流体力学第七章 湍流

1、流 体 力 学 (Fluid Mechanics) 第七章第七章 湍流湍流 雷诺实验 Upper: Reynolds apparatus for investigating the transition to turbulence in pipe flow. Lower: Photographs of near-laminar flow (left) and turbulent flow (right) in a clear pipe much like the one used by Reynolds. 层流 这类流动的特点是所有流体质点的轨道都是平滑的曲线，速度场和压 强场是关于空间和时间

2、的连续函数。 在层流运动中，摩擦应力服从牛顿粘性假设。 流体质点的轨道没有秩序，并且各质点间有不连续的相对移动。 得出下述结论： （1）在扰动很小的时候，临界雷诺数可达很高的值； （2）对于直管，Re2000时，无论扰动多大，都保持层流。 两大无法使人理解的问题: 爱因斯坦相对论和湍流-海森堡 湍流研究大致形成两大理论： （1）半经验理论(应用价值大)；半经验理论中最基本的内容是“混合长 度理论”。 （2）统计理论(应用价值小) 。 第一节第一节 平均运动理论平均运动理论 7.1.1平均值平均值(时、空平均时、空平均) uuu vvvVVV www 或 求平均值时的限制 1、所选体积的限制 就

3、空间而言，在所选的一定体积（质心在内） ， 1 1 0 0 VVd ddx dy dz V d uvw 其中 这就要求 或 由空间平均得出合成速度。如此，可以合成一条流线。 困难：空间取多大是合适的？如何取？ 为什么要求空间 平均？ 2、所选时间段的限制 就时间而言，也需要在一定的时间间隔中求其平均状态 1 1 00 t t VVdt t V dtuvw t 要求或 Current meter 由时间平均也可得出合成速度。如此，也可以合成一条流线。 为什么要求时间平 均？ 3、实际求法 由于在实验上，对被测的量按时间求平均比较简单，所以我们把这种实际 情况作为在计算上只限于求时间平均值的根据。

4、 4、实际求法的合理性：仪器惯性 可以证明， 湍流中的压强也有 uuu uu u vvv vv v www ww w pp p a+bab kaka mm ab qq ll ab 常用的时均公式 7.1.2 7.1.2平均运动的微分方程平均运动的微分方程雷诺方程雷诺方程 : yx xxzx xyyyzy yz xzzz xyz P PPdu X dtxyz PPP dv Y dtxyz P PPdw Z dtxyz dVPPP F dtxyz 在第五章中已知 或 00 yx xxzx yx xxzx xxyx uu u uv vu y P PPuuuu uvwX txyzxyz uvwuvw

5、uuu xyzxyz u t P PP X xyz u XPP tx uw wu z u xx u y v z uu y zx P z uw () xxyx zx uu tt u XPu uu uPu vu v txy Pu wu w z 假定得 对X向的运动方程求时均值得: 另一方面有 0 1 ()()() 0 ()()() ()0 )0 0 ( t uuvvwwuvw xyz d xyz uu uvw xyz vvww xyz uvw t yz t x 同时有 xxyx zx xxyxzx xxyxzx u XPu uu uPu vu v txy Pu wu w z XPu uPu vPu

6、 w xyz uuu uvw xyz X uvw uuu x P u t u u u uPu vPu w xyz yz 而 uu vw xyz xxyxzx xxyxzx XPu uPu vPu w xyz du XPu u t uuu uvw x uPu vPu w dtxyz yz 红色部分合并得 xxyxzx xyyyzy xzyzzz du XPu uPu vPu w dtxyz dv YPu vPv vPw v dtxyz dw ZPu wPv wPw w dtxyz 得雷诺方程 (7-1-7) .3平均应力和脉冲应力张量平均应力和脉冲应力张量 ij u uu vu

7、w Pv uv vv w w uw vw w 研究湍流运动规律时的两个基本假定: （1）连续方程和运动方程式仍是正确的。 （2）应力张量与变形速度之间的线性关系依然正确。即 22 22 22 xxxx yyyy zzzz xyxy xzxz yz uu PP xx vv PP yy ww PP zz vuvu PP xyxy wuwu PP xzxz pp pp P pp wv yz yz wv P yz 取时均值 (7-1-9) 22 22 22 xxxx yyyy zzzz xyxy xz yz uu PPu u xx vv PPv v yy ww PPw w zz vu P pp pp

