高中数学知识点总结(经典版)

1、高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 a =x|y =lg x，b =y|y =lg x，c=(x,y)|y =lg x，a、 b 、 c中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合a =x|x2-2x -3 =0，b=x|ax=1若b a，则实数a的值构成的集合为 1（答：-1，0， ） 3 3. 注意下列性质：（1）集合a，a ，a 的所有子集的个数是2n ；1 2 n（2） 若a b a

2、 i b =a，a u b =b；（3） 德摩根定律：cu(aub)=(ca)i(cb)，c(aib)=(ca)u(cb)u u u u u4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式 的取值范围。ax -5x 2 -a0的解集为m，若 3 m且 5 m，求实数a（3 m， 5 m，a 3 -5 32 -aa 5 -5 52 -a-a0，则函数f(x) =f (x) +f ( -x) 的定 义域是_。（答：a，-a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？x +1 =e x +x，求f (x).令t =x +1，则 t 0x =t 2

3、-1f (t) =et2-1+t2-1f (x) =ex 2-1+x2-1 (x0)12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）1+x如：求函数 f (x) =-x(x0) (x1) -x (x0 则 0 x 0，函数f (x) =x 值是（ ）3-ax在1， +)上是单调增函数，则a的最大a. 0 b. 1c. 2 d. 3（令f ( x) =3x2 a a -a =3x + x- 0 3 3 则x -a3或x a33由已知f (x) 在1， +)上为增函数，则 a 的最大值为 3）a31，即 a 316. 函数 f(x)具有

4、奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若f ( -x) =-f(x) 总成立 f (x) 为奇函数 函数图象关于原点对称若f ( -x) =f (x) 总成立 f (x) 为偶函数 函数图象关于 y轴对称注意如下结论：（1） 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。（2） 若f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) =0。如：若f (x) =a 22xx+a -2+1为奇函数，则实数 a =（f (x) 为奇函数，x r，又 0 r，f (0) =0a 2 0 +a -2即=0，a =1）2 0

5、+1又如：f (x) 为定义在 ( -1，1) 上的奇函数，当x (0 ，1) 时，f (x) = 求f (x) 在(-1，1)上的解析式。2 -x（令x (-1，0)，则-x(0，1)，f(-x)=4-x +12 -x 2 x又f (x) 为奇函数， f (x) =-=-x4 -x +1 1 +4x ( -1， 0)2 x-x =0x +1 4）又f (0) =0，f (x) =x 2x (0，1)+14x42xx+1，17. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数 t（ t 0），在定义域内总有 f (x+t)=f(x) ，则 f (x) 为周期 函数，t 是一个周期。）如：若f (x+a)

6、=-f(x)，则4左移a (a 0) 个单位（答：f (x) 是周期函数，t =2a为f (x) 的一个周期） 又如：若 f (x) 图象有两条对称轴 x =a，x =b () 即f (a +x) =f (a -x) ，f (b +x) =f (b -x)则f (x) 是周期函数， 2 a -b 为一个周期如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f (x) 与f ( -x) 的图象关于 y轴 对称f (x) 与 -f (x) 的图象关于 x轴 对称f (x) 与 -f ( -x) 的图象关于 原点 对称f (x) 与f-1(x) 的图象关于 直线y =x 对称f (x) 与f (2a -x) 的

7、图象关于 直线x =a 对称f (x) 与 -f (2a -x) 的图象关于 点 ( a，0) 对称将y =f (x) 图象 右移a (a 0) 个单位y =f (x +a) y =f (x -a)上移b(b0) 个单位 下移b(b0) 个单位注意如下“翻折”变换：y =f (x +a) +b y =f (x +a) -bf (x) f (x)f (x) f (|x|)如： f (x) =log (x+1)2作出y = log (x+1)及y=log x +1 的图象2 252( )( )22( )yy=log xo 1 x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y=bo(a,b)

8、o xx=a（1）一次函数： y =kx +b (k0)（ 2）反比例函数：y = 的双曲线。k kk 0 推广为y =b + k 0 是中心o ( a，b) x x -a（ 3）二次函数y =ax2 b 4ac -b+bx +c a 0 =a x + + 图象为抛物线 2a 4a b 4ac -b 2 顶点坐标为 - ， 2a 4a ，对称轴x =-b2a开口方向：a 0 ，向上，函数ymin=4ac -b4a2a 0 时，两根 x 、x 为二次函数 y =ax1 22+bx +c的图象与 x轴的两个交点，也是二次不等式 ax2+bx +c 0 ( k2a f(k) 0y(a0)o k x1

