第三章集中趋势和离散程度测定

1、第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 第三章第三章 集中趋势和离散程度的测度集中趋势和离散程度的测度 一、众数一、众数 二、平均数二、平均数 三、中位数三、中位数 四、众数、中位数和平均数的比较四、众数、中位数和平均数的比较 第一节第一节 集中趋势的测定集中趋势的测定 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 一、众数 (mode) 众数是指总体中最常见的标志值，也即重复众数是指总体中最常见的标志值，也即重复 出现次数最多的标志值。出现次数最多的标志值。 众数的计算方法：众数的计算方法： 单项数列：出现次数最多的标志值就是众数。单项数列：出现次数最多的标志值

2、就是众数。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 o对于分组数据，众数通常采用下面的近似公 式计算（下限公式：） iLM o 21 1 1 2 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 o对于分组数据，众数通常采用下面的近似公 式计算（上限公式：） iUM o 21 2 1 2 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 一、众数的特点 o一组数据中出现次数最多的变量值 o适合于数据量较多时使用 o不受极端值的影响 o一组数据可能没有众数或有几个众数 o在组距数列中，当变量数列不等距分组时， 众数的位置不好确定。 第三章集中趋势和离散程度测定第

3、三章集中趋势和离散程度测定 M0 M0M0 M0M0 若有两个次数相等的众数，则称复众数。若有两个次数相等的众数，则称复众数。 只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才 存在众数。存在众数。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 下三图无众数：下三图无众数： 在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时， 计算众数是没有意义的。计算众数是没有意义的。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 众数(不惟一性) o无众数无众数 原始数据: 10 5 9 12

4、6 8 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 总总体体标标志志总总量量 算算术术平平均均数数 总总体体单单位位总总数数 1.1.算术平均数的基本公式算术平均数的基本公式 二、算术平均数二、算术平均数 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 X X n 式中式中： 算术平均数 X 各单位的标志值 n 总体单位数 总和符号 X 2.2.简单算术平均数简单算术平均数 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 X f X f 式中式中： 算术平均数 X 各组数值 f 各组数值出现的次数(即权数) X 3.3.加权算术平均数加权算术平均数 第三章集中

5、趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。 按日产量分组 (千克) 组中值X (千克) 工人数f (人) Xf 60 以下 55 10 550 60 70 65 19 1235 70 80 75 50 3750 80 90 85 36 3060 90 100 95 27 2565 100 110 105 14 1470 110 以上115 8 920 合 计- 164 13550 )(62.82 164 13550 千克平均日产量 f fX X 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 fXf XX ff

6、在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数 系数来求加权算术平均数，其公式为：系数来求加权算术平均数，其公式为： 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 按日产量分组 (千克) 组中值X (千克) 工人数f (人) ff / f 60 以下 55 100.06 3.3 60 70 65 190.12 7.8 70 80 75 500.30 22.5 80 90 85 360.22 18.7 90 100 95 270.16 15.2 100 110 105 140.09 9.45 110 以上115 80.05 5.75 合 计-1641

7、.00 82.7 f f X 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 加权算术平均数受两因素的影响：加权算术平均数受两因素的影响： -变量值大小的影响。变量值大小的影响。 -次数多少的影响次数多少的影响。 而简单算术平均数只反映变量值大小这一而简单算术平均数只反映变量值大小这一 因素的影响。因素的影响。 加加权算术平均数与简单算术平均数不同在于：权算术平均数与简单算术平均数不同在于： 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 各个变量值与算术平均数离差之和等于零各个变量值与算术平均数离差之和等于零 4.4.算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质 0)(XX

8、简单平均数： 加权平均数： 0 fXX)( 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 各个变量值与算术平均数离差平方之和各个变量值与算术平均数离差平方之和 等于最小值等于最小值 2 2 () () X Xf X X 简简单单平平均均数数：最最小小值值 加加权权平平均均数数：最最小小值值 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 算术平均数的特点算术平均数的特点 算术平均数适合用代数方法运算，因此运用算术平均数适合用代数方法运算，因此运用 比较广泛；比较广泛； 易受极端变量值的影响，使易受极端变量值的影响，使 的代表性变小；的代表性变小； 受极大值的影响大于受极小

