2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.2.1导数的概念 课件2

1、 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 1.曲线的切线曲线的切线 y=f(x) P Q M x y O x y P y=f(x) Q M x y O x y 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y= f(x) 的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的 任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线, PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的 倾斜角倾斜角. .tan ,: x y yMQxMP则则 .就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明： x y P Q ox y y=f(x) 割割 线线 切线切线 T 请看请看 当点当点Q沿沿 着曲线逐着曲

2、线逐 渐向点渐向点P 接近时接近时,割割 线线PQ绕绕 着点着点P逐逐 渐转动的渐转动的 情况情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0 时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲 线在点线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的 斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率. 即即: x xfxxf x y k xx )()( limlimtan 00 00 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求

3、曲线上某点切线的斜率的一 种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 注意注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关；与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。 例例1:求曲线求曲线y=f (x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M y x 00 0 ()( ) :lim x f xxf x k x 解 因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲线在

4、某点处的切求曲线在某点处的切 线方程的基本步骤线方程的基本步骤 : 先利先利 用切线斜率的定义求出切用切线斜率的定义求出切 线的斜率线的斜率,然后利用点斜式求切线方程然后利用点斜式求切线方程. 2 0 (1)1 (1 1) lim x x x 2 0 2() lim2. x xx x 练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程. 3 1 x y 答案答案:y=3x-4. 2.瞬时速度瞬时速度 已知物体作变速直线运动已知物体作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为s s(t)(表示位移表示位移,t表示时间表示时间),求物体在求物体在t0时刻的速度时刻的速度 如图设

5、该物体在时刻如图设该物体在时刻t0的位置是的位置是(t0)OA0,在时在时 刻刻t0 +t 的位置是的位置是s(t0+ t)=OA1,则从则从t0 到到 t0 +t 这这 段时间内段时间内,物体的位移是物体的位移是: 在时间段在时间段( t0+ t) t0 = t 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为: t s ttt tstts v 00 00 _ )( )()( )()( 0001 tsttsOAOAs 平均速度反映了物体运动时的快慢程度平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确但要精确 地描述非匀速直线运动地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动就要知道物体在每一时刻运动

6、的快慢程度的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映也既需要通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻 t的的瞬时速度瞬时速度v，就是物体在，就是物体在t到到 t+t这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度: . )()( limlim 00 t tstts t s v tt 例例2:物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： 其中位其中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s, g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2)

7、物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 2 2 1 gts 解解:)( 2 1 2 _ tgg t s v s s s(2+t) O s(2) (1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2 _ smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2 _ smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度 当当 _ , 22 , 0)3( v tt ./202limlim 0 _ 0 smg t s vv tt 即物体在时刻即物体在时刻t0=

8、2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s). 当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接近平均速度就越接近 t0=2(s) 时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s). 练习练习:某质点沿直线运动某质点沿直线运动,运动规律是运动规律是s=5t2+6,求求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度,这里这里t取值取值 范围为范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. 222 :(1)5(2)65 (26)205() , 205. sttt s t t 解 故平均速度为： .25,1 t s t时时当当 .20)520(limlim :2)2

9、( 00 t t s t tt 时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度为为 3.导数的概念导数的概念 从上面两个实例从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率一个是曲线的切线的斜率,一个是一个是 瞬时速度瞬时速度,具体意义不同具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数但通过比较可以看出它们的数 学表达式结构是一样的学表达式结构是一样的,即计算极限即计算极限 ,这就是我这就是我 们要学习的导数的定义们要学习的导数的定义. x y x 0 lim 定义定义：设函数：设函数y=f (x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当 自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相

10、应的改变量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限的极限 存在存在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f (x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化或变化 率率)记作记作 即即: ,|)( 0 0 xx yxf 或或 . )()( limlim)( 00 00 0 x xfxxf x y xf xx 如瞬时速度就是位移函数如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间对时间t的导数的导数. 是函数是函数f (x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0-x,x0)上的上的平均变化平均变化 率率,而导数则是函数而导数则是函数f (x)

11、在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映了函它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度数随自变量变化而变化的快慢程度 x xfxxf x y )()( 00 如果函数如果函数y=f (x)在点在点x=x0存在导数存在导数,就说函数就说函数y= f (x)在点在点x0处处可导可导,如果极限不存在如果极限不存在,就说函数就说函数 f (x)在点在点 x0处处不可导不可导. 0 0 0 )()( lim)( 0 xx xfxf xf xx 下下式式表表示示：事事实实上上，导导数数也也可可以以用用 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数 的基本方法是的

