力系平衡条件与平衡方程

1、力系平衡条件与平衡方程 第三章第三章 力系的平衡条件与平衡方程力系的平衡条件与平衡方程 力系平衡条件与平衡方程 一、一、 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件平面任意力系平衡的充要条件 00)(,FMF OR 1.基本平衡方程基本平衡方程 Fx = 0 Fy = 0 Mo ( F ) = 0 能解能解 3 3 个未知量个未知量 （一矩式）（一矩式） 3.1 3.1 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程 力系平衡条件与平衡方程 （1） 二矩式二矩式 投影轴投影轴 x 不能与矩心不能与矩心 A 和和 B 的连线垂直的连线垂直. MA

2、( Fi ) = 0 MB ( Fi ) = 0 F x = 0 2.平面任意力系平衡方程的其它形式平面任意力系平衡方程的其它形式 A B x 力系平衡条件与平衡方程 ( 2 ) 三矩式三矩式 三个矩心三个矩心 A , B 和和 C 不在一直线上不在一直线上 MA( Fi ) = 0 MB( Fi ) = 0 MC( Fi ) = 0 A B C 力系平衡条件与平衡方程 l /2l /2 AB C M P 例：例： 在水平梁 AB 上作用一力偶矩为 M 的力偶， 在梁长的中点 C 处作用一集中力 P ，它与水平的夹角 为，梁长为l 且自重不计。求支座 A 和 B 的反力。 力系平衡条件与平衡方

3、程 l /2l /2 AB C M P 解解 : 取水平梁取水平梁 AB 为研究对象画受力图为研究对象画受力图 l /2l /2 AB C M P FAx FAy FB 力系平衡条件与平衡方程 l /2l /2 AB C M P l /2l /2 AB C M P FAx FAy FB F x = 0FAx - P cos = 0FAx = P cos M A ( Fi ) = 0 0 2 sinl l PM FB 2 sinP l M FB F y = 0 FAy - P sin + FB = 0 2 sinP l M FAy 力系平衡条件与平衡方程 例：例： 0 x F 0 y F cos

4、450 AxC FF 0 A M kN10,kN20,kN28.28AyAx C FFF 已知：已知：kN10,FlCBAC 求：求： 铰链铰链 和和 杆受力杆受力. .A DC 解：解： 取取 梁，画受力图梁，画受力图. .AB 045sinFFF CAy 0245coslFlF C 力系平衡条件与平衡方程 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆AB，BC受力受力. . 例：例： 力系平衡条件与平衡方程 060cos30cos 21 FFF BC 0 y F kN32.27 BC F

5、PFF 21 kN321. 7 BA F 0 x F 12 cos60cos300 BA FFF AB、BC杆为二力杆，取滑轮杆为二力杆，取滑轮B B （或点（或点B B），画受力图），画受力图. .巧巧建图示建图示 坐标系坐标系 解：解： 力系平衡条件与平衡方程 图示为一悬臂式起重机简图，A、B、C 处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 Q=10kN,有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。 求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。 例 A B D E P Q 0 30 2m1m1m c 力系平衡条件与平衡方程 解： （1）取AB梁为研究对象。 （2）画受力图。 未知量三个： XA、Y

6、A、T 独立的平衡方程数也是三个。 （3）列平衡方程，选坐标如图所示。 030cos 0 0 TX X A （1） 030sin 0 0 QPTY Y A （2） 030sin 0)( 0 AEQADPABT FmA （3） A B D E P Q 0 30XA YA T 力系平衡条件与平衡方程 由（3）解得 kN QP T19 5 . 04 10342 30sin4 32 0 以 T 之值代入（1）、（2），可得 XA=16.5 kN, YA=4.5 kN 力系平衡条件与平衡方程 可否求出T、YA、XA； （1）由下图所示的受力图，试按 0 0)( 0)( X Fm Fm B A 思考题1

7、A B D E P Q 0 30XA YA T 力系平衡条件与平衡方程 可否求出T、YA、XA。 0)( 0)( 0)( Fm Fm Fm c B A （2）由下图所示的受力图，试按 A B D E P Q 0 30XA YA T C 思考题2 力系平衡条件与平衡方程 由下图所示的受力图，可否列出下列四 个独立的平衡方程？ 为什么其中必有一个 是从属的？ 思考题3 A B D E P Q 0 30XA YA T C 0)( 0)( 0)( Fm Fm Fm c B A 0 X 力系平衡条件与平衡方程 如图4-19所示简支梁AB。梁的自重及各处 摩擦均不计。试求A、B处的支座反力。 例 解： （