8、p P xy wu P xz wv P yz p 简单摸仿 xz yz vu u v xy wu Pu w xz wv Pv w yz (7-1-10) 将（7-1-9）及（7-1-10）代入平均运动微分方程（7-1-7） (7 1 7) (7 1 10)(7 2 1 9) 2 xxyxzx xx xx xyxy xz xz xx wu x u p x u p du XPu uPu vPu w dtxyz P Pu u Pu vP Pu w P du XP d z vu x y xt x yx zx wu P y vu xy x P zz () 2 () xxyx zx xxyx zx u p

9、 x uu du XPP dtxy P z dup XPP dtxxy P z dup vu xy uv xx wu xz x w X y z t x dx u 兰色部分之和为零 () xxyx zx yx xxzx PP xy P z P PPdup Xu dtxxy uu xy u z z (7 1 11) yx xxzx xyyyzy yz xzzz P PPdup X dtxxyz PPP dvp Y dtyxyz P PPdwp Z dtzx u v yz w 在实际情况下，湍流应力远远大于分子粘性，故通常略掉后者。 yx xxzx xyyyzy yz xzzz P PPdup X

10、dtxxyz PPP dvp Y dtyxyz P PPdwp Z dtzxyz 封闭性讨论： 结论：不封闭。 解决方法：找出一系列的辅助关系。当然，这些关系只能依据某些假设 才能得到，这些假设是否正确又只能用间接的方法来验证。 根据假设的性质和研究湍流的这些问题所用方法的不同，目前有两种方 法，即半经验法和统计法。本教材只讨论前者。 (1)10 , , ,. (2) xxzz u v w P PP 未知量个 方程数 3+1 完全弹性碰撞 第二节第二节 混合长度理论混合长度理论 ： （1）湍流中的流体微团有一个“混合长度”l， 对于某一给定点y，流体微团由y-l和y+l各以随机 的时间间隔达到

11、y点。它们在到达y点之前，保持 其原来的速度 不变。一旦到达y点就与原来该处的流体微团发生 碰撞而发生动量交换。 （2）x和y方向上的速度脉动量具有相同的量阶。 根据连续方程知，它们的符号相反。 ()()u ylu yl和 普朗特混合长度理论普朗特混合长度理论: : 作湍流运动的流体是有大量的作随作湍流运动的流体是有大量的作随 机脉动的流体微团所组成的。两个流体机脉动的流体微团所组成的。两个流体 微团在碰撞前需经过一个微团在碰撞前需经过一个“自由程自由程”。x x 和和y y方向上的速度脉动量具有相同的量阶。方向上的速度脉动量具有相同的量阶。 根据连续方程知，它们的符号相反。脉根据连续方程知，

12、它们的符号相反。脉 动量为动量为 u ul y .1普朗特混合长度理论的应用普朗特混合长度理论的应用 一、湍流应力表达式 讨论x方向的定常平均运动。 若y 层中的某质点是y+l层中的质点由于脉冲运动所带来的，则脉动速度与 两层时均流速之差成比例，即 , ,0 , uuu vv ww uu yvw u yu yl u u ylu yl y 或 现有 并且 u ul y u ul y 重要结论: 脉动值等混合长度乘以平均速度的偏导. y层中的流体微团因脉动而进入y+l层时，单位时间内(通过单位面积） 带去的x方向的动量为 自y+l 层中也有流体微团因脉动而进入y层，其携带的动量为

13、对y层来说，迁移出去的动量为 即y层获得动量。 uv u ulv y uu uvulvv l yy 注意:每两层之间，l值是不同的。把上式对不同的l值取平均，则动量差为 这种动量传递表现为各层间的湍流粘性力，即 上述亦可写为 u v l y xyyx du PPu vv l dy 负号获得动量 2 ,. xyyxc c xyyxc xy c c du PPv l dy vvl du PPv l dy du P dy v l v l 其中称为平均混合长度 比较 称为湍流粘滞系数,用A表示. 2 22 ( ) c dudu uull dydy 根据假定（1）得出 根据假定（2）得出 于是 cc d

