一维势场中的粒子习题解答

1、第 2 章 一维势场中的粒子习题 2.1 在三维情况下证明定理1-2。 证明：实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量r 即可。d2习题 2.2 方程 d 2 k2 0 的一般解亦可写为如下形式：dx2(x) Aeikx Be ikx 或 (x) Asin( kx ) 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。 解：方法1：令势阱内一般解为 (x) Aeikx Be ikx ，代入边界条件 (0) 0, (a) 0,有A B 0 ， Aeika Be ika 0解得： A B, sin ka 0，有k n ,(n 1,2,3 )a所以： (x) 2 Ai sin n x A

2、 sinn x,(0 x a) aa0,(x 0,x a)归一化可求得： (x) 2 n sin x,(0 x a) aa222且有：E En n ,n 1,2,3,n 2 a2方法2：令势阱内一般解为 (x) A sin( kx ) ，代入边界条件 (0) 0, (a) 0,有 Asin0, A sin(ka) 0解得 0, k n ,(n 1,2,3 )a所以： (x) Asin n x,(0 x a)0,| x| a/2 ,|x| a/2中运动，求定态 Schr?dinger 方程的解。V(x)-a/2 a/2 xa0,(x0,xa)归一化可求得：(x)2nx,(0x a)sinaa22

3、2且有： E Enn,n1,2,3,2a2习题2.3 设质量为的粒子在势场 V(x)解：方法1：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将教材中式(2.6)中的坐标x 换为x+a/2即得到本问题的解为：n(x)a2), a/20,x a/2,x a/2x a./2222E En n ,n=1,2,3 n 2 a2当 n=2k 为偶数时， 2k (x)2a sin 2ka (xaaa) ( 1)k 2 sin2k x, a/2 x2 a a为关于 x0,x a/2,x a/2.的奇函数，此时波函数为奇宇称；当 n=2k+1为奇数时， 2k 1(x)a2sin(2ka1) (x

4、 a2) ( 1)k 2acos(2k a1) x, a/2a a 2 a ax a/2.0,x a/2,x a/2.为关于 x的偶函数，此时波函数为偶宇称；方法 2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1写出分区的定态 Schr?dinger方程 H?E2 d 22 dx22 d 22 dx2E ,|x| a/ 2V0E ,|x| a / 2, (V0由前面提到的，当V0时，=0故阱外波函数为零，即(x)=0, |x| a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令k由定理 2可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下：2 则阱内定态Schr?dinger 方程为

5、：(x)+k 2=0 由此得阱内的通解为： (x) Ae ikx Beikx 式中 A、B为待定常数。3 、由波函数标准条件确定参数k，并代入(x)既然阱外的波函数(x)=0，由波函数的连续性条件可得(-a 2)= (a2)=0ika/2ika/2Ae Be 0 ika/2ika/2Ae Be 0可解得， k n n=1,2,3, ainBAeinin x/a i(n x/a n(x) Ae Ae2iAein /2 sin(n x/a n) in /2 i(n x/aAe (en/2) A sin (xan /2)aa2)i(n x/a n e/2)归一化，可得到n(x)2nasin (x )

6、,|x|aa20.|x| a/ 2a/2,n 1,2,3,方法 3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1写出分区的定态Schr?dinger方程 H?E2 d 22 dx22 d 22 dx2E ,|x| a/ 2V0E ,|x| a / 2, (V0由前面提到的，当V0时，=0故阱外波函数为零，即(x)=0, |x| a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令kE22 则阱内定态Schr?dinger 方程为：(x)+k 2=0 由此得阱内的通解为：(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|a/2式中 A、B为待定常数3 、由波函数标准条件确定参数k ，并代入(x)

7、 。既然阱外的波函数(x)=0，由波函数的连续性条件可得(-a 2)= (a2)=0即 ( a)Asin(ka / 2) B cos(ka/ 2) 0B0 sin(ka / 2) 0即 (a) Asin(ka / 2) B cos(ka / 2) 0A0 得它的解为： A 0 或 cos(ka / 2) 0由两组解可得，k n n=1,2,3,a对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n为偶数。考虑到势函数关于坐标原点对称，波函数必有确定的宇称，由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为：n(x)Asin nx x, n为偶数|x| a/2|x| a/2n(x) Bcosnax x,n为奇数|xx| a

8、a/22n0|x| a/2上边两组解可合并为一个式子，即n(x)Asin n (x a0,| x| a/2a2),|x| a/2,n 1,2,3,归一化，可得到n(x)2nsin (x aa0,| x| a/22),| x| a/2,n 1,2,3,习题 2.4 二维无限深方势阱问题 设质量为的粒子在势场0,(x, y) (0,a1),(0,a2)V(x, y),(x, y) (0,a1),(0,a2)中运动，求束缚态解。 解：由前面的知识可以知道当粒子处于V(x,y)= 时，则粒子 的波函数为零，即(x,y)=0 (x,y) (0,a 1 ),(0,a 2 )粒子在(x,y) (0,a 1)

