初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

1、初中数学几何模型大全 + 经典题型（含答案） 全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线， 形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直 也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是 45、30、22.5、15及有一个角是 30直 角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、 等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长

2、中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角， 通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形遇 90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考 察的内容。通过“8”字模型可以证明。模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变 化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰 三角形的公共顶点，围绕公

3、共顶点找到两组相邻等线段，分组组 成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等 腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与 中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直 角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等 三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距 离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线

4、段，定长线 段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的 180 度旋转及平移改变图形的形 状。矩形正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形 状改变正方形+等腰直角三角形正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是 300 角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三 边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中 起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以

5、 30 度、45 度、60 度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与 不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等 乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或 者结论的比值来做相应的平行线。初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，o 是半圆的圆心，c、e 是圆上的两点，cd ab，efab，egco求证：cdgf（初二）ceagd o fb2、已知：如图，p 是正方形 abcd 内点，padpda150 求证：pbc 是正三

6、角形（初二）apdb c3、如图，已知四边形 abcd、a b c d 都是正方形，a 、b 、1 1 1 1 2 2c 、d 分别是 aa 、bb 、cc 、dd 的中点2 2 1 1 1 1求证：四边形 a b c d 是正方形（初二）2 2 2 2aa2a1d2dd1b1c1b2c2bc4、已知：如图，在四边形 abcd 中，adbc，m、n 分别是 ab、cd 的中点，ad、bc 的延长线交 mn 于 e、f求证：denffen cd经 典 难 题（二）amb1、已知：abc 中，h 为垂心（各边高线的交点），o 为外心， 且 ombc 于 m（1） 求证：ah2om；（2） 若bac

7、600，求证：ahao（初二）aohebm d c2、设 mn 是圆 o 外一直线，过 o 作 oamn 于 a，自 a 引 圆的两条直线，交圆于 b、c 及 d、e，直线 eb 及 cd 分别交 mn 于 p、q求证：apaq（初二）gecobdmp aqn3、如果上题把直线 mn 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命 题：设 mn 是圆 o 的弦，过 mn 的中点 a 任作两弦 bc、 de，设 cd、eb 分别交 mn 于 p、q求证：apaq（初二）ecmpaqnobd4、如图，分别以abc 的 ac 和 bc 为一边，在abc 的外侧 作正方形 acde 和正方形 cbfg，点 p 是

8、 ef 的中点 求证：点 p 到边 ab 的距离等于 ab 的一半（初二）dgcepa q bf经 典 难 题（三）1、如图，四边形 abcd 为正方形，deac，aeac，ae 与 cd 相交于 f求证：cecf（初二）adfebc2、如图，四边形 abcd 为正方形， deac，且 ce ca，直 线 ec 交 da 延长线于 f求证：aeaf（初二）fa dbce3、设 p 是正方形 abcd 一边 bc 上的任一点，pfap，cf 平分dce求证：papf（初二）a dfbp c e4、如图，pc 切圆 o 于 c，ac 为圆的直径，pef 为圆的割线， ae、af 与直线 po 相交

9、于 b、d求证：abdc，bcad（初apb o d三）经 典 难 题（四）1、已知：abc 是正三角形，p 是三角形内一点，pa3，pb 4，pc5求：apb 的度数（初二）ap2、设 p 是平行四边形 abcd 内部的一点，且 pba pda 求证：pabpcb（初二）b cadpbc3 、设 abcd 为圆内接凸四边形，求证： ab cd ad bc ac bd（初三）adbc4、平行四边形 abcd 中，设 e、f 分别是 bc、ab 上的一点， ae 与 cf 相交于 p，且aecf求证：dpadpc（初二）afpdbec经 典 难 题（五）1、 设 p 是边长为 1 的正abc 内

10、任一点， lpapbpc， 求证： l22、 已知：p 是边长为 1 的正方形 abcd 内的一点，求 papb pc 的最小值a a dppbcbc3、p 为正方形 abcd 内的一点，并且 paa，pb2a，pc3a，求正方形的边长a dpbc4、如图，abc 中，abcacb800，d、e 分别是 ab、ac 上的点，dca300，eba 200，求bed 的度数adeb c经 典 难 题（一）1.如下图做 ghab,连接 eo。由于 gofe 四点共圆，所以 gfhoeg,即 ghf oge, 可 得eo=go=co, 又 co=eo ， 所 以gfghcdcd=gf 得证。2. 如下