9、值的影响；受极大值的影响大于受极小值的影响； 当组距数列为开口组时，由于组中点不易确当组距数列为开口组时，由于组中点不易确 定，使定，使 的代表性也不很可靠。的代表性也不很可靠。 X X 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 调和平均数是各个变量值倒数的调和平均数是各个变量值倒数的 算术平均数的倒数算术平均数的倒数。 三、调和平均数三、调和平均数( (又称又称“倒数平均数倒数平均数”) ) 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 其计算方法如下其计算方法如下： 1 h n X X 1 (1).先先计计算算各各个个变变量量值值的的倒倒数数，即即 X 1 (2

10、).计计算算上上述述各各个个变变量量值值倒倒数数的的算算术术平平均均数数，即即 X n (3)., 1 再再计计算算这这种种算算术术平平均均数数的的的的倒倒数数，就就是是调调和和平平均均数数 即即 n X 1 在在 加加 权权 的的 情情 况况 下下 ：h f X f X 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权 数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立： m m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次 数，

11、而是各组标志值总量。数，而是各组标志值总量。 1 式式 中中 ：， h XfXfm XX mf Xf XX m mXff X 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下： 市场平均价格(元) X 销售额(元) m=Xf 销售额(元) 平均价格(元) (即销售量) 甲1.0030 00030 000 乙1.5030 00020 000 丙1.4035 00025 000 合计-95 00075 000 f X m )(27.1 000,75 000,95 1 元总平均价格 m X m Xh 1.1.由由平均数计算平均数时调和

12、平均数的应用：平均数计算平均数时调和平均数的应用： 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 某公司有四个工厂，已知其计划完成程度(%)及实际产值资料如下： 工厂计划完成程度(%) X 实际产值(万元) m=Xf 实际产值计划完成程度(%) (即计划产值) (万元) 甲 90 90 100 乙100 200 200 丙110 330 300 丁120 480 400 合计-1,1001,000 f X m %110 000, 1 100, 1 1 m X m 平均完成计划程度 2.2.由由相对数计算平均数时调和平均数的应用：相对数计算平均数时调和平均数的应用： 例例 第三

13、章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 从以上计算平均数的例子来看，当掌握的资料是变从以上计算平均数的例子来看，当掌握的资料是变 量值量值X X和总体的标志总量和总体的标志总量M M时，则权数就是标志总时，则权数就是标志总 量，这时就采用加权调和平均数公式计算平均数。量，这时就采用加权调和平均数公式计算平均数。 反之，如果已掌握变量值反之，如果已掌握变量值X X及其相应的总体单位及其相应的总体单位 数数f f，则权数就是总体单位数，就可以直接采用，则权数就是总体单位数，就可以直接采用 加权算术平均数法计算平均数。加权算术平均数法计算平均数。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中

14、趋势和离散程度测定 调和平均数的特点调和平均数的特点 如果数列中有一标志值等于零，则无法如果数列中有一标志值等于零，则无法 计算计算； h X 它作为一种数值平均数，受所有标志值的它作为一种数值平均数，受所有标志值的 影响，它受极小值的影响大于受极大值影响，它受极小值的影响大于受极大值 的影响，但较之算术平均数，的影响，但较之算术平均数， 受极端受极端 值的影响要小。值的影响要小。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 1.1.简单几何平均数简单几何平均数 四、几何平均数四、几何平均数( (又称又称“对数平均数对数平均数”) ) n n n GXXXXX 21 n X XG

15、 lg lg 计算时要进行对数变换，即： 几何平均数就是几何平均数就是n n个变量值个变量值XiXi连乘积的连乘积的n n次方根。计算公式为：次方根。计算公式为： 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 例例 某机械厂有铸造车间、加工车间、装配车间三个连续 流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别为 95%、92%、90%，求平均车间产品合格率。 3 321 XXXXG 解： %.%3192909295 3 这说明该厂车间产品平均合格率为92.31% 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 式式中中： 为为各各变变量量值值的的次次数数或或权权数数 将将公