9、,(0,a 2) 内的 Schr?dinger 方程 H?E2 22即： ( 2 2 ) E2 xy利用变量分离法，可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令 (x,y)=X(x)Y(y)将(x,y)=X(x)Y(y) 代入上式的 Schr?dinger 方程中，得2 2E 0令k12 k22 2 2E则 Schr?dinger 方程可化为:k12X2k2 Y 0,y (0,a2)0,x (0,a1)X A sin(k1 x 则其解为:k1Y A sin(k 2 y1)2)由此可设波函数为：(x,y)=Asin(k 1x+1)sin(k 2y+2) (x,y) 由边界条件：(x,0)

10、= (0,y)= (a1 ,y)= (x,a 2)=0代入波函数中， (0,a1),(0, a 2) 得A0 sin 1 sin( k 2 y2 ) 0A0 sin(k1 x 1)sin 2 0sin 1 01 , 故可取sin 2 01020(x,y)=Asink 1xsink 2y (x,y) 由边界条件(a1,y)= (x,a 2)=0 得A sin k1a1 sink2 y 0A sin k1 x sin k2 a2 0 (0,a 1),(0,a 2)则得到 k 1a1=n1, k2a2=n2(n 1,n 2=1,2,3 )即 k1n1 ，a1k2n2a2E222 2 (na11222

11、n22 ),n1,n21,2,3波函数Asin n1a1n2xsin ya2由波函数的归一化条件得到：a10a2 | A|2 sin2 n1 xsin n20a1ydxdy 1a2得A2a1a2a1a2所以，二维无限深方势阱的波函数为：n1,n2 (x,y)能级为：En1,n22n1n2sin xsin y ， a1a2a1a2222 (n1222 (a12n 1,n 2=1,2,322 ),n1,n2 1,2,3 a2习题 2.5 三维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场0,(x, y,z) (0, a1), (0, a 2), (0, a3)V(x, y,z),(x,y,z) (0,a1)

12、,(0,a2),(0,a3)中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。即(x,y,z)=0 (x,y) (0,a 1),(0,a 2),(0,a 3) 在盒型势阱内的定态Schr?dinger 方程 H?E2 222即： ( 2 2 2 ) E2 xyz利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就是无限深的 势阱。令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) 代入上式 Schr?dinger 方程中，得Xk12X0,x(0,a1)则 Schr?dinger 方程可化为： Yk22Y0,y(0,a2)Zk32Z0,z(0,a3)令

13、k12 k22 k322E2阱内的波函数可设为：(x,y,z)=Asin(k 1x+1)sin(k 2y+ 2)sin(k 3z+3)(x,y,z) (0,a 1),(0,a 2),(0,a 3) 将边界条件：(0,y,z)= (x,0,z)= (x,y,0)= 0 代入波函数中，得sin 1010sin 20，故可取20sin 3030此时波函数可写为：(x,y ，z)=Asink1xsink 2ysink 3z (x,y,z) (0,a 1),(0,a 2),(0,a 3)由边界条件，(a1,y,z)=(x,a 2,z)=(x,y,a 3)=0代入波函数中，得：Asink1a1sink2

14、ysink3 z0Asink1 xsink2a2sin k3z0Asink1 xsink2ysink3a30sin k1a1 0k1a1n1 sin k2a2 0k2a2n2(n 1,n 2,n 3=1,2,3 )sin k3a3 0k3a3n3n1 k11 ,k2n2 ,k3n3 ,(n 1,n2,n3=1,2,3 )a1a2a32222所以：En1,n2,n3n1,n2,n3(n1222n22n32)1 2 3 2a1a2a3n1,n2,n3Asinn1n2xsinysinn3 za1a2a3由归一化条件 v | n1 ,n2 ,n3 |2 dxdydz 1即，三维无限深势阱的波函数为：n

15、1 ,n2 ,n3 ( x, y, z)n 1,n 2,n 3=1,2,38n1n2n3sin xsin ysin z a1a2a3a1a2a32 2 2 2能级： En1,n2n3(n12 n2 n3 ),n1,n2,n32 a1 a2 a3习题 2.6 一维高低不对称方势阱问题 如图，设质量为 的粒子在势场V1,x 0V(x) 0,0 x aV2,x a中运动，求束缚态情形(0EV1V2)定V2态 Schr?dinger 方程的解。 解：写出分区的定态Schr?dinger方程 H?E2 dx 22 dx 2V1EE ,x 0,0 x aE ,x a2 dx 2V22 (V2E)2)2(x