8、1）选AB梁为研 究对象。 （2） 画受力图如 右下图所示。 （3）取坐标如图。 图4-19 q m A C B D 2aaa q m A C B D 2aaa YB YA XA X Y 力系平衡条件与平衡方程 （4）列平衡方程 联合求解得到： 0 , 1 , 24 3 . 24 A B A X m Yq a a m Yq a a 024 B aaqmaY 0)( A Fm . 02 BA YaqY 0Y ， 0 A X0X ， q m A C B D 2aaa YB YA XA X Y 力系平衡条件与平衡方程 在图4-20中，试以下 列三个方程求解，看 会有什么问题，并说 明原因。 思考题

9、0 0)( 0)( Y Fm Fm B A q m A C B D 2aaa YB YA XA X Y 图4-20 力系平衡条件与平衡方程 例：例： 已知：已知： 1 10kN,P 2 40kN,P 尺寸如图。尺寸如图。 解：解：取起重机，画受力图取起重机，画受力图. . 0 x F 0 y F 0 A M 0 AxB FF 12 0 Ay FPP 12 5 1.53.50 B FPP 50kN Ay F31kN B F 31kN Ax F 求：求： 轴承轴承 处的约束力处的约束力. .BA, 力系平衡条件与平衡方程 利用利用“力偶只能由力偶来平衡力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方的概念

10、解题有时较方 便：便： 例例1 ：(书)P47 例3-4 力系平衡条件与平衡方程 例例22 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M12kNm， OAr0.5m。图示位置时OA与OB垂直， ， 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上力偶矩M2及铰链O、B处的约束反力。 o 30 力系平衡条件与平衡方程23 解解 (1) 先选取圆轮为研究对象。圆轮受有力偶矩M1及光滑导槽对销 子A的作用力FA和铰链O处的约束反力FO的作用。由于力偶只能由力力偶只能由力 偶来平衡偶来平衡，因而FO与FA必组成一力偶，其FO、FA大小相等，方向相 反。圆轮受力图如

11、图 b）所示。由力偶系的平衡条件知 解得： 0M r M FA sin 1 M1-FA （r sin ）=0 力系平衡条件与平衡方程24 将 代入上式解得 由于FO与FA组成一力偶，FB与FA组成一力偶，故有 方向如图b)、c)所示。 0M 0 sin 2 r FM A r M FF AA sin 1 kNm84 12 MM kN8 30sin50 2 sin 1 o ABO .r M FFF (2) 再以摇杆BC为研究对象。其上受有力偶矩M2及FA 和铰链B处 的约束反力FB的作用。FB与FA必组成一力偶，其FB、 FA大小相等 ，方向相反。摇杆BC受力图如图 c）所示。由力偶系的平衡条件知

12、 ： 力系平衡条件与平衡方程 3.2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题 力系平衡条件与平衡方程 一一、静定与静不定问题的概念、静定与静不定问题的概念 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 0X 0Y 0 i M 0X 0Y ()0 Oi MF 力偶系 平面 任意力系 力系平衡条件与平衡方程 静定问题静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方 程就能解出这些未知量。如图所示结构。 q A C B m 2aa 2a P 6a 力系平衡条件与平衡方程 超静定

13、问题超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知 量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力 学方法就不能解出所有的未知量。如图所示结构。 A C B m 2aa P 4a4a 2a q D 力系平衡条件与平衡方程 例例 静定（未知数三个） 静不定（未知数四个） 力系平衡条件与平衡方程 力系平衡条件与平衡方程 二二. 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 当物体系统处于平衡时，其中的每一个当物体系统处于平衡时，其中的每一个 物体都必须处于平衡。物体都必须处于平衡。 力系平衡条件与平衡方程 三铰拱 ABC 的支承及荷载情况如图所示。已知 P=20 kN，均布荷 载 q = 4kN/m。求：铰链支座 A

14、 和 B 的约束力。 1m 2m2m 3m A B C q P 例题例题 ： 力系平衡条件与平衡方程 1m 2m2m 3m A B C q P 解解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图取整体为研究对象，画受力图. YA XA XB YB 力系平衡条件与平衡方程 1m 2m2m 3m A B C q P YA XA XB YB MA( F ) = 0- 4 3 1.5 - 20 3 + 4 YB = 0 YB = 19.5 kN 力系平衡条件与平衡方程 1m 2m2m 3m A B C q P YA XA XB YB F y = 0YA - 20 + 19.5 = 0YA = 0.5 kN

