弹性力学习题分解

1、1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理 量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的 连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程 成为线性的方程。3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比卩等） 就不随位置坐标而变化。4、各向同性假定：所谓 “各向同性 ”是指物体的物理性质在各个方

2、向上都是 相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位 移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都 简化为线性微分方程。在上述假定下， 弹性力学问题都化为线性问题， 从而可以应用叠加原理式中2-1 已知薄板有下列形变关系：A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力 分量表达式。解：1、相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续性条件。2、在平面应力问题中，

3、用形变分量表示的应力分量为3、平衡微分方程其中若满足平衡微分方程，必须有分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相谷方程和平衡微分方程条件若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。例2-2如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为p），顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。1.h .解：根据在边界上应力与面力的关系左侧面:右侧面：上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件。 上端 面额 面力 向截 面形 心 O 简化， 得 到面力 的主矢量和 主矩分 别为y=0 坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力 主矩的转向相反。所以下端面

4、的面力向截面形心 D 简化，得到主矢量和主矩为y=l 坐标面，应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同 所以分析： 1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无 法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求 解大为简化。应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号。2-8试列出题2-8图（a）,题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其 端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边

5、界条件。解：图（ b）1、对于图（a）的问题上，应精确满足在主要边界F列边界条件：上,在小边界（次要边界）能精确满足下列边界条件:上，有位移在小边界（次要边界）边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，2、对于图（b）所示问题上，应精确满足下在主要边界列边界条件：在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时,在小边界（次要边界）上，有位移边界条件:这两个位移边界条件可以应用圣维南原理， 改用三个积分的应力边界条件来 代替，2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载 F,如题2-17所示，体 力可以不计。根据材料力学公

6、式，写出弯应力 ox和切应力Ty的表达式，并 取挤压应力0=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程， 再 说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解：1、 矩形悬臂 梁发生弯曲变 形，任意 横截面上 的玩具 方程为，横截面对 z 轴（中性轴 ）的惯性矩，根据材料力学公式，弯应力该截面上的剪力为；并取挤压应力o2、 经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件:能满足在次要边界分的应力边界条件:上，列出三个积满足应力边界条件在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件:满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答。例 3-1 如图

7、所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数求简支梁的应力分量（体力不计）解：1、相容条件：代入应力函数，得:由此得于是应力函数可改写为2、应力分量表达式3、考察边界条件：确定应力分量中的各系数联立求解以上各式，得再根据简支梁的端面条件确定常数D,F。由圣维南原理得可得再带入式（f）得4、应力分量表达式例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1,右端固定、左端自由,荷载分布在自右端上，其合力为 P （不计体力），求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程 M（ x） 与截面位置坐标x成正比，而该截面

8、上某点处的正应力又与该点的坐标 y成正比， 因此可设(a)耳=ctrxy式中的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得_-（b）式中的匸血；，；期海为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程V40 = 0，得上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即警=0警=0积分上二式，得fi (x) =+ ct3x2 + a5f2(x) = a6x3 + a7x2 + a8x+式中C(2 - flg为待定的积分常数。将 心仗)，右仗)代入式(b),得应力函数为0 = -xy3 十(ct2x3 + ci3x2 + a4x+ a5)y + (a3 +(x7x

9、z + afix + og).(c)(2) 应力分量的表达式j 8X = gxy疋y = 6(a2y + 6)x + 2(a3y + a7) Txy 二 diy2 3a2x3 2cx3x a4(3) 考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载; 自由端的剪力之和为P,得边界条件-c ；,自然满足；_ ,得 _-1 ;上式对x的任何值均应满足，因此得-，ctLh22(%)I严=0,得6時+ 2盘了 = 0X取任何值均应满足，因此得一二二-.将式（e）代入上式积分，得f （扣护-茲h2-一一匚其中-,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为rpI 耳=_匸留吟=0P% 一瓦h-护

10、）3-3试考察应力函数一:能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力）,画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。解 （1）相容条件:将代入相容方程（2）应力分量表达式12F看葢ygy二0门繆二（3）边界条件：在萝=4%號主要边界上，应精确定满足应力边界条件在次要边界x=o, x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件二 二口(a).L I . I ；b,在两侧上受到均布剪力q 的作用，试用函数:. I求解应力分量。题3-6图解：(1)相容条件将应力函数-代入相容方程.“一！*，其中T = (J =(J ? Sy