16、) k 21 (x)0,x 0(x) k 22(x)0,0 x a(x) k12 (x)0,x a考虑到 |x0，可将设各分区域的通解为：I:1 (x)Aek1x ,x 0II:2 (x)Be ik2x Ceik2x ,0 x aIII:3(x)De k3x ,x a式中 A、B、C、D为待定常数。则分区的定态Schr?dinger方程为：由波函数的连续性条件可得到：3)4)ABCAk 1Bik 2 Cik 2Be ik 2a Ceik2a De k3Bik 2e ik2a Cik 2eik2aDk 3e k3a若要 A、B、C、D有不全为零的解，则k1、k2和k3必须满如下方程： (k1k3

17、 k22)sin(k2a) (k1k2 k2k3 ) cos(k 2 a)6)5)此外有：k12 k 227)k2 k38)粒子的能级由上述方程确定。1. 先确定粒子的能级令 x k1a,y k2a,z k3a 可将上述方程组写为： 2(xz y)sin y (xy yz) cos y2 a2 V12z22 a2 V 22粒子的能级可由上述三个方程联立解出。2 a2V1， 2 a2V2，记2，消将上述方程中的z 变量，有2 y2 )cosy(x 2 y 2 y 2 ) sinyy(x2 2 2xy量级估计：设所考虑的为电子，在宽为原子大小(1010m)的势阱中运动， V1100eV 则2 a

18、V110 2 9.1 10 31 100 1.6 10 19分别取2 作图，有：0.814。22 a2V22图2 确定能级的方程的图示 可见，两条曲线有一个交点，即粒子有一个能级， 借助于 Mathematica软件，容易求得交点坐标为： (x1,y 1)(0.180782,0.983523) 即此时粒子的能级为：E1 y122 a2 0.9835232 2 a2类似地，可以求出其它情形2.再考虑归一化波函数 由方程组（5），可以得到：k 1 ik 21 2 A 2ik2k 1 ik 2e(k3ik 2 )a k 1 ik 2 A A 2ik 21 2 A 2ik 2(k3 ik2 )a k1

19、 ik 2 e 3 22ik 2代入4），有：k 1xAek1x (x 0) k 1 ik 2 Ae ik 2x2ik 2e(k3 ik 2)a k 1ik 2 ik x2 Aeik2x (0 x由归一化条件ik 2 2ik 2k12ik 2ik 2 )a k1 ik 2 Ae2ik 2e(k3a)k3x (x a)|2 dx可求得：1|A |2 k22 k12 k 2222k1k222k1a22 k 124k32sin(2k 2a)k12 1 cos(2k 2a)2 k 2k21222 1 2 2 1 cos(2k 2a) 4k22k34k 22k32k1 sin(2k 2a)2k 2 k

20、33.下面讨论各区间的概率密度：2 2 2k 1xw 1 | 1 |2 | A |2 e2k 1x (x 0)w32 |22|A|2 (k 21 k 222k 22k 22 k 122k 22cos2k2x3 |22|A |2(k1k 222k22k22 k 122k 22cos2k 2asin 2k 2x)(0 x a) k2k 12 k 3 (x a)1 sin 2k 2a)e 3 (x a) k2将(x1,y 1)(k1a，k2a)(0.180782,0.983523)及 k3a B2y12 0.180783并取|A| 21，有2 2 0.180782 x w1 | 1 |2 e a (

21、x 0)w 2 | 2 |2 (0.516893 0.483106cos2 0.983523xa 0.183811sin 2 0.983523xa)(0 x a)22 0.180783( x 1)w3 | 3 |2 (0.516893 0.483106cos2 0.983523 0.183811sin 2 0.983523)e 2 0.180783(a 1)2 0.180783(x 1)0.500001e 2 0.180783(a 1)(x a)其概率分布情形如图：图 3 势阱中粒子的概率分布可以看出，电子到达经典禁区的概率相当大如图 1，设质量为 的粒子在势场习题 2.7 一维单壁无限高势阱

22、问题0ax,x 0V(x)V0,0 x a0,x a中运动，求束缚态情形（V0E1区域的概率为54.8习题 2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率。解：基态能量为 E0 12设基态的经典界限的位置为a ，则有E0a212a1在界限外发现振子的概率为W(|x|a)0(x) |2 dxa|a0(x) |2dxx2dx(偶函数性质 )式中 1e ( x)d(y dyx)1 y2e y dye y2 dy22te2et/2dt令y12t)当 x2时的值所以，W (| x| a)/2dt 为正态分布函数 (x)( 2) 。查表得 ( 2) 0.92， 0.92 2(1 0.92)/ 2dt0.