16、公式式两两边边取取对对数数，则则为为： 1212 12 1122 12 lglglglg lg (lg) L L L L nn G G GG f fffffff n nn n XXXXX f fXfXfXfX X ffff XarcX 2.2.加权几何平均数加权几何平均数 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 几何平均数的特点几何平均数的特点 如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法 计算计算 ； 受极端值的影响较受极端值的影响较 和和 小，故比较稳健；小，故比较稳健； 几何平均数的适用范围较小，主要适用于比率平几何平均数的适用范

17、围较小，主要适用于比率平 均和速度平均，即计算平均发展速度，进行时间数列均和速度平均，即计算平均发展速度，进行时间数列 分析等。分析等。 G X X hX 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 o排序后处于中间位置上的值 六、中位数六、中位数 M Me e 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 由未分组资料确定中位数由未分组资料确定中位数 1 () 2 中中位位数数的的位位置置为为总总体体单单位位数数 n n 2.2.中位数的计算方法中位数的计算方法 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 n n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值为奇

18、数时，则居于中间位置的那个标志值 就是中位数。就是中位数。 )(26263 3 2 15 2 1 3029262320 件件产品为中位数：位工人日产即，第 中位数位置 ， 件数，按序排列如下：有五个工人生产某产品 e M n 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 n n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术 平均数为中位数。平均数为中位数。 )(5 .27 2 2926 5 . 3 2 16 2 1 323029262320 件 至第四人的平均数：这表明中位数是第三、 中位数位置 ， 序排列如下：人生产某产品件数，按上例中，假如有

19、六个工 e M n 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 由单项数列确定中位数由单项数列确定中位数 某企业按日产零件分组如下： 按日产零件分组 （件） 工人数 （人） 较小制累计较大制累计 26 3 380 31101377 32142767 34275453 36187226 41 880 8 合计80- )(34 40 2 80 2 件即 中位数位置 e M f 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 由组距数列确定中位数由组距数列确定中位数 按日产量分组(千 克) 工人数 (人) 较小制累计较大制累计 50 60 10 10164 60 70

20、19 29154 70 80 50 79135 80 90 36115 85 90100 27142 49 100-110 14156 22 110以上 8164 8 合计164- 组距内。即中位数在 中位数位置 9080 82 2 164 2 f 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 d f S f XM m m Le 1 2 下限公式下限公式（较小制累计时用）： )(.千克838010 36 79 2 164 80 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 上限公式上限公式（较大制累计时用）： )(.千克838010 36 49 2 164 90 d f

21、 S f XM m m Ue 1 2 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 中位数不受极端值及开口组的影响，中位数不受极端值及开口组的影响， 具有稳健性具有稳健性。 各单位标志值与中位数离差的绝对值之和各单位标志值与中位数离差的绝对值之和 是个最小值。是个最小值。 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的对某些不具有数学特点或不能用数字测定的 现象，可用中位数求其一般水平。现象，可用中位数求其一般水平。 minmin即即：或或 ee XMXM f 3.3.中位数的特点中位数的特点 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 众数、中位数和均值的比较 众数、中位数

22、和算术平均数之间有着一定的关系，这种众数、中位数和算术平均数之间有着一定的关系，这种 关系决定于总体次数分布的状况。当次数分布呈对称的关系决定于总体次数分布的状况。当次数分布呈对称的 钟形分布时，算术平均数位于次数分布曲线的对称点上，钟形分布时，算术平均数位于次数分布曲线的对称点上， 而该点又是曲线的最高点和中心点，因此众数、中位数而该点又是曲线的最高点和中心点，因此众数、中位数 和算术平均数三者相等。和算术平均数三者相等。 当次数分布呈非对称的钟形分布时，由于这三种平均数当次数分布呈非对称的钟形分布时，由于这三种平均数 受极端值影响程度的不同，因而它们的数值就存在一定受极端值影响程度的不同，