9、x2x一根大于k，一根小于k f (k) 0，a 1)（5）对数函数y =log x(a0，a 1)a由图象记性质！ （注意底数的限定！）yy=a (a1)(0a1)a1o 1 x(0a0)x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？y- kokx20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：a0=1 (a 0) ，a-p1= (a 0)a p7a a aaamn=n a m (a 0) ，a-mn=n1am(a 0)对数运算：log mn =log m +log n (m0，n 0)a a alogam 1 =l o g m -l o g n， l o g n m = log

10、mn n对数恒等式： a log a x =x对 数 换 底 公 式l：og b =a21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）log bcl o g acn log b n = log b a m m a如：（1）x r，f (x) 满足f (x +y) =f (x) +f (y) ，证明f (x) 为奇函数。（先令x =y =0 f (0) =0 再令y =-x，）（2 ）x r，f (x) 满足f (xy) =f (x) +f (y) ，证明f (x) 是偶函数。（先令 x =y =-t f (-t)(-t)=f(tt)f ( -t) +f ( -t) =f (t) +f (t

11、)f ( -t) =f (t) ）（ 3）证明单调性：f (x ) =f (x-x)+x=2 2 1 222. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法 等。）如求下列函数的最值：（1）y =2x -3 + 13 -4x2 x -4（ 2 ）y =x +32x 2（3）x 3，y =x -3（ 4 ）y =x +4 + 9 -x2(设x=3cos q，q0，p)（5）y =4x +9x，x (0 ，123. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 r 的弧长公式和扇形面积公式吗？8p p ( )（l = ar，s

12、扇=1 1lr = ar 2 ） 2 2r1 弧度o r24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 s i na=mp， cos a =om， tan a =atyb spto m a xp如：若 - q0，则 sin q，cos q，tan q的大小顺序是 8又如：求函数y = 1 - 2 cos -x的定义域和值域。2 （1 - 2 cos -x） =1 - 2 sin x 02 sin x 22，如图：5p p 2kp- x 2kp+ k z ， 0 y 1 + 2 4 49 p ( )p p( )p ，kp+25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区

13、间、对称点、对称轴吗？s i nx 1， cos x 1yy =tgx-p2op2px对 称 点 为k ，0，k z 2 y =s i nx的增区间为 2kp-， 2kp+ k z 2 2 p 3p减区间为 2kp+ ， 2kp+ k z 2 2 图象的对称点为(kp，0)，对称轴为x=kp+ y =c o sx的增区间为2kp，2kp+p(kz)p2(kz)减区间为2kp+p，2kp+2p(kz)图象的对称点为kp+， 0，对称轴为 x =kp(kz) 2 y =t a nx的增区间为 kp-p p2 2 k z26. 正弦型函数y = asin(wx+j)的图象和性质要熟记。或y=acos

14、(wx+j)1012 a =(h，k)（1）振幅 | a| ，周期t =2p| w|若 f (x若f (x00)=a ， 则x =x 为 对 称 轴 。0=0，则(x，0)为对称点，反之也对。0（ 2 ）五点作图：令 wx +j依次为 0， （x，y）作图象。p 3p，p， ， 2p，求出x与y，依点 2 2（3）根据图象求解析式。（求 a、w、j值）如图列出w(x ) +j=0 p w(x ) +j= 2解条件组求w、j值d正切型函数 y =a tan(wx+j)，t=p| w|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如： cosx + p 2=-

15、6 2 3p，x p， ，求x值。 2 （px 3p 7 p p 5p p 5p 13 ， x + ，x + = ，x = p）2 6 6 3 6 4 1228. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y =sin x +sin|x| 的值域是（x 0时，y =2 sin x -2，2，x0，a 0 ）31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：s i n(ab)=sinacosbcosasinbsin 2a=2 sin acos a12()= a- - -b213 21 + 令a=bc o sab =c o sac o s

16、bmsin asin b cos2 a =cos 2 a-sin 2 at a n(ab)=t a nat a nb 1 m t a nat a nb=2c o 2s a-1 =1 -2s i n2 a2 t a nat a n2 a =1 -t a n2 aa s i na+b cos a = a2+b2co 2s a=s i n2 a=bsin(a+j)，tanj=a1 +c o s2a1 1 -c o s2a2s i na+c o sa=2 s ina+ p4 s i na+3 c o sa=2 s i na+p3 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中

