磁场中高斯定理-安培环路定理

1、1 11.3 11.3 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 2 一一. 磁感应线磁感应线 （1） 磁感应线上任一点的切线方向磁感应线上任一点的切线方向 都与该点的磁感应强度都与该点的磁感应强度B的方向一致。的方向一致。 磁感应线（磁感应线（B线）：线）： B dS dS d B m B B 磁感应强度大小为磁感线的面密度。磁感应强度大小为磁感线的面密度。 m d （2） 垂直通过单位面积的磁感应线条数等于该处垂直通过单位面积的磁感应线条数等于该处 磁感应强度磁感应强度B 的大小。的大小。 3 条形磁铁周围的磁感应线 4 直线电流的磁感应线 磁感应线为一组环磁感应线为一组环 绕电流的闭合曲线。绕电流的

2、闭合曲线。 5 圆电流的磁感应线 I 6 通电螺线管的磁感应线 磁感应线的特点：磁感应线的特点： （1） 磁感应线是连续的，不会相交。磁感应线是连续的，不会相交。 （2） 磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有 起点，没有终点。起点，没有终点。 （3）磁感线密处）磁感线密处 B 大；磁感线疏处大；磁感线疏处 B 小。小。 7 二二. 磁通量磁通量 1.穿过一面积元穿过一面积元dS的磁通量的磁通量 dS n n SB dd m cosBdS BdS B B dS 与磁感线的式子比较，磁通量与磁感线的式子比较，磁通量 的数值就等于磁感线的条数的数值就等于磁感线

3、的条数 2.穿过某一曲面穿过某一曲面S的磁通量的磁通量 S SS SBSBdcosd m 单位： 韦伯（韦伯（Wb） S d n e B m为标量，只有大小正负之分。其数为标量，只有大小正负之分。其数 值等于通过该曲面的磁感线的条数。值等于通过该曲面的磁感线的条数。 8 例例1、如图、如图 矩形线圈与载流无限长直导线共面，直导矩形线圈与载流无限长直导线共面，直导 线电流为线电流为I,求线圈的磁通量。求线圈的磁通量。 a l b r B Bldrd m 解：选距离电流解：选距离电流r处，宽度为处，宽度为dr ,平平 行于直导线的面积元行于直导线的面积元 ds=ldr ldr r I ba a m

4、 2 0 )ln( 2 0 a baIl ldr r I 2 0 9 3.穿过闭合曲面穿过闭合曲面S的磁通量的磁通量 mm d 规定闭合面的外法线方向为正规定闭合面的外法线方向为正 磁感线穿出闭合面时磁感线穿出闭合面时 磁感线穿入闭合面磁感线穿入闭合面 B B B B n n n n 2/0 2/ , 2 0 通量为正。通量为正。 , 2 通量为负。通量为负。 SB d 10 三三. 磁场中的高斯定理磁场中的高斯定理 1.定理表述定理表述 在磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于零。在磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于零。 0dcosd SS BSB 2.定理证明：定理证明： 由于

5、磁感线为闭合曲线，穿入穿出由于磁感线为闭合曲线，穿入穿出 闭合面的磁感线根数相同，正负通闭合面的磁感线根数相同，正负通 量抵消。量抵消。 磁场是无源场，磁感线为闭合曲线，磁场是无源场，磁感线为闭合曲线， 磁场是涡旋场。磁场是涡旋场。 11 11.4 11.4 磁场的安培环路磁场的安培环路 定理及应用定理及应用 12 一一. 安培环路定理安培环路定理 在真空中恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭在真空中恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭 合路径合路径 L 的线积分等于被此闭合路径所包围并穿过的电的线积分等于被此闭合路径所包围并穿过的电 流的代数和的流的代数和的 倍，而与路径的形状和大小无关。倍

6、，而与路径的形状和大小无关。 0 i L IlB 0 d 注意：注意： 1. 安培环路定理表达式中的电流安培环路定理表达式中的电流I是指闭合曲线所包是指闭合曲线所包 围，并穿过的电流，不包括闭合曲线以外的电流。围，并穿过的电流，不包括闭合曲线以外的电流。 2. 安培环路定理表达式中的磁感应强度安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合曲线是闭合曲线 内外所有电流产生的磁感应强度。内外所有电流产生的磁感应强度。 13 3. 环路定理只适用于闭合电流或无限电流环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥不适用环路定理，只能用毕奥萨伐尔定律。萨伐尔定律。 4. 电流

