2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1.4　1.4.1　第2课时　空间向量与垂直关系 Word版含解析

1、第2课时空间向量与垂直关系学 习 目 标核 心 素 养1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直(重点)2能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系(重点、难点)借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题1空间中有关垂直的向量关系一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法

2、向量垂直2空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l1的方向向量为u(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v(b1，b2，b3)，则l1l2uv0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量是n(a2，b2，c2)，则lunun(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)(r)面面垂直设平面的法向量n1(a1，b1，c1)，平面的法向量n2(a2，b2，c2)，则 n1n2 n1n20a1a2b1b2c1c20思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？提示垂直1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)同一

3、个平面的法向量均为共线向量()(2)若a，b是平面内的向量，且na0，nb0，那么n可以作为平面的一个法向量()(3)若点a、b是平面上的任意两点，n是平面的法向量，则n0.()提示(1)(2)(3)2设直线l的方向向量u(2,2，t)，平面的一个法向量v(6，6,12)，若直线l平面，则实数t等于()a4 b4c2 d2b因为直线l平面，所以uv，则，解得t4，故选b.3若直线l1的方向向量为u1(1,3,2)，直线l2上有两点a(1,0，1)，b(2，1,2)，则两直线的位置关系是_l1l2(1，1,1)，u11131210，因此l1l2.4若平面，的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，

4、2，0)，则与的位置关系是_垂直由于ab(2，1,0)(1，2,0)220，所以.利用空间向量证明线线垂直【例1】在正方体abcda1b1c1d1中，e为ac的中点求证：(1)bd1ac；(2)bd1eb1.解以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则b(1,1,0)，d1(0,0,1)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，b1(1,1,1)(1)(1，1,1)，(1,1,0)，(1)(1)(1)1100，即bd1ac.(2)(1，1,1)，(1)(1)110，即bd1eb1.利用向量法证明线线垂直的方法用向量法证明

5、空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明ab0即可，具体方法如下：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.跟进训练1在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e，f分别是ab，bc上的动点，且aebf，求证：a1fc1e.证明以o为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a1(a,0，a)，c1(0，a，a)设aebfx，则

6、e(a，x,0)，f(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即a1fc1e.用空间向量证明线面垂直探究问题1利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？提示利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线2证明线面垂直，能否不求平面的法向量？提示可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可【例2】如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是b1b，dc的中点，求证：ae平面a1d1f.思路探究建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面a1d1f的法向量

7、，然后证明与法向量共线证明如图，以点d为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，e，a1(1,0,1)，d1(0,0,1)，f，(1,0,0)，.设平面a1d1f的一个法向量为n(x，y，z)，则即解得令z1，得y2，则n(0,2,1)又，n2.n，即ae平面a1d1f.1把本例“正方体”改为“长方体”，其中，abad1，aa12，点p为dd1的中点，如图，求证：直线pb1平面pac.证明依题设，以d为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则c(1,0,0)，p(0,0,1)，a(0，1,0)，b1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1

8、,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即pb1cp，pb1ca，又cpcac，且cp平面pac，ca平面pac.故直线pb1平面pac.2.在本例中，把f改为“是b1d1的中点”，其他条件不变，求证：ef平面b1ac.证明建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，b1(1,1,1)e，f.(1,1,0)，(0,1,1)，.由0，0，得，也就是efac，efab1，又因ac，ab1面ab1c，且acab1a，故ef平面ab1c.1坐标法证明线面垂直的两种方法法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向

9、量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决利用空间向量证明面面垂直【例3】如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，abbc2，bb11，e为bb1的中点，证明：平面aec1平面aa1c1c.思路探究要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n

10、2，证明n1n20.解由题意得ab，bc，b1b两两垂直以b为原点，ba，bc，bb1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则a(2,0,0)，a1(2,0,1)，c(0,2,0)，c1(0,2,1)，e，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.设平面aa1c1c的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则令x11，得y11.n1(1,1,0)设平面aec1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面aec1平面aa1c1c.1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的

11、判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度跟进训练3.如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，as底面abcd，且asab，e是sc的中点求证：平面bde平面abcd.解设asab1，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(0,0,0)，s(0,0,1)，e.法一：如图，连接ac，交bd于点o，连接oe，则点o的坐标

12、为.易知(0,0,1)，oeas.又as底面abcd，oe平面abcd.又oe平面bde，平面bde平面abcd.法二：设平面bde的法向量为n1(x，y，z)易知(1,1,0)，由得令x1，可得平面bde的一个法向量为n1(1,1,0)as底面abcd，平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)n1n20，平面bde平面abcd.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m与n相交，则l.(2)若lm，m，则l(1)证明直线

13、的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面，(1)若l，l，则.(2)若l，m，lm，则.(3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直1已知直线l1的方向向量a(1,2，2)，直线l2的方向向量b(2,3，m)若l1l2，则m()a1 b2 c d3b由于l1l2，所以ab，故ab262m0，即m2.2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()a3 b6 c9 d9cl，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.3已知平面和平面的法向量分别为a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，则x_.5，ab，abx490，x5.4已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对0ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直5如图所示，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点 求证：ab1平面a1bd.证明如图所示，取bc的中点o，连接ao.因为abc为正三角形，所以aobc.