11、图做dgc 使与adp 全等，可得pdg 为等边，从 而可得 dgc apd cgp, 得出 pc=ad=dc, 和 dcg= pcg 150所以dcp=300，从而得出pbc 是正三角形11113.如下图连接 bc 和 ab 分别找其中点 f,e.连接 c f 与 a e 并1 1 2 2延长相交于 q 点，连接 eb 并延长交 c q 于 h 点，连接 fb 并延长交 a q 于 g2 2 2 2点，由 a e= a b = b c = fb ，eb = ab= bc=fc ，又2 1 1 1 1 2 2 12 2 2 2gfq+q=900 和geb +q=900,所以geb =gfq 又

12、b fc =a eb ， 2 2 2 2 2 2可得b fc a eb ，所以 a b =b c ，2 2 2 2 2 2 2 2又gfq+hb f=9002和gfq=eb a ,2 2从而可得a b c =900 ，2 2 2同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 a b c d 是正方形。2 2 2 24.如下图连接 ac 并取其中点 q，连接 qn 和 qm，所以可得 qmf=f，qnm=den 和qmn=qnm，从而得出 denf。经 典 难 题（二）1.(1)延长 ad 到 f 连 bf，做 ogaf,又f=acb=bhd，可得 bh=bf,从而可得 hd=df，又ah=gf+h

13、g=gh+hd+df+hg=2(gh+hd)=2om(2)连接 ob，oc,既得boc=1200，从而可得bom=600,所以可得 ob=2om=ah=ao, 得证。3.作 ofcd，ogbe，连接 op，oa，of，af，og，ag， oq。由于ad ac cd 2 fd fd = = = =ab ae be 2bg bg，由此可得adf abg，从而可得afc=age。又因为 pfoa 与 qgoa 四点共圆，可得afc=aop 和 age=aoq，aop=aoq，从而可得 ap=aq。4.过 e,c,f 点分别作 ab 所在直线的高 eg，ci，fh。可得 pq=eg + fh2。由eg

14、a aic，可得 eg=ai，由 bfh cbi，可得 fh=bi。从而可得 pq=ai + bi=ab，从而得证。22经 典 难 题（三）1.顺时针旋转ade，到abg，连接 cg.由于abg=ade=900+450=1350从而可得 b，g，d 在一条直线上，可得agb cgb。 推出 ae=ag=ac=gc，可得agc 为等边三角形。 agb=300，既得 eac=300，从而可得a ec=750。又efc=dfa=450+300=750.可证：ce=cf 。2.连接 bd 作 ch de，可得四边形 cgdh 是正方形。 由 ac=ce=2gc=2ch，可得ceh=300 ，所以cae

15、=cea= aed=150 ，又fae=900+450+150=1500，从而可知道f=150，从而得出 ae=af。3.作 fgcd，febe，可以得出 gfec 为正方形。 令 ab=y ，bp=x ,ce=z ,可得 pc=y-x 。tan bap=tan epf=x=z，可得 yz=xy-x2+xz ，yy - x + z即 z(y-x)=x(y-x) ，既得 x=z ，得出abp pef ， 得到 papf ，得证 。经 典 难 题（四）1.顺时针旋转abp 600，连接 pq ，则pbq 是正三角形。可得pqc 是直角三角形。 所以apb=1500 。2.作过 p 点平行于 ad

16、的直线，并选一点 e，使 aedc，be pc.可以得出abp=adp=aep，可得：aebp 共圆（一边所对两角相等）。可得bap=bep=bcp，得证。de= ，由3.在 bd 取一点 e，使bce=acd，既得bec adc，可得：be=ad，即ad bc=be ac， bc ac又acb=dce，可得abc dec，既得abac= ，即dcab cd=de ac， 由+可得: ab cd+ad bc=ac(be+de)= ac bd ，得 证。4. 过 d 作 aq ae ， agcf ，由sade=sabcd2sdfc，可得：a e p q ae pq 2 2ae=fc。可得 dq=

17、dg，可得dpadpc（角平分线逆定理）。经 典 难 题（五）1.（1）顺时针旋转bpc 600，可得 pbe 为等边三角形。既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef 要使最小只要 ap， pe，ef 在一条直线上，即如下图：可得最小 l= ；（2）过 p 点作 bc 的平行线交 ab,ac 与点 d，f 。 由于apd atp=adp，推出 adap 又 bp+dpbp 和 pf+fcpc 又 df=af 由可得：最大 l 2 ；由（1）和（2）既得： l2 。2.顺时针旋转bpc 600 ，可得pbe 为等边三角形。既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef 要使最小只要 ap， pe，ef 在一条直线上，即如下图：可得最小 pa+pb+pc=af。既得 af=1 3+ ( + 1)2 4 2( 3 + 1)2 2=22=2 + 3( 3 + 1)4 + 2 32=6 + 22。3.顺时