7、的符号规定：电流的符号规定： 当电流方向与积分路径当电流方向与积分路径 的绕行方向构成右手螺旋关的绕行方向构成右手螺旋关 系时电流为正，反之为负。系时电流为正，反之为负。 I1 I2I3 I4 L 练习：求左图中环路练习：求左图中环路L的环流的环流 。 lB d L 1 I 2 I 3 I L IId)2( 210 lB 14 定理说明：定理说明： 长直导线周围的长直导线周围的B B 线为一系列的线为一系列的 同心圆，选取路径方向与同心圆，选取路径方向与 B B 线线相同；相同； 左边左边: L Bdlcos 由于环路上各点的由于环路上各点的 B B 大小相等；大小相等； 且且 B B / d

8、l l ；=0 L dlB 特例：以无限长载流直导线为例。特例：以无限长载流直导线为例。 L r B B r r I dlB L 2 2 0 I 0 I 向下时为负值。向下时为负值。 右边右边： II 00 左边左边=右边右边 定理成立。定理成立。 15 L r L I B l d d 当环路为任意形状时：当环路为任意形状时： LL BdldcoslB 由于BrdBdlcos rd r I 2 0 0 2 I 0 当电流不在环路内时当电流不在环路内时 a b a点 d I l dB 2 0 d I l dB 2 0 b点 0 L dlB d I 16 当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加

9、原理：当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加原理： L j j L l dBd )(lB 将积分与求和号交换将积分与求和号交换 j L j l dB i i I 0 L Id 0 lB i表示环路内的电流。表示环路内的电流。 由此可得：由此可得： 17 三、环路定理的应用三、环路定理的应用 利用安培环路定理计算磁场利用安培环路定理计算磁场 B,B,要求磁场具有高度的对称性要求磁场具有高度的对称性; 目的是将目的是将: L Id 0 l lB B写成写成: dlBBdl L cos dl I B 0 I 0 则则 要求环路上各点要求环路上各点 B B 大小相等，大小相等，B B 的方向与环路

10、方向一致，的方向与环路方向一致， 1cos ,/lBd 或或 0cos , lBd 环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点。 解题方法：解题方法： 1.场对称性分析；场对称性分析； 2.选取环路；选取环路； 3.确定环路内电流的代数和确定环路内电流的代数和 ； I 4.应用环路定理列方程求解。应用环路定理列方程求解。 18 例例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。的磁感应强度。 IdlBd 0 l lB B IrB 0 2 r I B 2 0 L r 解：以电流为轴，做半径为解：以电流为轴，做半径为 r 的环路的环路

11、 得距电流垂直距离为得距电流垂直距离为r处的一点磁感应强处的一点磁感应强 度的大小度的大小 19 设设ab为闭合电流为闭合电流 I 中中的一段直线电流，的一段直线电流， 长为长为 2R。取半径。取半径 为为R 、圆心为圆心为 ab 的中点的中点o、 且垂直于且垂直于 ab 的圆为回路的圆为回路 L。 2R R 0 L I a b 有人用安培环路定理求有人用安培环路定理求 L 上各点的上各点的 B: L IlB 0 d IRB 0 2 R I B 2 0 对不对？对不对？ 【答答】不对。不对。 检验：用毕萨定理叠加原理，可得检验：用毕萨定理叠加原理，可得 问题：能否用安培环路定理求有限长直线电流

12、的问题：能否用安培环路定理求有限长直线电流的B？ 20 21 0 coscos 4 r I B 2 4 135cos45cos 4 0000 r I r I B 的方向与圆周相切（右手定则）。的方向与圆周相切（右手定则）。 所以正确的环流应为：所以正确的环流应为： IR R I 0 0 2 2 22 4 1 2 a b 2R P R L I I 0 LL lBlBlBddd 安培环路定理只适用于闭合恒定电流的磁场。安培环路定理只适用于闭合恒定电流的磁场。 对于一段恒定电流的磁场和变化的磁场不适用。对于一段恒定电流的磁场和变化的磁场不适用。 21 例例3：圆柱形载流导体半径为：圆柱形载流导体半径

13、为 R ， 通过的电流为通过的电流为 I ，电流在导体横截，电流在导体横截 面上均匀分布，求圆柱体内、外的面上均匀分布，求圆柱体内、外的 磁感应强度的分布。磁感应强度的分布。 解：解：1.场点在圆柱体内部场点在圆柱体内部 (r R 区域区域) R I L r L r cosBdld lB rBdlB2I 0 r I B 2 0 r 1 2 2 r R I I I R r 2 2 环路内电流代数和为：环路内电流代数和为： r R I B 2 0 2 r 23 rB r B 1 分布曲线分布曲线 R B o r R I 2 0 24 例例4：密绕载流螺线管通有：密绕载流螺线管通有 电流为电流为 I

14、，线圈密度为线圈密度为 n， 求管内一点的求管内一点的 B B 。( (用无限用无限 长螺线管近似。长螺线管近似。) ) . B B + + + + + + + + + + + + + + + 解：理想密绕螺线管，管内解：理想密绕螺线管，管内 的磁场是均匀的，管外的磁的磁场是均匀的，管外的磁 场为场为 0 ；由安培环路定律：由安培环路定律： r a b d c L Il d 0 B 选择如图所示的环路选择如图所示的环路 a d d c c b b a ddlBlB )( 25 + + + + + + + + + + + + + + + . 0 外 B B 其中其中 a b d c , 0 a

