if HT T1 V V医I 9说明此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处这个图形比较特殊，学生很快 就会得到答 案，这时教师引入第二个问题（2）若在某时刻t2,四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形队员A位于距 E

2、F边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米 处.你能确定此时队员C的位置吗？二学习新课1. 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系屮， 方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做4T基本单位向量，分别记为i, j,如图，称以原点。为起点的向量为位置向量，如下图左，0A即为 一个位置向量.TI思垮1：対丁任-位置向量 OA ,我们能川皋本单位向量 i, j来表示它吗？如上图右，设如果点A的坐标为X, y,它在小X轴，y轴上的投影分别为M, N,那TI T么向量0A能用向量0M与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得T -1 T-I

3、寸斗OA =0M +0N） , 0M与ON能用基本单位向量i, j来表示吗？（依向量与实数相I fT 扌乘的几何意义可得0M二xi , ON = y j）,于是可得：- OM ON = xi y j由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量0A都能表示成 4 4两个相互垂直的基本单位向量 i, j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分a,我们都能将它正交分解为基本单位2. 向量的坐标表示思考2:对于平面直角坐标系内的任意一个向量4呻向量i, j的线性组合吗？如下图左.显然，如丄图右，我们一定能够以原点0为起点作一位置向虽0A，使 CA =a.于是可知：在平面直角坐

4、标系内，任意一个向量a都存在一个与它相等的位置向量0A.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量 i, j的线性组合，所以平面内任意的一个向量 a都可以正交分解为基本单位向量i, j的线性组合.即：a = 0A = xi yj上式中基本单位向量i, j前面的系数x,y是与向量&相等的位置向量0A的终点A的坐标由于基本单位向量 i,j是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数 x,y抽取出来，得到有序实数对（X,y）可知有序实数对（x,y）与向量a的位置向量0A是一一对应的因而可用有序实数对（x,y ）表示向量1并称（x,

5、y ）为向量&的坐标，记作：=（x,y）说明（x,y）不仅是向量已的坐标，而且也是与Q相等的位置向量0A 的终点A的坐标！当将向量8的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量 8的坐标也是唯一的这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化显然，依上面的表示法，我们有：i二（1,0） , j = （0, 1） , 0二（0, 0） 例1.如图，写出向量a, b, c的坐标解：由图知a = 1,2与向量b相等的位置向量为 0A,可知 b = 0A = 1, 2与向量c相等的位置向量为 0B,可知 c 二 0B 二 1, 一24 A &5-2 -13/2lVA/1rT1

6、1 /说明对于位置向量乩它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量b, c,我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题让我们先学习向量坐标表示的运算：3. 向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向 量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设-是一个实数，a二（x-!, yi）, b = （x2, y?）由于 a 二（Xi, yj = Xii yij,b =（X

7、2W2）二 Xzi y2 j所以 a - b = （xi, yj - （X2, y2）=xj %j 一 x?i y2j二 xj x?iyi j - y2 j=xi 二 X2 iyi - y2 jfi - X2, yi - y2a 二，（xyj 二，%i % j = %i % j =，y （于是有：（Xi, i） （ 2 , 2）二儿-?，2, :i - 2（冷）二 Xi, yi说明上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和 （差）的横坐标等于它们对应的 横坐标的和（差），两个向量的和（差）的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（差），可笼统地简称为：两个向量和（差）的坐标等于对应坐标的和（差）；同

8、样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4. 应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，设P Xi, yi、Q X2, y2是平面直角坐标系内的任意两点，如何用p、Q的坐标来表示向量PQ ?解：如上图右，向量DC = AB二 AB=X2 - %2 - yi从而有 PQ -： X? Xi, y2- Yi说明上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差

9、，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为任意向量坐标二终点坐标-起点坐标”例3.如图，平面上A B、C三点的坐标分别为2, 1、_3, 2、_1, 3 .(1) 写出向量 AC, BC的坐标；(2) 如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解：(i) AC-1 - 2, 3_1 - -3, 2BC 二-1 - -3，3 - 2 二 2, 1(2)在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以设点D的坐标为xD, yD ,于是有T - xD , 3AB * 3_2, 2 1?十 5, 1T Xd , 3 - y。二 5, 1Xd =4f 2y1 Xd = -5由此r,J得J

10、yp _13-因此点d的坐标为4, 2 .练习：(1)请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻t2,健美操队员C的位置问题.即：在某时刻t2,四名队员A B. C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图 左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF08m10m解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴,以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标边4米距FG边5米处你能确定此时队员C的位置吗？系则依题意有A(2, 1), B (6, 3), D (4, 5),设C(x, y),则由ABCD是平行四边形可得:AC 二 AB AD 二（4,