11、4 ? &x2 dy2很显然满足相容方程。(2) 应力分量表达式a20a20320(3) 考察边界条件，在主要边界二- L-上，各有两个应精确满足的边界条件,即= 0,(臥h*=q在次要边界y=0上， 一 _1 而的条件不可能精确满足(否则 只有a=b=o，可用积分的应力边界条件代替.(4)把各应力分量代入边界条件，得3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用， 体力可以不计，lh如 题3-7图所示，试用应力函数-一二 厂求解应力分量。y(1 hf a = 1)解(1)相容条件 将二| I J . J J 门、.代入相容方程，显然满足。(2)应力分量表达式d切az0沪0x = = 2B

12、 + 6Cy+6Dxyfay 二丽=机即=-硕=-(A + 3Dy2)(3)考察边界条件，在主要边界萨一 + k/7上，各有两个应精确满足的边界条 件9J厂甥=(Tyx)尸好=得-n.i (a)4在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩， 应用圣维南原理，用三个积 分的应力边界条件代替。注意 x=0是负x面，由此得严J-h/29：J 盂二弭 y = Fjn r得B二一dhoydy = M,得 c =-2M黑屆) -T(b)由式(a)(b)解出A-D2hf最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的 条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得3-9设题

13、3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为二，试用教材 3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。解(1)应力函数为0 = (Ax2 + By2 + Cy + D) + x(Ey3 + Fy2 + Gy) - y5 /1Ug-y4 + Hy3 + Ky2u(2)应力分量的表达式1 = (6Ay + 2B) + xC6Ey + 2F) 2Ay3 2By2 + 6Hy二+ 2KGy = Ay3 + By2 + Cy + D - pgy（d）Txy = - x(3Ay2 + 2By + C) - (3Ey2 + 2Fy + G)这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此

14、，如果能够选择适当 的常数A,B,，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式(b) ,(c),(d)就是 正确的解答。(3)考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样是戸厂2兀是x的偶函数，而| .是x的奇函数，于是由式(b) 和(d)可见(4) 考察边界条件：在主要边界 旷1上，应精确满足应力边界条件尸書=Oj (勺J尸母=)将应力分量式(c)和(4)代入，并注意到前面已有_ .一，可见这些边界条件要求h3 h2 h-A + _B + _C + Dh3h2 h4B-2C+D+Pgh/3.3-xf-h2A + hB + 0 即h2A+hB + C = tt -

15、x|h2A-hB + cj = 0 即h2A-hB + C = 0 联立求解得到2pg3pgA 二-护 B = OC=d = O将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d），得 乐二一譽”y +響y* + 6Hy + 2K（0(g)即且3 . pg 吩_科+y(h)考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值.1 ；_ .-，都有 ,-一。由式（f）可见，这是不可能满足的，除非I-H, h,在上边界受均布荷载q,试检验应力函数- 一 一：；一-.-一能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量的弯矩方程和剪力方程分

16、别为(l2-x2)；*：y.。式(I)11 1 1I 丁厂厂:s ?11AZ2* J:1*Ififih 3 - 10 图解 （1）相容条件将一- 一： 代入相容方程，得-.-,若满足相容方程，有1zA =石B(a)5(2)应力分量表达式ax j 20 Ay* 30Ax2y+ 6CySTa20 ySx2 = -10Ay3 + 2D+2Ey 护0Txy、二 30Axy2 2Ex dx dy（3）考察边界条件；主要边界._ 一上，应精确满足应力边界条件z s10(S)h = 0,得一 Ah3 + 2D + Eh 二 0v r y=28(b)110(oy) h -0, Ah3+2D-Eh = -q y

17、_2(c)15二 0得 EAh2 =04在次要边界上x=0 上,主矢和主矩为零，应用圣维南原理,（珈）尸(d)用三个积分的应力边界条件代替第94酉j満3件丿囂（讥=肿=0 得牛+ CJP = 0(e)匚雋（5）口旳=霜足q 3qD = _4,E = 4h联立求解式（a） ,（b）,（c）,（d） 和（e）,得A=5K5qq出眉一而“将各系数代入应力分量表达式，得_ y（Av2 3 英好、x = qh 4_5_6i?3-12为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条 件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原 理，用三个积分的应力边界条件（即主矢

18、量、主矩的条件）来代替？如果在主要 边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界 条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以 忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确 的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的 解答具有的近似性。3-15 试分析简支梁受均布荷载时，平面截面

19、假设是否成立？解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之， 弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程， 几何方程和物理方程，以 及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中 没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面 假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不 成立。例4-2如图所示楔形体右侧面受均布荷载 q作用，试求应力分量。【解】(1)楔形体内任一点的应力分量决定于q、，其中q的量纲为NL2，与应力的量纲相同。因此,各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的无量纲函数，