17、不含三角函数，能 求值，尽可能求值。）具体方法：（1）角的变换：如 b=(a+b)-a，a+b b a 2 2 2 （2） 名的变换：化弦或化切（3） 次数的变换：升、降幂公式（4） 形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知sin acos a1 -cos2a=1， tan(a-b)=-，求tan(b-2a)的值。3sin acos a cos a（由已知得： = =1， tan a =2 sin 2 a 2 sin a122又 t a n(b-a)=3 t a n(b-2a)=tan(b-a)-a=t a n(b-a)-tana 1 +t a n(b-a)tana=2 1-= ）2

18、 1 83 232. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理：a2 =b 2 +c 2-2bc cosa cosa =b2+c 2 -a 2bc2（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）正弦定理：a =2r sin aa b c = = =2r b =2r sin b sin a sin b sin cc =2r sin c 13( ) p p( ) p ps =d12ab s i nca +b +c =p，a +b =p-ca +b c s i na +b =s i nc， s i n =cos2 2如dabc中， 2 sin2a +b2+c

19、os2c =1（1） 求角 c；（2） 若a 2 =b 2 +c 22，求 cos2a -cos2b的值。（ 1）由已知式得： 1 -cos(a+b)+2cos 2 c -1 =1 又a +b =p-c，2 cos 2 c +cosc -1 =0 cosc =12或 cosc =-1（舍）又 0 c b，c 0 ac bc c 0 ac b，c d a +c b +d（3） a b 0，c d 0 ac bd14a +b( ) 2 2+b( )+max（ 4）a b 0 1 1 1 1 ，a b a b a b（ 5）a b 0 a n b n ， na nb（ 6 ） |x| 0)-ax a

20、 x a如：若1 1 0，则下列结论不正确的是（ a b）2a. a 2 b 2 b. ab |a +b|d. + 2b a答案：c35. 利用均值不等式：a +b 2ab a，b r ；a +b 2 ab ；ab 2 2求最值时，你是否注意到“ a，b r+”且“等号成立”时的条件，积 (ab) 或和 ( a +b) 其中之一为定值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：a22 a +b 2ab ab a，b r 2 2 a +b当且仅当 a =b时等号成立。 a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca (a，br)当且仅当 a =b =c时取等号。 a b 0 ，m 0 ，n 0 ，

21、则b b +m a +n a 1 0 ， 2 -3x -4x的最大值为（设 y =2 - 3x +4x2 -2 12 =2 -4 3 4 2 3当且仅当 3x = ，又x 0 ，x = 时， y =2 -4 3）x 3又如：x +2y =1，则 2x+4y的最小值为（ 2x+22y2 2x +2y=2 21，最小值为2 2 ）15( )36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。如：证明1 +1 1 1 + + + 22 2 32 n 2（1 +1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + +2 2 3 2 n 2 1 2 2

22、 3 n -1 n=1 +1 -1 1 1 1 1 + - + + -2 2 3 n -1 n1=2 - a (a0)的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：(x+1)(x-1)2(x-2)31或0 a 1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式 |x -3|-x +1 12）41. 会用不等式| a|-|b| |a b| |a|+|b| 证明较简单的不等问题如：设 f (x) =x2-x +13，

23、实数 a满足 | x -a| 1求证： f (x) -f (a) 2(|a|+1)证明：|f (x) -f (a)| =|( x 2 -x +13) -(a 2 -a +13)|16n nn n=|( x -a)(x +a -1)| ( |x -a| 1)=|x -a|x +a -1| |x +a -1|x|+|a|+1又| x|-|a| |x -a| 1，|x| |a|+1 f (x) -f (a) 2|a|+2 =2(|a|+1)（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或 ”问题） 如：a f (x) 恒成立 a f (x) 恒成立 a f

24、(x) 的最大值a f (x) 能成立 a f (x) 的最小值例如：对于一切实数x，若 x -3 +x +2 a恒成立，则a的取值范围是 （设 u = x -3 + x +2 ，它表示数轴上到两定点 -2 和 3距离之和u=3 -(-2)=5，5a，即a 5 m i n或者： x -3 +x +2 (x-3)-(x+2)=5，a0，d 0，解不等式组 1a 0a 0n +1可得s 达到最大值时的n值。 n当a 0 ，由 1a 0a 0n +1可得s 达到最小值时的n值。 n如：等差数列a，s =18，a +an n nn -1+an -2=3，s =1，则n = 3（由 a +a nn -1

