两类曲面积分地关系及其应用

1、两类曲面积分的关系及其应用学生：其亮学号：所在院系:数学与统计学院专业:数学与应用数学 指导教师：艳梅老师目录摘要3关键词3ABSTRACT3KEY WORDS3前言41 预备知识41.1两类曲面积分的定义与相关性质4(1) 第一型曲面积分的走义4(2) 第二型曲面积分的走义4(3 )两类曲面积分的相关f振51.2两类曲面积分的关系52 .两类曲面积分关系的应用52.1 j各对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分52.2 *各对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分103小结11参考文献11u一6 e SUOQeo一-ddp 上一 pue pSSSS-P e s-e6 1 oe 七 ns jo

2、spupj omj u M_ q dzsuo 一 le-al jaded szl-ts4squo 口 eu一-dde slpue s-e6o4.Eoue 七 ns jo spup| OMlQV4 uooMloq d 三 slloge-alolll旺lawH刃組肚能氷gsnc匾ffi揪EHal?较齢一III一Key words : The curved surface; side; the first type of surface integral; the second type of surface integral0.前言在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题若空间区

3、域v是 由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，函数PQR在V上具有一阶的连续偏导数,则可以 利用高斯公式计算第二型曲面积分.若曲面S在X。，面上的投影为一条线,且被积函数 P、Q、R及它们的一阶偏导数不连续的情况下,则通常用直接投診券处理.当曲面的方程 由参数形式给出时,可以用参数形式计算*7】.当然第二型曲面积分还可以利用stokes公式 化为第二型曲线积分来计算【5 6.如果在上述方法都无法解决的情况下,我们可以考虑利用 两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分【8】.下面将探讨两类曲面积分的关系以及这种 关系的应用.1 预备知识11两类曲面积分的定义与相关性质（1 ）第一型曲面积分的定义定义

4、设S是空间中可求面积的曲面,/（x,y,z）为走义在S上的函数对曲面S作 分割T，它把S分成“个小曲面块S（ = l,2,屮），以记小曲面块的面积，分割T 的细度|7-| = inax S的直径在S上任取一点（纟,（，= 1，2,，若极限潮 /（詁,）3存在，且与分割T及G,% G （心12,n）的取法无关,则称此极限为/ （兀” Z）在S上的第一型曲面积分，记作JJ7(x,y,z)dS.(2)第二型曲面积分的走义定义219设PQR为走义在双侧曲面S上的函数在S所指走的一侧作分割T ,它把 S分为n个小曲面, S?,S分割T的细度|r| = max S尚直径,以A5, , AS； , A5,

5、分别表示S,在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确走若S的法线 正向与z轴正向成锐角时,S在小平面的投影区域的面积AS,为正反之，若，法线正向 与z轴正向成钝角时,它在勺，平面的投影区域的面积A5,；为负.在各个小曲面亠上任取一 点值，5) 若存在,且与曲面S的分割T和在S,上的取法无关，则称此极限为函数PR在 曲面S所扌旨定的一flj上的第二型曲面积分，记作(3) 曲面积分的相关性质(i )若积分曲面S关于具有轮换对称性，则JJ f (X，y，z )dydz = JJ / (y，Z, x)= JJ / (z, X, y ) dxdy.sss(ii)9】设空间区域y由分片光滑的

6、双狈g封闭曲面S围成若函数P , Q.R在H上连续,且有一阶连续偏导数r则其中S取外侧.1-2曲面积分的关系定理3J9：设曲面S为光滑曲面，正侧的法向呈为（cosa,cos几cosy） , P（x,yz） r 0（x,y,Z）, R（忑y,z）在S上连续，则有Jj P（兀 ” z）dz,dx + R （x, y.z）dxdys二 JJ（P（儿” Z）cosa + Q（x,”z）cos0 + R（x,y,z）cosy）S s推论设光滑曲面s的方程为F（x,y,z） = o ,而p（x,y,z） ,Q（x*,Z），尺（x,y,z）在jj Pdydz. + Qdz,dx + Rdxdy sS定理2：

7、设PQR是走义在光滑曲面S : z = z(x,y) r (x,y)eD的连续函数,以s的上侧为正侧，则jj P（X. y.z）dydz + Q（x, y.z）dz,dx + R（x, y.z）dxdy =ds 2两类曲面积分关系的应用2.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分例把对坐标的曲面积分JJ P(X, y, z)dydz + Q(x. y,z.)dz.dx + R(x, y,z)dxdy s化为对面积的曲面积分，其中：(1)5是平面3x + 2y + 2辰=6在第一#限的部分的上侧；(2 ) S是抛物面乙=8 - (疋+ y2 )在xOy面上方的部分的上侧.解(1)平面上侧的法向