23、因而它们的数值就存在一定 的差别，但三者之间任然有一定的关系。如下图所示：的差别，但三者之间任然有一定的关系。如下图所示： 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 众数、中位数和均值的关系 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 众数、中位数、均值的特点和应用 o众数 n不受极端值影响 n具有不惟一性 n数据分布偏斜程度较大时应用 o中位数 n不受极端值影响 n数据分布偏斜程度较大时应用 o均值 n易受极端值影响 n数学性质优良 n数据对称分布或接近对称分布时应用 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 hGXXX、 （一）（一）三者的关系

24、三者的关系 hGXXX 表示为：表示为： 七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系 87.7 16.7 5.8 121084 G h X X X ，变量值 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 f如图： 0 MMX e 0e XMM、 ( (二）二）三者的关系三者的关系 0 即即 e XMM 1.1.当当总体分布呈对称状态时，三者合而为一总体分布呈对称状态时，三者合而为一, , 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 0 (1). 如如果果分分布布右右偏偏，则则 e XMM 如图： f XX 0 M e M 2.2. 当总体分布呈非对

25、称状态时当总体分布呈非对称状态时 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 0 (2). 如如果果分分布布左左偏偏，则则 e XMM 如图： f XX 0 M e M 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 所以所以 0 )( o MX如果，则说明分布右偏（或上偏） 0 )( o MX 如果 ，则说明分布左偏（或下偏） 0 )( o MX如果，则说明分布对称 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 1 1、标、标志变动度是评价平均数代表性的依据志变动度是评价平均数代表性的依据。 第二节第二节 标志变动度标志变动度 2.2.作用作用： 1.1.

26、概念：概念： 标志变动度是指总体中各单位标志值差标志变动度是指总体中各单位标志值差 别大小的程度，又称离散程度或离中程度。别大小的程度，又称离散程度或离中程度。 一、标志变动度的意义、作用和种类一、标志变动度的意义、作用和种类 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生某次考试成绩列表 语文数学物理化学政治英语 甲 959065707585 乙1107095508075 甲、乙两学生的平均成绩为甲、乙两学生的平均成绩为8080分，集中趋势分，集中趋势 一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙 组

27、数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数 的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据 分布越集中，平均数的代表性越大分布越集中，平均数的代表性越大。 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 2 2、标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动、标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动 过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。 供货计划完成百分比(%) 季度总供货计划 执行结果 一月二月三月 钢 厂 甲100323434 乙100

28、203050 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 3 3、标志变动度可以揭示总体变量分布的离中趋势，是研、标志变动度可以揭示总体变量分布的离中趋势，是研 究总体分布的重要特征值。平均指标揭示了总体变量究总体分布的重要特征值。平均指标揭示了总体变量 分布的集中趋势，成为研究总体分布的重要特征值。分布的集中趋势，成为研究总体分布的重要特征值。 而标志变动度则从另一个侧面揭示了以平均数为中心，而标志变动度则从另一个侧面揭示了以平均数为中心， 各标志值偏离中心的程度。各标志值偏离中心的程度。 4 4、标志变动指标可以确定推断总体的准确程度。例如，、标志变动指标可以确定推断总

29、体的准确程度。例如， 在抽样调查中，根据样本指标来推断总体指标，只有在抽样调查中，根据样本指标来推断总体指标，只有 计算标志变动指标，才能确定推断的准确程度及误差计算标志变动指标，才能确定推断的准确程度及误差 大小。大小。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 3.3.种类种类 即测定标志变动度的方法即测定标志变动度的方法, ,主要有：主要有： 全距、四分位差、平均差、标准差、离散系全距、四分位差、平均差、标准差、离散系 数等。数等。 全距全距R R 四分位差四分位差Q.D.Q.D. 平平 均均 差差A.D.A.D. 标标 准准 差差S.D.()S.D.() 离散系数离散系

30、数V V 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 优点：优点： 计算方便，易于理解。计算方便，易于理解。 缺点：缺点： 全距只考虑数列两端数值差异，它是测定全距只考虑数列两端数值差异，它是测定 标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各 单位标志的变异程度。单位标志的变异程度。 maxmin RX-X即即： 1. 1. 全距是总体各单位标志值最大值和最小值之差全距是总体各单位标志值最大值和最小值之差, , 2. 2. 全距的特点全距的特点 二、全距二、全距 R R 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 1.1.