12、基本方法是: );()()1( 00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量 ; )()( )2( 00 x xfxxf x y 求求平平均均变变化化率率 .lim)()3( 0 0 x y xf x 取取极极限限，得得导导数数 例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数. (1) y 解： y x . 2|, 2)2(limlim 1 00 x xx yx x y , )2( 2 ) 2 1 2( 2 1 )2() 2( x x x x xy , )2( 2 1 1 )2( 2 xx x x x x y . 4

13、3 |, 4 3 4 1 1 )2( 2 1 1 limlim 2 00 x xx y xx y 222 (1)12() ,xxx 2 2() 2, xx x x ., 2 1 | ,:2 0 0 0 的的值值求求 且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例 x yxxxy xx ,: 00 xxxy 解解 00 xxxy xx , 2 11 limlim 000 00 xxxxx y xx . 1, 2 1 2 1 , 2 1 | 0 0 0 x x y xx 得得由由 0000 00 ()() () xxxxxx xxxx 00 1 . xxx 如果函数如果函数yf (x)在区间

14、在区间(a ,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说 函数函数yf (x)在区间在区间(a ,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x (a ,b) 都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a，b)内内 就构成一个新的函数就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数这个新的函数叫做函数f (x)在区在区 间间(a ,b)内的内的导函数导函数,记作记作 ,即即:)()( x yyxf 必必要要时时记记作作或或 x xfxxf x y yxf xx )()( limlim)( 00 在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数

15、. )()(),()( )()(,),( 0 000 函函数数值值 处处的的在在点点数数函函内内的的导导在在开开区区间间等等于于函函数数 处处的的导导数数在在点点函函数数时时当当 xxfbaxf xfxxfybax 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么函数在点那么函数在点x0处处 连续连续 求函数求函数y=f(x)的导数可分如下三步的导数可分如下三步: );()()1(xfxxfy 求函数的增量求函数的增量 ; )()( :)2( x xfxxf x y 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量 .lim)()3( 0 x y xfy x 求求极极

16、限限，得得导导函函数数 .1yxy ，求求：已已知知例例 ,xxxy 解解：, x x x xx x y . 2 1 1 limlimlim 000 x xxxx xxx x y y xxx .)0( |2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy ; 1lim, 1 )( ,0|,| 0 x y x xxx x y xyxxy x 则则时时当当解解： ; 1lim , 1 )()( ,0 0 x y x xxx x y xyx x 时时当当 . 01 01 x x y 4.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导

17、数的几何意义，就是曲 线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 . )( 0 x f 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是: )()( 000 xxxfxfy 例例1:设设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率. 1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x , 1 2 )1()1( lim)( 0 x xff xf x

18、 是是可可导导函函数数且且解解： , 2 1)1 ( ) 1 ()1 ( lim, 1 )1 (1 )1 () 1 ( lim 2 1 00 x fxf x xff xx . 2) 1 ( f 故所求的斜率为故所求的斜率为-2. 例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. ) 3 8 , 2( 3 1 3 Pxy上上一一点点 y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 3 yx .)(33lim 3 1 )()(33 lim 3 1 3 1 )( 3 1 limlim, 3 1 )1

19、( 222 0 322 0 33 00 3 xxxxx x xxxxx x xxx x y yxy x x xx 解解： . 42| 2 2 x y 即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 例例1:判断下列各命题的真假判断下列各命题的真假: (1)已知函数已知函数y=f (x)的图象上的点列的图象上的点列P1,P2,P3,Pn, 则过则过P0与与Pn两点的直线的两点的直线的 斜率就是函数在点斜率就是函数在点P0处的导数处的导数. , 0 PPn n 时时当当 答答:由函数在点由函数在

20、点P0处的导数的几何意义知处的导数的几何意义知:函数在点函数在点 P0处的导数是过处的导数是过P0点曲线点曲线(即函数即函数y=f (x)的图象的图象) 的切线的斜率的切线的斜率,而不是割线而不是割线P0Pn的斜率的斜率,故它是一故它是一 个假命题个假命题. (2)若物体的运动规律是若物体的运动规律是S=f (t),则物体在时刻则物体在时刻t0的瞬的瞬 时速度时速度V等于等于 .|)( 0 tt tf 答答:由于它完全符合瞬时速度的定义由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真故它是一个真 命题命题. (3)若函数若函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,则对任一则对任一 只要只要 函数在函数