8、呈为 =322冋，其方向余弦为cos a = f , COS P = - t COS / = y/3 t 于是jj Pdydz. + Qdzdx + Rdxdy = Jj (Pcosa + Qcos 卩 + R cos y)dS(2 )因S是抛物面z = 8 - (F +尸)在xOy面上方的部分的上侧f所以其法线向量应2x2y取为舁=2上2幵1,具方向余弦为cos a =, cos p =_r cos y =y/ + 4x2 + 4y2yj + 4x2 + 4y2Jl + 4 十 + 4y 丄于是JJ P(x, y.z)dydz + Q(x, y,z)dz.dx + R(x, y,z,)dxd

9、y s=JJ (Pcos a + Qcos p + R cos y) dSs=丫 + 2也+弘s Jl + 4F+4y2例2计算I = Jj(/(兀，y，z) + x)dydz. +(2/(x, y, z) + y)dz.dx + (/(%, y,Z)+ z)dxdy ,S 为平 面x-y + z = 在第IV象限部分的上侧具中/ (x, ”z)为S上的连续函数.解由于/ (兀J Z)是抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又因为函数是连续函数，不一走有一阶连续偏导数,所以也不能应用高斯公式,因此 可考虑转化为第一类曲面积分来计算.平面+ z =的法向呈 =(1,_1,1),

10、贝！Jy/3n y/3cos a = cos y = , cos 0 = - a”z) + y) +(IS琲*xdy_丄2例 3 计算曲面积分 Jj*(2x2 + 2y2 + zdydz + vdxdy ,其中 S = (x, y, z)z =x2s+y2,zeO,l，取上侧.解 如果直接计算，需要把S分别投影到yoz和xoy平面上，且积分 ff(2x2 + 2y2 + zdydz.需要分前侧与后侧,现在利用两类曲面积分的关系,先转化为第一 S型曲面积分，再统一计算二重积分.zx = 2x , Zy = 2y ,+ 2y2 +x2 + y2 )(-2a) + (x2 + yx2 + y2)(-

11、2,v) + (a2 + y2=JJ3r2 (-2rcos 8) + 厂加/&= Jj(-6r4 cos + r5)=匸f (一6产 cos & + /*) dr7t=?-例 4 计算出积分 JJylx2+z2dydz +(X2 + 亡)dz.dx + 刃 y/x2+z2dxdy .其中 S为圆锥面疋+z2 = y2介于0y+ 、亠 R _,s Ji + y： + y； J + y； + Ji + y： + y；叮Jx(*+T)(-儿)+(壬 + z2)+z(x2+z2 )(-yz )dxdzD=卅一(F+Z，)-(兀2+才)+ 疋+Z，dxdz.D 1-=Jj(-r2 r2 +)/& 訂:呵

12、:(+，)龙胪T2例 5 计算曲面积分 口 yexv y + x2 +y2dydz 一 xeXK J1 +十 +y，dzdx 一 Z.dxdy z 其中S是旋转抛物面 = |(x2+ b)介于平面Z = 0及远=2之间的部分的下侧. 解 Z = |(x2 + y2) , J=X,J= y，令P = Jl + F +),2 , Q =“ Jl + F +b , R = -Z.f %丄wJo Jo 2例6计算/ = JJx2dydz + y2dzdx + z2dxdy ,s其中1) S是顶点为(1,0,0) ,(0,1,0),(0,0,1)的三角形的下侧.2) S 是 x2+y2+z2=R2 的外

13、侧.解1)因曲面S的方程为x+y + z = l或z = l x y，关于尢”Z为轮换对称，有由对称性，只需计算=jj f dxdy =V cos ydS ,由于取的是S的下侧，所以法向量为,7=(-1,-1,-1).S在勺，平面上的投影为D = y)x0,yx+y0）取下侧.S解 将第一型曲面积分化为第二型曲面积分，S+表示上半球面的下侧,这时法线与Z轴成钝角/ cos/ = z#故例 8 iMff-= ,其中曲面S 为x2+2/+2? =2.5 yjx2 +4y2 +4才解将S所围成的空间闭区域记为V.F(x, y, z) = x2 + 2y2 +2z2 -2 ,则选取S在任一点（X, y

14、, z）处的外法向量为（兀,代,耳）= （2/2故有3 小结在计算两类曲面积分的过程中，若常用方法比较困难或者无法计算时，可以考虑用两类 曲面积分的关系计算两类曲面积分.参考文献艳辉第二型曲面积分的计算卩.科技学院学报,2013,34(8):5-8.2柴春红第二类曲面积分的计算方法卩.数学学习,2004,7(2):32-33.景慧丽第二类曲面积分的计算方法几高等数学研究,2011,14:87-91.4旧泉第二型曲面积分的参数形式计算J.高等数学硏究,2010,13(1):85-87.吴燕第二类曲面积分的五种求法卩.考试周刊,2009,33:72-73.云艳第二型曲面积分计算的几种方法及应用几泰山学院学报,2004,26:36-39.7孝先.计算第二型曲面积分的实例分析J.高等数学硏究,2001,4(1):34-36.