15、d c b ddlBlB , lB d 0cos B B 0 d c d lB 螺线管外螺线管外B =0B =0； b a ddlBlB abB Iabn 0 I 0 作闭合环路作闭合环路 abcda, ,环路环路 内的电流代数和为：内的电流代数和为： IabnI nIB 0 26 环路环路 L 磁感应线磁感应线 例例5：一环形载流螺线管，匝数：一环形载流螺线管，匝数 为为 N ，内径为，内径为 R1 ，外径为，外径为 R2 ， 通有电流通有电流 I ，求管内磁感应强度。，求管内磁感应强度。 解：在管内作环路半径为解：在管内作环路半径为 r ， NII o1 R r 2 R 环路内电流代数和为

16、环路内电流代数和为 27 NIrB 0 2 r N I B 2 0 n r N 2 nIB 0 与直螺管的结论类似。与直螺管的结论类似。 为沿轴向线圈密度；为沿轴向线圈密度； L Id 0 l lB B 当当 r ( R2 R1) 时时 o1 R r 2 R 28 例例6：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为的单位长度的电流）到

17、处均匀。大小为 。j dl dl Bd Bd Bd p o 解：视为无限多平行长解：视为无限多平行长 直电流的场。直电流的场。 分析求场点分析求场点p的对称性的对称性 做做 po 垂线，取对称的长垂线，取对称的长 直电流元，其合磁场方直电流元，其合磁场方 向平行于电流平面。向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 无数对称元在无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。点的总磁场方向平行于电流平面。 29 dl dl Bd Bd Bd p

18、 o a b cd 作一安培回路如图：作一安培回路如图： bc和和 da两边被电流平两边被电流平 面等分。面等分。ab和和cd 与电与电 流平面平行流平面平行,则有则有： jllBldB o L 2 l 2 j B o 结果结果 在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 方向如图所示。方向如图所示。 30 方法一方法一.【解解】 环路定理法环路定理法 厚为厚为 2h 的板看成由的板看成由 电流均匀平行于表面的电流均匀平行于表面的 许多极薄的大平板组成许多极薄的大平板组成, 作对称矩形环路作

19、对称矩形环路abcda 取板外取板外 P 点为场点，点为场点， 0 h 0 a bc d i i B外 外 B外 外 P B内 内 B内 内 例题例题 .有一厚有一厚 2h 的无限大导体平板，其内的无限大导体平板，其内 有均匀电流平行于表面流动，电流密度为有均匀电流平行于表面流动，电流密度为 , 求空间的磁感应强度的分布。求空间的磁感应强度的分布。 i 分析得分析得 的方向如图。的方向如图。 B 31 hiB 0 外外 （均匀场，方向如图）（均匀场，方向如图） 同理，作对称矩形环路同理，作对称矩形环路 abcda,有有 yiB 0 内内 （非均匀场，方向如图）（非均匀场，方向如图） L iad

20、hadBlB22d 0 外外外外 L daBlB 内内内内 2d iday 2 0 取板内取板内 P 点为场点，点为场点， 设其坐标为设其坐标为y, hiBhyBy 0 ,0, 0 内内内内 ； 0 h 0 a bc d a b c d y i i B外 外 B内 内 B内 内 B外 外 P P 0 32 方法二方法二. 叠加法叠加法 磁场为无限多厚度为磁场为无限多厚度为 dy 的、均匀通电薄无限大板的、均匀通电薄无限大板 的磁场的叠加。每个薄板的磁场为均匀场，大小为的磁场的叠加。每个薄板的磁场为均匀场，大小为 1d 22 d 00 yi j B 薄板上方，向左薄板上方，向左 薄板下方，向右薄

21、板下方，向右 取板外场点取板外场点 P h i B外 外 0 y dy P 1 33 ihyiBB h h 0 0 d 2 d 外外外外 h i 0 y dy P y (厚板上方向左，厚板下方向右厚板上方向左，厚板下方向右) 取板内取板内 P 点为场点，其坐标为点为场点，其坐标为 y , 在在P点上方的各薄板在该点产生的点上方的各薄板在该点产生的 向右，向右， 在在P点下方的各薄板在该点产生的点下方的各薄板在该点产生的 向左，向左， B d B d 取取 向右为正向右为正B 34 y h h y yiyiBBd 2 d 2 d 00 内内内内 hyyhi 2 0 yiyi 0 0 2 2 （y 0,则则B内 内为负、向左） 为负、向左） h i B内 内 0 y dy P B内 内