15、 力系平衡条件与平衡方程 ( 2 ) 取取 BC 为研究对象画受力图为研究对象画受力图 1m 3m B C P XC YC XB YB 力系平衡条件与平衡方程 1m 3m B C P XC YC XB YB -120 + 219.5 + 3XB = 0 XB = - 6.33 kN MC ( F ) = 0 力系平衡条件与平衡方程 F x = 0 43 + XA + XB = 0 XA = - 5.67 kN ( 3 ) 取整体为研究对象取整体为研究对象 1m 2m2m 3m A B C q P YA XA XB YB 力系平衡条件与平衡方程 图示三铰拱上，作用着均匀分布于 左半跨内的铅直荷载

16、，其集度为q (kN/m),拱重及摩 擦均不计。求铰链A、B处的约束力。 C A B FA x FA y FB x FB y q 例题 q C AB h l/2 l/2 力系平衡条件与平衡方程 解：(1) 研究整体其受力如图所示。 ()0 3 0 24 3 kN (). 8 B Ay Ay M ll Flq q l F F ()0 0 2 4 kN (). 8 A By By M ll Flq q l F F C A B FA x FA y FB x FB y q 力系平衡条件与平衡方程 0 0 . x AxBx AxBx F FF FF (2) 研究AC,并画其受力图。 2 2 ()0 31

17、 0, 8 224 kN(), 16 kN(). 16 C Ax Ax Bx M lq l l Fhql q l F h q l F h F q C A FAx FAy FCy FCx C A B FA x FA y FB x FB y q 力系平衡条件与平衡方程 判断图中受力图是否正确？ q C h AB FAy=0.5qlFBy=0.5ql ? 思考题 : q C AB h l/2l/2 力系平衡条件与平衡方程 由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错 的。 q C A FCy FCx FAy=0.5ql (b) 0.5ql C h AB FAy=0.5qlFBy=0.5ql (a

18、) 力系平衡条件与平衡方程 3.3 考虑摩擦时的平衡问题 力系平衡条件与平衡方程 一切物体表面都具有不同程度的粗糙度或物 体变形，当两物体相接触且有相对运动或相对运 动趋势时，由于接触面间的凹凸不平或变形，就 产生了相对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。 1. 摩擦力也可分为静摩擦和动摩擦。 (1) 静摩擦：两物体仍保持静止,仅有相对运动的 趋势时的摩擦。 (2) 动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。 力系平衡条件与平衡方程 静滑动摩擦力的特点静滑动摩擦力的特点 方向：沿接触处的公切线，方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；与相对滑动趋势反向； 大小：大小： maxs 0FF N FfF

19、smax （库仑摩擦定律）（库仑摩擦定律） 力系平衡条件与平衡方程 重量为 P 的物体置于斜面上，如图所 示。已知物块与斜面之间的静摩擦因数 f s，问： (1) 斜面的倾角j 增大到多少时（以j1表示）， 物块将下滑？ P x y F FN 1 j 1 j (a) j P x y j 例题1 力系平衡条件与平衡方程 (2) 在jj1的情况下，须在 物块上沿斜面至少施加 多大的力FT 才能使物块 下滑？ P x y F FN FT j j (b) (3) 欲使物体沿斜面向上滑动， 须在物块上沿斜面至少施 加多大的力FT？ P x y F FN FT j j (c) 力系平衡条件与平衡方程 解：

20、(1) 画受力图如右。 列平衡方程 考虑极限平衡状态有： 11 N1N1 0 sin0sin 0 cos0cos x y F FPFP F FPFP jj jj (1) (2) maxsN FFfF 从而得到： 1s 1s tan, arctan. f f j j P x y F FN 1 j 1 j (a) 力系平衡条件与平衡方程 (2) 画受力图如右 列平衡方程 TT NN 0 sin0sin 0 cos0cos x y F FPFFFP F FPFP jj jj 从而得到： Ts (cossin).FP fjj P x y F FN FT j j (b) 考虑极限平衡状态有： m axs

21、N F Ff F 当 时, 物块才能下滑。 Ts (cossin)FPfjj 力系平衡条件与平衡方程 (3) 画受力图如右 列平衡方程 TT NN 0 sin0sin 0 cos0cos x y F FPFFFP F FPFP jj jj P x y F FN FT j j (c) 考虑极限平衡状态有： maxsN FFfF 从而得到： Ts (cossin).FP fjj 当时，物块才能上滑。 Ts (cossin)FP fjj 力系平衡条件与平衡方程 1 1 静摩擦角静摩擦角 A FR -全约束力全约束力 物体处于临界平衡状态时，全约 束力和法线间的夹角将达到最大值， 这个值称为-静摩擦角 摩擦角和自锁现象摩擦角和