14、u uvl dy c du Av lll dy 代入（7-2-3）得 2 2 2 ) xyyxc xyyx dududu PPv lll dydydy du du l dy dy PPu v du du lu v dy dy du du u vl d l y d l y 两式比较得 (已假定 关于混合长度理论的讨论: 1、混合长度理论的基本思想是把宏观的流体微团的脉动运动和分子的微观 运动进行类比。 2、混合长度理论的基本出发点似乎比较容易接受，但是这种理论在物理上 却隐含着严重的缺陷。 因为分子自由运动与湍流脉动运动在形式上似乎相似，但它们之间有本质 差别。 3、分子运动的动能并非来自宏观流

15、场，即分子运动与宏观运动之间并不 存在动量及能量的交换。 湍流脉动流场与时均流场却存在着动量及能量的交换，故湍流粘性系数不 仅与湍流脉动有关，并且与时均流场有关。 4、尽管混合长度理论在本质上有严重缺陷，但是，在某些情况下，只要 对湍流粘性系数 略加修正就能与实验相吻合。 因此到目前为止尚不失为一种有用的理论模型的基础。 Wrong is correct. 第三节第三节 边界层中的湍流速度分布的讨论边界层中的湍流速度分布的讨论 7.3.1普朗特的附加假定 讲两种对数分布率 一、根据普朗特理论，湍流中脉冲应力的绝对值为 2 2 xyyx du PPl dy 普朗特的附加假定: (1)除了无限靠近

16、固体边界的一层外，混合长度与离边界的距离y的一次 方成比例 (2)认为湍流摩擦是常数量 lBy 0 xy P 2 2222 0 0 0 * 0 0 * 1 () 1 ln , 1 ln dududu lB y dydydyBy uyc B uu uuyc B 得 令称为摩擦速度,可以测定 所以为已知 得 * * maxmax * max 1 ln 1 ,ln 1 ln,. uuyc B yhuucuuh B h uuu By B 若 其中 还需 时 则由实验定 则 二、如不采用上面关于湍流摩擦为常值的假定，只需作出流体元的平均压强和 湍流摩擦的平衡关系，便可得到 xy P p xyy : 0,

17、0,0() 0 2 0 00 xy yx xxzx yx xx xx yxy xx zx x P p xyy P PPdup X dtxxyz P Pp xxy u P x u x PP Ppp xxyx du XP d y t p 关于的证明 又 对于充分发 二维运动 展的边界层 如果认为平均压强梯度与y无关，则可积分得 (7-3-8) yx P p xy p yc x 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0, 0 , (738) 1 1 xy y yh p c xh py yc xh du PllBy dy duy By dyh 利用边界条件 当时 当时, 代入得 已知和 * * max

18、max * max 1 11 2 1ln 11 11 2 1ln (7-3-11) 11 duuy dyByh y uy h uc Bhy h uu cu y uy h uu Bhy h B 或 积分得 代入边界条件y=h时, 其中 还需由实验定. 所用积分公式见课本 7.3.2 1/7 7.3.2 1/7次方定律次方定律 普朗特在研究湍流层中速度的分布时，结合实验数据，提出下列两个 假定： （1）边界附近的速度分布只与流体的物理性质（粘性系数和密度）以 及作用在边界上的切应力有关； （2）边界的阻力与速度的7/4次方成正比。 B为数值常数，上述表达式的量纲式为 0 uBy 131112 LTMLML TML TL 11 221 0 11211 21 0 0 31 21 12 1 21 uBy B uyBB 解得 代入速度表达式得 或其中 再利用假定（2)，得 一般称此式为1/7次方定律。 41 77 3141 7777 0 0 17 4 uBy uB y B 其中 还需或,由实验定 7.3.3 7.3.3粘性的影响粘性的影响 如果在湍流中考虑粘性的影响，则在垂直于边界的横截面上速度分布区 域可分为两个不同的部分： （1）纯粹湍流区域； (2)粘性影响占优势的区域。 只