20、亦即应力表达式中不能出现P，再由2-知,应力函数应是的函7I(a)数乘以2，可设2f(将式(a)代入双调和方程1 d4fQ4d4f()4讐=。，上式的通解为f ( ) Acos2 Bsin2 C D ,将上式代入式(a),得应力函数为将系数代入(c),得应力分量(1cos2 ) (2sin2 )2(ta n)tan (1 cos2 ) (2sin2 )2 (tan)q，cos2 ) tan sin 2q。2(ta n )tan (1(h)2(Acos2Bsi n2CD)。(b)(2)应力表达式为1 1 2r 2 22( Acos2Bsi n2 C D),2Vr 2(Acos2Bsi n2 CD

21、),(c)1 1 2I22Asin 22B cos2 C o(3)应力边界条件()0 q ，得 2(A+D)=q ;(d)()0，得 Acos2+B sin2 +C +D=0,(e)()0,得2B- C=0,()0,2As in2 -2Bcos2 -C =0 o(g)联立求解式(d) (g),得各系数Aqtan, Bq4(ta n)4(ta n)Cq, Dq(ta n2)o2(ta n)4(ta n)分析：应力函数表达式(a)中不出现，这是因为f()中包含了 角0中体现）。（在应用应力边界条件时,4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程，并证明u A B,u 0可以满足此基本方程。

22、【解】（1）设U u （ ）, u 0,代入几何方程，教材中式（4-2）得形变分量(a)将式（a）代入物理方程,教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量旦(丄1 u2(E u 2(u 1 u0uu ),u),(b)将式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在轴对称问题中, 平衡方程为0,（C）式（C）中的第二式自然满足，第一式为(d)d2u1 du u苕丁飞0上式即为求u的基本方程。（2）将u A -,u 0将代入式（d）,很显然满足方程。4-7实心圆盘在r的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解答。【解】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中式(4-11),即B(1 2ln

23、)2C,A2B(3 2ln )2C,(a)首先，在圆盘的周界（r ）上，有边界条件（）rq，由此得A2B（1 2ln r） 2C q，r其次，在圆盘的圆心，当o时式（a）中（b）的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当 0时，必须有A=B=0把上述条件代入（b）式中，得所以，得应力的解答为2(Bsin2C )求0，显然满足。2，分别为面,20,得 C 04-9半平面体表面上受有均布水平力q,试用应力函数 解应力分量，如题4-9图所示。【解】(1)相容条件：将应力函数代入相容方程4(2)由求应力分量表达式2Bsin2 2C

24、 ,J 2Bsin2 2C ,2Bcos2 C(3)考虑边界条件：注意本题有两个 面，即 在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有将各系数代入应力分量表达式，得q sin 2qsin 2q cos24-12楔形体在两侧面上受有均布剪力 q,如题4-12图所示，试求其应力分量【解】（1）应用应力函数2(Acos2B sin 2D)，进行求解由应力函数得应力分量“ “ 2广22(Acos2 Bsin2C D),22 2(Acos2 Bsi n2CD),1 (1 )2As in22B cos2C（2）考察边界条件:根据对称性，得 0;(a) 2 门q；(b)/ 0;/2(c),2 q(d

25、)同式（a）得2Acos2BsinC2D 0;(e)同式（b）得2Asi n2BcosCq;同式（c）得2Acos2BsinC2D 0;(g)同式（d）得2Asi n2BcosCq;(h)式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得A ,B C 0, D qcot2sin2将以上各系数代入应力分量，得cos2 ,q cotsincos2 , / q cotsinsin 2iqsin4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为 R而内半径 为r的圆筒，圆筒受内压力为q,试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移 u 0，另外还要考虑位移的单值条件。(1)应力分量引用轴

26、对称应力解答，教材中式(4-11)，取圆筒解答中的系数为 A，B，C,刚体解答中的系数为A7，Bz，C由多连体中的位移单值条件，有B=0,B =0现在，取圆筒的应力表达式为(a)(b)2C( c )A22CA， 2刚体的应力表达式AA22C,122C(d)考虑边界条件和接触条件来求解常数A,A，,C,C /和相应的位移解答首先，在圆筒的内面，有边界条件()r q，由此得A 2C q(e)r其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有() 0,( ) 0由此得2CZ =0(f)再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有于是有式(c)及式(d)(g)R 2C（2）平面应变冋题的位移分量应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达 式u 2(1 2u)CI cosK sin(h)u 0(i)刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即u将式（h）和式（i ）代入，得1 uAT 2(1 2u)CR A 1 cosK sin 0方程在接触面上的任意点都成立，取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等。于是得甘 2(1 2u)CR简化并利用式（f），得A 2(1 2u)R2C(j)（3）圆筒的应力把式（j ）代入式（e），得圆筒的应力为1 2u R22 1 r1