0906多元函数微分学的几何应用

1、第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 本节主要解决以下两个方面的问题本节主要解决以下两个方面的问题: : 1 1 空间曲线的切线问题空间曲线的切线问题2 2 空间曲面的切平面问题空间曲面的切平面问题 s n 设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为 , )( )( )( tzz tyy txx o z y x M . ),( 0 000 ttt zzyyxxM 对对应应于于 ;),( 0000 ttzyxM 对对应应于于设设 M 一、空间曲线的一、空间曲线的切线切线与与法平面法平面 ,)(),(),(均均可可导导tztytx ),(zyxMMs :的一个方向向量为的一个方

2、向向量为割线割线MM s 切线切线: :,切切线线的的一一个个方方向向向向量量为为故故 割线的极限位置称为切线割线的极限位置称为切线. 向量向量显然显然, o z y x M M ),(zyxMMs :的一个方向向量为的一个方向向量为割线割线MM s ),( 1 t z t y t x s t .的一个方向向量的一个方向向量也是割线也是割线MM )lim,lim,lim( 000 t z t y t x ttt T ).(),(),( 000 tztytx T :切切线线的的方方程程为为 法平面法平面: )( 00 xxtx 过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面, 曲线在点曲线在点M

3、处的法平面方程为：处的法平面方程为： o z y x M M s T T ).(),(),( 000 tztytx )( 0 0 tx xx )( 0 0 ty yy . )( 0 0 tz zz )( 00 yyty. 0)( 00 zztz ),( 000 zyx 解解,1时时当当 t , 1 x ,2ty ,6 2 tz , 1)1( x , 2)1( y , 6)1( z 故故,切线方程为切线方程为: 1 1x 法平面方程为法平面方程为:, 0)2(6)1(2)1( zyx . 01562 zyx即即 . 12,: 32 法法平平面面方方程程 处处的的切切线线和和在在求求曲曲线线 tt

4、ztytx例例1 1 , 2, 1, 1 zyx T切切向向量量),6 , 2 , 1( ).2 , 1 , 1(1对应曲线上的点对应曲线上的点即即 t 2 1y , 6 2 z 解解,0时时当当 t ,costex t ,sincos2tty ,3 3t ez , 1)0( x , 2)0( y , 3)0( z .01 ,cossin2,cos: 3 0 处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程在在 求曲线求曲线 tez ttyuduex t t u 练习练习1 1 , 2, 1, 0 zyx T切向量切向量),3 , 2 , 1( ),2 , 1 , 0(得得点点 故故,切线方程为切线方

5、程为: , 3 2 2 1 1 0 zyx 法平面方程为法平面方程为:, 0)2(3)1(2)0( zyx . 0832 zyx即即 1. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为: )( )( xzz xyy ,),( 000 处处在在曲曲线线上上点点zyxM , )()(1 0 0 0 00 xz zz xy yyxx . 0)()()( 00000 zzxzyyxyxx 法平面方程为：法平面方程为： 特殊地：特殊地： T 切切向向量量),( ),( , 1( 00 xzxy 切线方程为切线方程为: ),(),( 0000 xzzxyy 其其中中 )( )( xzz xyy xx 解解 . 12,

6、: 32 的的切切线线和和法法平平面面方方程程 的的点点处处上上对对应应于于求求曲曲线线 xxzxyL练习练习2 的的点点为为曲曲线线上上对对应应于于1 x),2 , 1 , 1( ,6 ,2 2 xzxy , 6)1( , 2)1( zy T 切向量切向量),6 , 2 , 1( :切线方程为切线方程为, 6 2 2 1 1 1 zyx :法平面方程为法平面方程为. 0)2(6)1(2)1( zyx . 01562 zyx即即 2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为: 0),( 0),( zyxG zyxF 故故,切线方程为切线方程为: 法平面方程为法平面方程为:. 0)()()( 0201

7、0 zzJyyJxxJ MMM ),( 000 zyxM设设曲曲线线上上点点 , 2 0 1 00 MMM J zz J yy J xx T 切切向向量量),( M yx yx M xz xz M zy zy GG FF GG FF GG FF ),( 21 MMM JJJ :,0 有有时时当当 M zy zy M GG FF J )( )( xzz xyy . )1 , 2, 1(0, 6: 222 的切线和法平面方程的切线和法平面方程 处处在点在点求曲线求曲线 zyxzyxL例例2 解解2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得: 解解1 直接利用公式直接利用公