11、2）（2, 4）二（6, 6）T又 AC 二（x，y） -（2, 1 “（x2, y1）故(x 2, y ri) = (6,6)于是 X=8, y二7,即 c( 8, 7).答：队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.(2)在某时刻t3,四名队员AB、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF 边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的 矩形阴影部分区域内(包括边界)某一位置你能确定此时队员D可能的位置区域吗？FSmA*c18myD4m1ABGF1* -1 OmEyk5m-Hf8D4mm 1B(6, 30 A(2,l)1 AmCv解：以点F为坐标原点

12、，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系依题 意有A(2, 1),B(6, 3),设D(x, y),则由ABCD是平行四边形可得：DC = AB = (4, 2)又 D(x, y),所以可得 C(x+4,y+2)5兰X + 4兰10/Ex兰,6由题意二4兰y + 2兰8 (2兰y6于是可得队员d可能的位置区域如图所示阴影部分(除去点B):01例4.已知向量a=I4, -1与bF. 5, 2,求2a 3b的坐标.解：因为 2a = & 2 , 3b = 15, 6 4 4所以 2a 3b 二 8 15, 2 6 = 23, 4 三巩固练习呻呻一1. 如图，写出向量a, b,

13、c的坐标.2. 已知日-(-1,2),若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是起点坐标是(2, 1),则其终点的坐标是3.已知向量a h (2,3与b二门，_5,求3a - b及方一 3日的坐标.解：1.由题意：a 二 2, 1 , b= 1, 1 , c= 2, 1 一 1, 一1 二 2-1, 1一(一1) =1,22. 设起点的坐标是(x, y),则(2, l)-(x,y) = (-l,2),解得:(x,y) = (3,-l),即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x, y),贝lj(x, y)-(2, 1) =(-1, 2),解得：(x, y) = (l,3),即起点的坐标是(

14、1, 3).3. 3a -b=3 - -7, 14 1,-5 二一7, 14b - 3a = 1,5 3 i 2, 3 = 7,14另法:b_3a=- 3ab =- -7, 14 = (7, -14拓展内容：1、已知向量a =(1, 2).(1) 在坐标平面上，lElllbl可卑3.；并求 3. (2) 若向量&终点Q坐标为(3, 0),则向量a的始点P坐标为(3) 向量8的模与两点P、Q间距离关系是_ 若 a 二PQ 二(Xq -XP, yQ - yP)，则 &二 PQ 二(Xq - xp) 2 (yQ - yP)2练习 1：已知向量 a =(一2, 3), b =(1, 一5),求 2ab

15、说明在问题一中，先给出向量a二(1,2),要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离由此发现并掌握向量模的求法及几何意义安排(2)小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向 量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念. 4 呻4向量平行的概念：对任意两个向量a,b,若存在一个常数,使得曰=b成立，则两向量a与向量b平行，记为：a b.2.在坐标平面上描出下列三点A(0, 1), B(1,3),C(3,7),完成下列问题:(1)请把下列向量的坐标与模填在表格内:;ABAC向量坐标(1,2)(2,

16、 4)(3,6)向量的模752453翻(2 )通过画图，你得出什么结论?三点 B、C在一条直线上(3)分析表格中向量的模，你发现了什么?(4) 分析表格中向量，你还发现了什么？T T AB,BC =2AB,说明养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数(5) 分析表格屮向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系.a, b用坐标表示为&二(xj, yj, b二(x, y：),则一 -是&/几的( 尼、瓠 如果冋甲.X2 y2条件.A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要由此，通过改进引出课本例5若

17、弘b是两个非零向量,且a二(为，yj, b = (x2, yJ , 则a./b的充要条件是x：寸x： yi.分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨证明：分两步证明，(D先证必要性:a/b 一 Xry：二 x：yi I 444非零向量a/b=存在非零实数，使得a二，b,即rx九x(X：, y/ (x=, yj,化简整理可得：X1 %2,消去.即得X必 二X2yT*扌(n)再证充分性： x-i y2 = X2y- a/b(1 )若Xjy,二x;yj二0,则X、x：、y】、y：全不为零，显然有2!L1 =o,即X2 y444 4(Xi, yj V(X2, y2)= a= f； b二a/b)若为y二x

18、yi 二0，则x-i、X：、卩、y,中至少有两个为零 如果Xi =0,则由a是非零向量得出一定有yi二0 ,二X2 =0,又由b是非零向量得出yj0 ,从而，此时存在，二0使(0, y-厂(0, y:),即a二，b y2二 a/ b*彳 如果二0,则有y2二0，同理可证a/b4 4综上，当Xjy2 =x2yi时，总有a/ b所以，命题得证说明本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.练习2:1 已知向量 a =(2, 3) , b二(x, 6),且 a/b,贝 ux 为 ;2. 设Q =(xi, yi) , b= (x2, y2),则下列Q与b共线的充要条件的有()存在一个实数入，1使a if一*_ & Yx-1- b)= :入 b 或 b 二入 二 ：(a+b)/( a -S 0个B、 i个 C、2个 D、3个14 t -43. 设8。为单位向量，有以