算术平方根与平方根的概念及性质

1、( )225125 25 25 522 3 1 9 3专题 6第六章实数算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x=a，那么这个正数 x 叫作 a 的算术平方根。记为 a，读作“根号 a”，a 叫作被开方数.规定：0 的算术平方根是 0.2.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x=a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次 方根，a 叫作被开方数.正数 a 的正的平方根，即为 a 的算术平方根。正数 a 有两个互为相反数的平方根： a 读作“正负根号 a”；负数没有平方根；0 的平方根是 0.，3. 求一个非负数的平方根的运算叫作开

2、平方，平方和开平方互为逆运算。4. 如果被开方数的小数点向左（或向右)移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动 1 位，例如：若 a =b 5.算术平方根的双重非负性，则 100a =10b ， 0.001a =0.1b .对于 a，满足关系式：a0（被开方数为非负数）； a0（算术平方根为非负数）。6.算术平方根的性质：若 ab0，则 a b0.7.两个结论：a =a(a0)； a2=(-a)2= a.典例精析例 1 （1）求下列各数的算术平方根：81； ； (p-3)2；(-x)236（2）求下列各数的平方根：0.49； 2 ； -(-3)2-2；x44【分析】分别按照

3、平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为 9=81，所以 81=9；因为 =6 36，所以 =36 6因为 p3，所以 p-30，根据 a2= a ，有(p-3)2= p-3 =p-3；因为 x =(-x)2，所以(-x)2= x2 = x（2）因为(0.7)2=0.49，所以 0.49= 0.7；因为 = 2 94，所以 2 = = ； 4 4 2因为 (5)2=25，所以 -(-3)2-2=25=5；因为 (x2)2=(x2)2=x2x2=x xxx=x4， x4=x2.【点评】遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；求一个式子的平方根或算是平方根， 需要先

4、求出该算式的值；一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式 1 36 的算式平方根是_.拓展与变式 2 若 m+1 是 9 的平方根，则 m=_拓展与变式 3 若一个正数的两个平方根为 x-1 和 2x+1，则这个正数为_.拓展与变式 4 若整式 x-1 和 2x+1 都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】审题时，要注意按照定义运算，注意“ 运算和它的逆运算-开平方的运算”的作用.需要灵活判断和运用平方例 2 已知：（m +1 ） +3 n=0 ，求式子 n m3的值.【分析】两个非负数的和为 0，则这两个数均为 0.【解】依题意得m 1 0 m 1 解得3 n 0 n 3

5、，所以 n m3=3 13=4【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式 5 已知： m 123 n2，式子 m +n 的值为_.拓展与变式 6 已知： a 5 5 a 0，a 的值为_拓展与变式 7 已知： m 2 12n 1 t n 0，代数式 2 mn t的值为_.【反思】学过的具有非负性的式子有 a20 ， a 0 ， a 0（a0）.学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例 3 30的大小约为（ ）a .3与 4 之间 b . 4与 5 之间 c . 5与 6 之间 d . 6与 7 之间 【解】因为 203036 且 ab0，则 a b

6、0 .所以 5= 25 30 36=6.答案为 c【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式 8 比较大小： 15 1_3.拓展与变式 9 若 51的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a、b 的值【反思】若 m a m 1（m 为非负整数），则 a的整数部分为 m ，小数部分为 a-m .专题突破1.（1）x 是 81 的算术平方根，那么 x 的算术平方根是（ ） a . 3 b . 9 c .3 d .9（2）下列式子： 16 4 ；9 3 1 1； 9 316 4 4 2； 2 3 3 2，其中正确的个数是（ ）a .0 b .1 c .2 d .32.如图 6-1 所示，点 a ，b ，c ，d ，o 分别表示的数是 1，2，3，4，0.图 6-1（1） 点 p 从 o 点出发，向数轴正方向匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，2 秒后，点 p 在线段_上；（2） 点 p 从 b 点出发，向数轴负方向匀速运动，速度为每秒 2 个单位