31、概念概念： 将总体各单位的标志值按大小顺序将总体各单位的标志值按大小顺序 排列，然后将数列分为四等分，形成三个分排列，然后将数列分为四等分，形成三个分 割点割点(Ql、Qe、Qu)，这三个分割点称为四分这三个分割点称为四分 位数，位数，( (其中第二个四分位数其中第二个四分位数Qe就是数列的就是数列的 中位数中位数Me)。 四分位差四分位差 Q.D.=Qu-Ql 三、四分位差三、四分位差 Q.D.Q.D. 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 根据未分组资料求根据未分组资料求Q.DQ.D. 2.2.计算计算： Q Ql l位置位置=n/4=n/4 Q Qu u位置位置=3n

32、/4=3n/4 如果位置是整数，四分位数就是该位置对应的值；如果是在整数如果位置是整数，四分位数就是该位置对应的值；如果是在整数 加加0.5的位置上，则取该位置两侧值的平均数；如果是在整数加的位置上，则取该位置两侧值的平均数；如果是在整数加 0.25或或0.75的位置上，则四分位数等于该位置前面的值加上按比的位置上，则四分位数等于该位置前面的值加上按比 例分摊位置两侧数值的差值。例分摊位置两侧数值的差值。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 例例 例如：在一个企业中随机抽取例如：在一个企业中随机抽取9名员工，得到每名员工的月工资名员工，得到每名员工的月工资 收入数据如下：

33、收入数据如下： 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 先对数据进行排序，然后计算出四分位数的位置，再计算出先对数据进行排序，然后计算出四分位数的位置，再计算出 四分位数的值。四分位数的值。 Q Ql l位置位置=n/4=2.25=n/4=2.25，即，即Ql在第在第2个数值（个数值（780）和第）和第 3个数值（个数值（850）之间）之间0.25的位置上，的位置上， 因此因此Ql=780+（850-780）*0.25=797.5（元）（元） 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 例例 Q Qu u位置位置=3n/4=6.75=3n

34、/4=6.75，即，即Qu在第在第6个数值（个数值（1250）和第）和第7个个 数值（数值（1500）之间）之间0.75的位置上，的位置上， 因此因此Qu=1250+（1500-1250）*0.75=1437.5（元）（元） 四分位数的结果表明，至少有四分位数的结果表明，至少有25%25%的数据小于或等的数据小于或等 于于Ql；至少有；至少有75%的数据小于或等于的数据小于或等于Qu，而至少有，而至少有25%的数的数 据大于或等于据大于或等于Qu。由于。由于Ql和和Qu之间包含了之间包含了50%的数据，就上的数据，就上 面的例子而言，可以说大约有一半的员工工资收入在面的例子而言，可以说大约有一

35、半的员工工资收入在797.5- 1437.5元之间。元之间。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 根据分组资料求根据分组资料求Q.D.Q.D. 13 f3f 1) Q, Q 44 的的位位置置的的位位置置 2) 2) 若单项数列，则若单项数列，则Q Ql l与与Q Q3 3所在组的标志值就是所在组的标志值就是Q Q1 1与与Q Q3 3 的数值；的数值； 若组距数列，确定了若组距数列，确定了Q Q1 1与与Q Q3 3所在组后，还要用以下所在组后，还要用以下 公式求近似值：公式求近似值： 13 11 111333 13 3 44 QQ ff SS QLdQLd ff 第三