23、16即在经典极限外发现振子的概率为16。22积分 2 e y dy 亦可用Mathematica类的数学软件求得，结果为 2e y dy0.157299 )习题 2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。1 2 x2解： 1(x) 2 xe 21(x)d 1(x)dx1(x)4 22 3 22x2xe232 2x 22x3ex22x2e 2x21xd 2 1(x)6 2 x2)x4 )e令 d 1(x) dx由0 ，得： x0，xx2dx224 3 1 0e可见x2是所求概率最大的位置。或：1( )N1e 2(2 )2 2N1 e 2习题时， 1(x) 0 。显然x 0，x不是最大概

24、率的位置。2 2 32 x22x(2x 2 2x3 )e x1| 1( )|2 (2N1)2 2e 令 d 1 0，有d又由 dd 21有 d 21有 dd 21所以1 |x 0, 0 而2e 2 (12) 00, 1222(2N 1)2e 2 (10dd 2120d1为极大值点，1 0 ，因而1e22.10 试证明 (x)322x2(24)1处必为极大值)3x3 3 x) 是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证明：线性谐振子的Schr?dinger 方程为2 d 22 dx把 (x) 代入上式，ddx(x)E有x(x)(22x)54 x2x122(x)33x3 x)(63x21 2

25、x 2 )e 23933)d 2 (x)dx22e 12 2xd dx32x42 (xxe(254x329 3x 23)1e2x253( 8 5x 318 3x)42( 4x 2把ddx2可见， (x)1 2x212 2x23e7 2 )(233xx)7 2 ) (x)(x) 代入式左边，得左边7272222 d 2 (x)2dx22x(x)(x)4x2(x)222 x 2 (x)(x)(x)12 2x2(x)2224x(x)22x(x)222x 2 (x)22x(x)3 dxe (2 x习题 2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中运动，其势能为3 x) ，是线性谐振子的波函数，其对应的能

26、量为 7 (n3)。2V(x) 1 2x 2 qEx2求谐振子的能级和波函数1解：V(x) 122x2qEx1212 2(xqE ) 22)22 q2E2 22定解问题为:22 d 2 dx2E22 (xqE )22)22 q2E2 2(xqE2)(xqE2)(),222(E 2q2E22 )方程可改写为dd22 ( 2)结果为： n (x) Nne222 (x qE2 )Hn(xqE2 )En(n 12)222q2E22,n0,1,2,3习题 2.12 一粒子在一维势阱V(x)(x2x2 (x0)0)中运动, 利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。解：因 n (0) 0 ，故n只能取奇

27、数 n=2k+1波函数：2x22k 1(x) N2k 1eH 2k 1( x)3能级为E2k 1(2k 3),k 0,1,2,32习题 2.13 在势垒贯穿问题中，若入射粒子能量满足 E=V0，结果如何？直接求解；在式(2.13)和V(x)V0(2.14)中令EV0，并将结果与的结果进行比较。 解：直接求解：按照教材书上传统的方法讨论E=V0时粒子对势 垒的透射率。2 d 2 1E1(2dx2(1)2d 2 2V0 2 E 2( 0 x2dx2(2)2d 2 3E 3 (x a)2dx2在各区间波函数满足的定态Schr?dinger 方程为：0)a)(3)令 k12 2E ， k22 (E V

28、0 )，并且当E=V0时k2在x在0 在xd 2 1dx2d 2 2dx2d 2 3dx22k1k12x 0)a）30x a)0区域内，方程的解为： x a 区域内，方程的解为： a 区域内，方程的解为：1 Aeik1x Ae ik1x2 Bx B3 Ceik1x Ce ik10 ，于是上面三个方程变为：（4）（5）（6）（7）（8）（9）按照公式 （r,t） （r）e iEt ，定态波函数是 1, 2, 3再分别乘上一个含时间因子e i Et ，就得到向左或向右传播的平面波。由此很容易看出式（7）第一项是左向右传播的平面波，第二项是反射波，而在 x a 区域内由于没有由右向左运动的粒子，因而只应有向右传播的投射波，所以在式（9）中必有 C=0。再利用波函数及其微商在x=0点和xa 点的连续条件来确定波函数中其他的参数当x当x0时，0时，当x当xa 时，a 时，由1由 d 1 dx 由2 由 d 2 dx2 得： A d 2 得： dx3 得： Ba d3得： dxA Bik1A ik1A BBCeik1aik1Ceik1a联合10）到（13）式得到：11 i2 ak1 eik1a2E1 ia 21 2i a 2 2E10）11）12）（13）（14）故投射系数