8、式(不提倡使用该法不提倡使用该法). 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , zy xz dx dy , zy yx dx dz , 0 )1, 2, 1( dx dy , 1 )1, 2, 1( dx dz ), ,( T 所以有切向量所以有切向量 01 1 故故, 所求切线方程为所求切线方程为:, 1 1 0 2 1 1 zyx 法平面方程为法平面方程为:, 0)1()2(0)1( zyx. 0 zx即即 设曲面方程为设曲面方程为 , 0),( zyxF ),(),(),( 000 tztytxT 曲线在曲线在M处的一个切向量为处的一个切向量为: : 切平面切平

9、面 , )( )( )( : tzz tyy txx n T M 二、曲面的二、曲面的切平面切平面与与法线法线 在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通 过点过点M的且在的且在M处处有有 切线的曲线切线的曲线 法线法线 0000 :),(ttzyxM ),(),(),(MFMFMFn zyx 令令 显然显然 ,Tn 故故, ,切平面方程为切平面方程为: : , 0)()()( 000 zzMFyyMFxxMF zyx , 0)(),(),( tztytxF , 0)()()()()()( 000 tzMFtyMFtxMF zyx ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxF z

10、yx ),(),(),( 000 tztytxT 曲线在曲线在M处的一个切向量为处的一个切向量为: 法线方程为法线方程为: :. )()()( 000 MF zz MF yy MF xx zyx )(),(),( :MFMFMF zyx 即即)(),(),( 000 tztytx , 0 解解 , 32),( xyezzyxF z )0 , 2 , 1( x F 令令 . )0 , 2 , 1(32 法线方程法线方程 处的切平面和处的切平面和在点在点求曲面求曲面 xyez z 例例3 3 )0 , 2 , 1( 2y, 4 , 22)0 , 2 , 1( )0 , 2 , 1( xFy , 0

11、)1()0 , 2 , 1( )0 , 2 , 1( z z eF n 切切平平面面的的法法向向量量),0 , 2 , 4( 故故,切平面方程为：切平面方程为： 法线方程为：法线方程为： , 0)0(0)2(2)1(4 zyx . 0 0 1 2 2 1 zyx 解解 . )4 , 1 , 2(1 22 法法线线方方程程 处处的的切切平平面面和和在在点点求求曲曲面面 yxz练习练习3 3 ),1(),( 22 yxzzyxF令令 )4 , 1 , 2()4 , 1 , 2( )1 ,2,2(yxn ),1 , 2, 4( 故故,切平面方程为：切平面方程为：, 0)4()1(2)2(4 zyx

12、法线方程为：法线方程为：. 1 4 2 1 4 2 zyx ,),( 000 为切点为切点设点设点zyxM 点点M处的切平面的一个法向量为处的切平面的一个法向量为: 解解 . 1642132 222 的的切切平平面面的的方方程程 的的平平行行于于平平面面求求曲曲面面 zyxzyx例例4 4 n ),6 ,4 ,2( 000 zyx 依题意依题意, 切平面平行于已知平面切平面平行于已知平面, 所以所以: , 6 6 4 4 1 2 000 zyx ,2 000 zyx 即即 , 1 0 x 代入曲面方程代入曲面方程, 解得解得:,),( 000 在曲面上在曲面上点点又又zyx 故故, 所求切点为

13、：所求切点为：)2 , 2 , 1( 和和),2, 2, 1( , 0)2(6)2(4)1( zyx . 0)2(6)2(4)1( zyx 所以所以, 所求切平面的方程为所求切平面的方程为: 和和 故故, 所求切点为：所求切点为：)2 , 2 , 1( 和和),2, 2, 1( ),6 , 4 , 1( n 取取法法向向量量 空间曲面方程形为空间曲面方程形为,),(时时yxfz 曲面在点曲面在点M处的切平面方程为处的切平面方程为: ),)(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ),(),(yxfzzyxF 令令 曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的切

14、平面的法向量为处的切平面的法向量为: ),1),(),( 0000 yxfyxfn yx 全微分的几何意义全微分的几何意义: .切切平平面面的的方方程程问问题题 切平面切平面 z yyxfxyxf yx ),(),( 0000 切平面切平面 z dz 练习练习 解解: ),2,2,6( 000 zyxn 设切点为设切点为),( 000 zyx 依题意知依题意知, 切平面另一个法向量为切平面另一个法向量为),3, 3( , 3 22 3 6 000 zyx , 00 xy ,3 00 xz 因为切点满足曲面和平面方程，所以因为切点满足曲面和平面方程，所以: , 01693 01693 2 0 2 0 22 0 00 2 0 xxx xxx . 2 , 1 0 x :则则切切平平面面有有一一法法向向量量为为 .,163 01633 222 求求相相切切 与与椭椭球球面面如如果果平平面面 zyx zyx 三、小结与教学基本要求三、小结与教学基本要求( (掌握掌握):): 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切