36、章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 根据某车间工人日产零件分组资料，求Q.D. 按日产零件分组按日产零件分组(件件)工人数工人数(人人)累计工人数累计工人数(人人)(较小制较小制) 5-10 12 12 10-15 46 58 15-20 36 94 20-25 6100 合合 计计100- 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 95. 541.1136.17. )(36.175 36 58 4 1003 15Q )(41.115 46 12 4 100 10Q Q ,75 4 1003 Q Q ,25 4 100 13 3 1 33 11 QQDQ

37、 Q 件 件 在第三组则的位置 在第二组则的位置 这表明有一半工人的日产量分布在11.41件至 17.36件之间，且相差5.95件。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 四分位差不受两端各四分位差不受两端各25%25%数值的影响，能对开口数值的影响，能对开口 组数列的差异程度进行测定；组数列的差异程度进行测定； 用四分位差可以衡量中位数的代表性高低；用四分位差可以衡量中位数的代表性高低； 四分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描四分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描 述的只是次数分配中一半的离差，所以也是一个述的只是次数分配中一半的离差，所以也是一个 比较粗略的指标

38、。比较粗略的指标。 3. 3. 四分位差的特点四分位差的特点 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 平平均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对 离差的平均数。离差的平均数。 X-X (1) A.D. n X-X (2) A.D. 其其计计算算公公式式为为： 未未分分组组资资料料： 分分组组资资料料： f f 1.1.概念和计算概念和计算： 四、平均差四、平均差 A.DA.D. . 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 以某车间100个工人按日产量编成变量数列的资料： )(6 . 6 100 660 . )(42

39、100 4200 X 千克 千克 f fXX DA 工人按日产 量分组(千克) 工人数(人) f 组中值 XXf 20-30 525 125-17 85 30-40 35351225 -7245 40-50 45452025 3135 50-60 1555 825 13195 合 计100-4200-660 XX fXX 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 1 1、均差是根据全部标志值与平均数离差而计算、均差是根据全部标志值与平均数离差而计算 出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度；出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度； 2 2、平均差计算有绝对值符号，不适合

40、代数方法的、平均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的 演算使其应用受到限制。演算使其应用受到限制。 2.2.平均差的特点平均差的特点 3 3、利用平均差来判断哪一个更有代表性，在平均、利用平均差来判断哪一个更有代表性，在平均 数相同的情况下，平均差越大，代表性则越小；数相同的情况下，平均差越大，代表性则越小； 平均差越小，说明代表性越强。平均差越小，说明代表性越强。 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 标标准差是离差平方平均数的平方根，故又称准差是离差平方平均数的平方根，故又称 “均方差均方差”。 其意义与平均差基本相同。其意义与平均差基本相同。 1.1.概念和计算概念和

41、计算： 五、标准差五、标准差 S.D.()S.D.() 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 2 2 (x) n f (x) f x x 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 )(85.14 164 5616.36172)( 2 千克 f fXX 工人按日产量 分组(千克) 工人数(人) f 组中值 X 50- 60 10 55-27.62 7628.644 60- 70 19 65-17.62 5898.8236 70- 80 50 75 -7.62 2903.9184 80- 90 36 85 2.38 203.9184 90-100 27 95 1

42、2.38 4138.1388 100-110 14105 22.38 7012.1016 110以上 8115 32.38 8387.7152 合 计164-36172.5616 XX fXX 2 )( )(62.82X 千克由前计算得： 例例 第三章集中趋势和离散程度测定第三章集中趋势和离散程度测定 2.2.交替标志的标准差交替标志的标准差 在社会经济统计中，有时把社会经济现在社会经济统计中，有时把社会经济现 象的总体单位，分为具有某种标志的单位和象的总体单位，分为具有某种标志的单位和 不具有这种标志的单位两组。不具有这种标志的单位两组。 统计中，用统计中，用“是是”、“否否”或或“有有”、 “无无”来表示的标志，称为交替标志，也称来表示的标志，称为交替标志，也称 是非标志。是非标志。 第三章