21、在x0处连续处连续,则则 就必存在就必存在. , 0 Ax )( 0 x f 5.例题选讲例题选讲 答答:它是一个假命题它是一个假命题.例如例如,函数函数 在在x=0处连续处连续,但但 它在它在x=0处的导数不存在处的导数不存在. 3 xy (4)设设 是函数是函数y=f(x)的图象上的三点的图象上的三点,且函数在且函数在P1,P2,P3 三点处的导数均存在 三点处的导数均存在.若若 ,则必有则必有 )(,(),(),( 321333222111 xxxyxPyxPyxP 其其中中 )()( 31 xfxf )( 2 xf ).(),( 31 xfxf 答答: ,由于由于f (x)的导函的导函

22、 数数 未必是单调增函数未必是单调增函数.因此因此, 不一定成立不一定成立,例如例如f (x)=x3,则则 显然有显然有 故是假命题故是假命题. 时时且且当当)()( 21321 xfxfxxx )(x f )(),()( 312 xfxfxf ,3)( 2 xxf ) 1( f ).2(),1()0(),2(ffff 但但 说明说明:要正确判断命题的真假要正确判断命题的真假,需真正理解需真正理解:曲线在点曲线在点P处处 切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要还要 把握好要确定一个命题为真命题把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证则需给出论证,

23、而要给出否定的结论而要给出否定的结论,举一个反例就足够了举一个反例就足够了. 例例2:设函数设函数f (x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值: . 2 )()( lim)2(; )()( lim) 1 ( 00 0 00 0 h hxfhxf x xfxxf hx 分析分析:利用函数利用函数f (x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式, y也必须选择与

24、之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式. );( )()( lim )( )()( lim)1( 0 00 0 00 0 xf x xfxxf x xfxxf xx 原原式式解解： ).( )( )( 2 1 )()( lim )()( lim 2 1 2 )()()()( lim)2( 000 00 0 00 0 0000 0 xfxfxf h xfhxf h xfhxf h xfhxfxfhxf hh h 原原式式 例例3:证明证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数可导的奇函数的导函数为偶函数. 证证:(1)设偶函数设偶

25、函数f (x),则有则有f (-x)=f (x). ).( )()( lim,)( 0 xf x xfxxf xfy x 可可导导函函数数 ).( )()( lim )()( lim )()( lim)( 0 00 xf x xfxxf x xfxxf x xfxxf xf x xx .)(立立是奇函数，从而命题成是奇函数，从而命题成x f (2)仿仿(1)可证命题成立可证命题成立,在此略去在此略去,供同学们在课后练供同学们在课后练 习用习用. 练习练习1:设函数设函数f (x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值: x xf t x xf x xfxmxf xx )()(

26、lim)2( ; )()( lim) 1 ( 00 0 00 0 ).( 1 )2();()1( 00 xf t xfm 答答案案： 练习练习2:设函数设函数f (x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和 . )()( lim)( ax axfxaf af ax 表表示示 ).()()( )()( lim )()()()( lim )()( lim: afafaaf ax afxf a ax afaxafxfa ax axfxaf ax axax 解解 例例4:判断函数判断函数y=|3x-1|在在x=1/3处是否可导处是否可导. ; ) 3 1 (31 ) 3 1 (13 |1

27、3| xx xx xy解解： ; 3 ) 1 3 1 3( 1) 3 1 ( 3 limlim 00 x x x y xx ; 3 ) 3 1 31() 3 1 (31 limlim 00 x x x y xx .lim,limlim 0 00 不不存存在在 x y x y x y x xx 从而函数从而函数y=|3x-1|在在x=1/3处不可导处不可导. 注注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子这是一个函数在某点连续但不可导的例子. 练习练习3:函数函数f (x)=|x|(1+x)在点在点x0=0处是否有导数处是否有导数?若有若有, 求出来求出来,若没有若没有,说明理由说明理由. 0)(

28、0)( )()0()0( , )0( )0( )(: 2 2 2 2 xxx xxx xffxfy xxx xxx xf 故故有有 显显然然解解 , 1)1 (limlim 00 x x y xx . 1)1(limlim 00 x x y xx .,0,limlim 00 无无极极限限时时 x y x x y x y xx 故函数故函数f(x)=|x|(1+x)在点在点x0=0处没有导数处没有导数,即不可导即不可导. 6.小结小结 a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：（要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；（量；（2）求平均变化率；（）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。 c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、 “导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数