函数的单调性

1、 1.3.1 函数的单调性 第一课时 （授课人：罗云荣）（授课人：罗云荣） 某市一天内气温变化图 函数图像变化的趋势 “上升上升”、“下降下降” 反映了函数的性质-单调性单调性 上升上升-单调增单调增 下降下降-单调减单调减 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 观察下列函数的图象观察下列函数的图象, ,描述函数图像有什么变化趋势，描述函数图像有什么变化趋势，y y随随x x的值如何变化？的值如何变化？ x o f(x)=x -1-1 1 1 1 1 -1-1 y xO y 1 1 1 1 2 2 4 4 -1-1-2-2 f(x)=x2 在在区间区间(,+ )上上, , 函数图像函数图像

2、上升上升 f(x)随着x增大而增大增大 在在区间区间(,0)上上, ,函数图像函数图像上升，上升， f(x)随着随着x增大而增大而减小减小 在在区间区间(0, +)上上, ,函数图像函数图像下降，下降， f(x)随着随着x增大而增大而增大增大 只凭函数图像能 不能判断函数的 单调性？ x ( )f x 4 3 2 1 02134 16941014916 y O x 1231 2 3 1 2 4 3 )( 1 xf 1 x 2 x )( 2 xf 1 x 2 x )( 2 xf )( 1 xf 问：问：如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)= x2描述描述“在区间在区间(0, +)上，上，

3、 f(x)随着随着x增大增大” ” 代数化，代数语言？代数化，代数语言？ 思考思考 在下表在下表 中任取一些自中任取一些自 变量的值，比变量的值，比 较它们对应的较它们对应的 函数值的大小函数值的大小 ，你能发现什，你能发现什 么结论？么结论？ 都都 对对(0, +)上上 12 ,x x任意任意 当当x1x2时时, , 有有f(x1) f(x2), , f(x)=x2 都都 对对( , 0)上上 12 ,x x任意任意 当当x1 f(x2), , 问：问：能仿照这样的描述，说明函数能仿照这样的描述，说明函数f(x)= x2在区间在区间( , 0)上是减函数吗？上是减函数吗？ y O x )(

4、1 xf 1 x 2 x )( 2 xf )(xfy y O x )( 1 xf 1 x 2 x )( 2 xf )(xfy 一般地一般地，如何用符号语言刻画函数，如何用符号语言刻画函数 y=f(x)在定义域在定义域I内某个区间内某个区间D 上是增函数（或上是增函数（或减函数减函数）？）？ 增函数定义增函数定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 区间区间D I. 那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间 D上是上是增函数增函数. 都都 12 ,x x任意任意 当当x1x2时时, , 对区间对区间D上上 有有f(x1) f(x2), , 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定

5、义域为I,区间区间D I. 如如果对于定义域果对于定义域I内某个内某个区间区间D上上 的的任意任意两个自变量的两个自变量的值值x1,x2, , 当当x1 f (1),则则 函函数数 f (x)在该区间上是增函数在该区间上是增函数. . y x O 12 f(1) f(2) 辨析辨析2 2：若函数在区间若函数在区间(1,3)(1,3)和和 区间区间3,53,5上都是增函数，则上都是增函数，则 在在区间区间(1,5 (1,5 上上也是增函数也是增函数. 你认为下列说法是否正确，请说明理由你认为下列说法是否正确，请说明理由. . 任意性任意性 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 解： ? 不可

6、以不可以 局部性局部性 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 （或者用逗号连接） 总结：（总结：（1）单调性是一个局部概念，局部单调，整体未必单调。）单调性是一个局部概念，局部单调，整体未必单调。 （2）同类区间用逗号隔开，不写并集）同类区间用逗号隔开，不写并集。 函数 在 上为减函数 x xf 1 )(），（），（00- 辨析辨析1 1：若定义若定义在区间在区间1,2上上 的函数的函数f (x)满足满足 f(2) f (1),则则 函函数数 f (x)在该区间上是增函数在该区间上是增函数. . y x O 12 f(1) f(2) 辨析辨析2 2：若函数在区间若函数在区间(1,3)(1,

7、3)和和 区间区间3,53,5上都是增函数，则上都是增函数，则 在在区间区间(1,5 (1,5 上上也是增函数也是增函数. 你认为下列说法是否正确，请说明理由你认为下列说法是否正确，请说明理由. . 任意性任意性 局部性局部性 （区间性）（区间性） 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 图像语言自然语言符号语言 函数的单调性函数的单调性 C Lorem ipsum dolor sit amet B f(x)随着随着x增大而增大增大而增大 f(x)随着随着x增大而减小增大而减小 A 上升上升 下降下降 当当x1 x2时时, , 都有都有 f(x1) f(x2) 在区间在区间D D上，对任意上

8、，对任意x1 、 、x2， 当当x1 x2时时, , 都有都有 f(x1) f(x2) 例例1 回顾此图，根据图象写出函数的单调区间，并说说在每一个单回顾此图，根据图象写出函数的单调区间，并说说在每一个单 调区间上，它是增函数还是减函数？调区间上，它是增函数还是减函数？ 解解: 函数的单调区间有函数的单调区间有0,4),4,14),14,24. 其中函数其中函数在区间在区间4,14)上是增函数；上是增函数； 在区间在区间0,4),14,24上是减函数上是减函数. . 总结：当函数的图像已知 或容易得到时，可以用用 图像法判断函数的单图像法判断函数的单 调性调性 强调强调： （1）端点值在定义域

9、内可开可闭。）端点值在定义域内可开可闭。 （2）由于局部性，）由于局部性，不能写为并集，不能写为并集， 应该用逗号连接。应该用逗号连接。 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 步骤：步骤： 3.变形（通常是因式分解和配方）; 用符号语言严格证明函数的单调性（定义法）用符号语言严格证明函数的单调性（定义法） 增函数定义增函数定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 区间区间D I. 那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间 D上是上是增函数增函数. 都都 12 ,x x任意任意 当当x1x2时时, , 对区间对区间D上上 有有f(x1) f(x2), , 情景引入归纳小结概

10、念生成例题巩固概念辨析 例例2：证明y=2x+1在R上为增函数 步骤：步骤： 3.变形（通常是因式分解和配方）; 用符号语言严格证明函数的单调性（定义法）用符号语言严格证明函数的单调性（定义法） 情景引入归纳小结概念生成例题巩固概念辨析 ）上是减函数。，在（【变式】证明0 1 x y 1.1.函数单调性的定义函数单调性的定义 2.2.证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 a. 任取任取x1，x2II，且，且x1x2； b. 作差作差f(x1)f(x2)； c. 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）； d. 判断（判断判断（判断f(x1)f(x2)的正负）；的正负）； e. 下结论下结论. . 主要步骤主要步骤: 【知识】【知识】【方法】【方法】 【思想】【思想】 数形结合数形结合 概念抽象概念抽象 1、图像法判断函数单调性、图像法判断函数单调性 2