25、+an -2=3 3an -1=3， an -1=1又s =3(a+a1 32)3 =3a =1，a = 2 213s =n1 +1a +a n a +a 3 = =2 2 2n=18 n =27 ）44. 等比数列的定义与性质a 定义： n +1an=q（q为常数， q 0）， a =a qn 1n -1等比中项：x、g、y成等比数列 g 2 =xy，或g = xyna (q =1)前n项和：s =a (1-qn)(q 1)1 -q（要注意 ! ）性质： an是等比数列（1）若m +n =p +q，则a a =a am n pq（ 2 ）s ，s n2 n-s ，sn3n-s 仍为等比数列

26、2 n45. 由s 求a 时应注意什么？n n（n =1时， a =s ， n 2 时， a =s -s1 1 n n46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？n -118） n12n1112n -1ns n1例如：（1）求差（商）法1 1 1如： a 满足 a + a + + a =2n +52 2 2 2 n解：1n =1时， a =2 1 +5，a =1421 1 1n 2 时， a + a + + a =2n -1 +52 2 2 2 n -1-得：n +1a =2n12 na =2n14 (n =1) a =2 n +1 (n 2) 练习数列 an满足s +s nn +1=53a ，

27、a =4 ，求a n +1 1n（注意到 an +1s=s -s 代入得： n +1 n +1 nn=4又 s =4 ， s是等比数列， s =41 n nnn 2 时， a =s -sn nn -1= =3 4n -1（2）叠乘法a n例如：数列 a 中，a =3， n +1 = ，求 aa n +1nn解：a a a 1 2 n -1 a 1 2 3 n = ， n =a a a 2 3 n a n 1 2 n -1 1又a =3，a = 1 n3n（3）等差型递推公式由a -ann -1=f (n) ，a =a ，求 a ，用迭加法1 0 nn 2 时，a -a =f (2)2 1a -

28、a =f (3) 3 2 两边相加，得：a -ann -1=f (n)a -a =f (2) +f (3) + +f (n) n 1a =a +f (2) +f (3) + +f (n) n 0练习191nn11n -1nan1 1数列 an，a1=1， a =3 n -1 +a nn -1(n2)，求an（a = (3n-1)）2（4）等比型递推公式a =ca +d (c、d为常数，c 0 ，c 1，d 0) n n -1可 转 化 为 等 比 数 列 ，a 设+x=c(an+(c-1)x a =cann -1d令 ( c -1)x =d，x =c -1n -1+x)a +dc -1d是首项

29、为 a + ，c为公比的等比数列c -1a +ndc -1=d a + c -1cn -1a =a + n 1练习d dc -c -1 c -1数列 an满足a =9 ， 3a 1n +1+a =4 ，求 a nn 4 （a =8- 3（5）倒数法n -1+1）例如：a =1，a1n +12a= na +2n，求 an由已知得：a1n +1a +2 1 1 = n = +2a 2 an na1n +11 1- =a 2n1 1 1为等差数列， =1，公差为a 211an=1 +(n-1)= (n+1)2 2a =n2n +120()47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项

30、法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如： a是公差为d的等差数列，求 nn 1a a k =1 k k +1解：由1a akk +1=1 1 1 1 = - a a +d d a a k k k k +1(d0)n 1 n 1 1 1 = - a a d a a k =1 k k +1 k =1 k k +11 1 1 1 1 1 1 = - + - + + - d a a a a a a 1 2 2 3 n n +1=1 1 1 - d a a 1 n +1练习求和：1 +1 1 1+ + +1 +2 1 +2 +3 1 +2 +3 + +n（a = =，s =2

31、-n n（2）错位相减法：1n +1）若 an为等差数列， bn为等比数列，求数列 abnn（差比数列）前 n项和，可由 s -qs 求 s ，其中 q 为 bn n nn的公比。如： s =1 +2x +3x 2 +4x 3 + +nx n -1 nx s =x +2x n2+3x3+4x4+ +(n-1)xn -1+nxn-： (1-x)s=1+x +xn(1-xn)nx nx 1时，s =-n1 -x(1-x)22+ +xn -1-nxnx =1时，s =1 +2 +3 + +n =nn(n+1) 2（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。s =a +a + +a +a n 1 2 n -1 ns =a +a + +a +a n n n -1 2 1相加2s =(a+an 1n)+(a+a 2n -1)+ +(a+a )1 n2122 ( ) ()( )n2练习已知 f (x) =x 21 +x21 1 1，则 f (1) +f (2) +f +f (3) +f +f (4) +f =2 3 4