TSP问的题目地解决方案设计

1、算法设计与分析实验报告学号：日期:20161230姓名：得 分：、实验内容：TSP问题、所用算法的基本思想及复杂度分析：1蛮力法1）基本思想借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。首先构造距离矩阵，任意节点到自身节点的距离为无穷大。在第一行找到最小项a1j，从而跳转到第j行，再找到最小值ajk，再到第k行进行查找。然后构造各行允许数组rown=1,11，各列允许数组 colablen=0,1,1.1，其中1表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经 被访问。如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。程序再 发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次访问

2、这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会 返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。2）复杂度分析基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有 个点，则计算的次数为 nA2-n。T(n)=n*(n-1)=0(nT)。2、动态规划法1) 基本思想假设从顶点s岀发，令d(i, V表示从顶点i岀发经过 V是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到岀发点s的最短路径长度。推导：(分情况来讨论) 当V为空集，那么d(i, V 表示从i不经过任何点就回到 s 了，如上图的 城市3-城市0(0为起点城市)。此时d(i, V )=Ci就是城市i到城市s的距离)、如

3、果V不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。d(i, V )=minCik +d(k, V -)注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V -k)是一个子问题。综上所述，TSP问题的动态规划方程就岀来了：2) 复杂度分析和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性 O (n!)的 排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。3、回溯法1)基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点(根结点)出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成 为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结

4、点。这个新结点 即成为新的活结点，并为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不 能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回 移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为 0，然 后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对 应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子 树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，贝U回溯到当前结点的

5、父节点。 采用邻接矩阵mpnn存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递 参数，将数组mp设置为全局变量，设数组xn表示哈密顿回路经过 的顶点。2）复杂度分析在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件 xi!=xj（1=l,jv=n,i!=j）,则可能解应该是（1,2,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。当找到可行的最优解时， 算法停止。根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为O （n!）。4、分支限界法1）基本思想分支界限法以广度优先或以最小耗费 （最大效益）优势的方式搜索问 题的解空间树。问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和

6、排列树。在搜索问题的解空间树时，分支界限法与回 溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方式不同。在分支界限法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一 旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中， 导致不可行解或导致非最优解得儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加 入活结点表中。算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队 列。堆中每个结点的子树费用的下界Icost值是优先队列的优先级。接着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用 min out记录。如 果所给的有向图中某个顶点没有出边， 则该图不可能有回路，算法即 告结束。如果每个顶点都有出边，则根据计算出的

7、 min out作算法初 始化。2）复杂度分析目标函数（限界函数），lb分为三部分，第一部分是经过路径的长度 相加的2倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加（不在 已知路径上的），加上第三部分除了路径上节点，矩阵中两个最短的 距离相加，最后这三部分和相加，得到的结果除以2便是每个节点的 限界值。由于限界函数的不同，下界为 0 （n）,上界为0 （25）,智 力特定指出。三、源程序及注释：1、蛮力法int main（）int i,j,s=O;int *a;printf（” 输入节点个数：n）;scanf（%d,&n）;printf（ 输入%d维对称矩阵：n,n）;colable=(int

8、*)malloc(sizeof(int)*n);colable0=0;/对各列允许矩阵进行赋值for(i=1;in;i+)colablei=1;row=(int *)malloc(sizeof(int)*n);for(i=0;in;i+)rowi=1;a=(int *)malloc(sizeof(int*)*n);for(i=0;in;i+)ai=(int *)malloc(sizeof(int*)*n);for(i=0;in;i+)for(j=0;j%dn,i,j);s=s+aij;i=j;printf( 最短总距离为：%dn,s);int min(int *a)int j=0,m=a0,k

9、=0;while(colablej=0|rowj=0)j+;m=aj;/求最短距离for(;j=aj)m=aj;/m 始终保持最短距离k=j;return k;2、动态规划法int init()int i;int j;int t;if(sca nf(%d, &n )=EOF) return -1;for(i=0; in; i+)for(j=0; j n; j+)if(i=j)con ti nue;scan f(%d, &gij);memset(c on ,-1,sizeof(c on);for(i=0; in; i+)biti=1i;t=1;for(i=1; in; i+)con t(i-1)

10、i=gOi;return 1;int getc on (i nt s,i nt k)int t,tt;int i;int mi n=INF;if(con sk!=-1)return con sk;t=s&(bitk-1);for(i=1; i0)if(getc on( t,i)+gik n)if(graphroad n1!=INF&(a ns+graphroad n 1)besta ns)besta ns=a ns+graphroad n1;for(i nt j=1;j=n ;j+) bestroadj=roadj;elsefor(i nt j=1;j=n ;j+)if(graphroadi-

11、1j!=INF &an s+graphroadi-1jbesta ns& !visj)roadi=j;an s+=graphroadi-1j;visj=1;backtrack(i+1);/改回辅助的全局变量an s-=graphroadi-1j;visj=0;int mai n()memset(graph,INF,sizeof(graph);cinnm;for(i nt i=1;i ab;cin graphab;graphb a=graphab;vis1=1;road1=1;/假设是从1开始backtrack(2);coutbesta nse ndl;for(i nt i=1;i=n ;i+)

12、 coutbestroadi cout1e ndl;4.分支限界法void in()scan f(%d, &n);for(i nt i=1; i=n; i+)for(i nt j=1; j=n; j+)if(i=j)mpij=INF;con ti nue;scan f(%d, &mpij);struct nodein t visp22;标记哪些点走了int st;/起点int st_p;起点的邻接点int ed;终点int ed_p;终点的邻接点int k;走过的点数int sumv;/经过路径的距离int lb;/目标函数的值bool operator p .lb;priority_queu

13、e q;in t low,up;int in q22;/确定上界int dfs(i nt u,i nt k,i nt I)if(k=n) return l+mpu1;int minlen=INF , p;for(i nt i=1; impui)/*mi nle n=mpui;p=i;in qp=1；return dfs(p,k+1,l+mi nle n);int get_lb( node p)int ret=p.sumv*2;路径上的点的距离int mi n仁INF,mi n2=INF;起点和终点连出来的边for(i nt i=1; impip.st)mi n1=mpip.st;ret+=mi

14、 n1;for(i nt i=1; impp.edi)mi n2=mpp.edi;ret+=mi n2;for(i nt i=1; i=n; i+)if(p.vispi=0)mi n仁min 2=INF;for(i nt j=1; jmpij)mi n1=mpij;for(i nt j=1; jmpji)mi n2=mpji;ret+=min 1+m in2;return ret%2=0?(ret/2):(ret/2+1);void get_up()in q1=1;up=dfs(1,1,O);void get_low()low=0;for(i nt i=1; i=n; i+)/*通过排序求两个

15、最小值*/in t min 1=INF,mi n2=INF;int tmpA22;for(i nt j=1; j=n; j+)tmpAj=mpij;sort(tmpA+1,tmpA+1+ n);对临时的数组进行排序low+=tmpA1;int solve()/*贪心法确定上界*/get_up();/*取每行最小的边之和作为下界*/get_low();/*设置初始点，默认从1开始*/node star;star.st=1;star.ed=1;star.k=1;for(i nt i=1; i=n; i+) star.vispi=0;star.visp1=1;star.sumv=0;starb=lo

16、w;/*ret为问题的解*/int ret=INF;q.push(star);while(!q.empty()node tmp=q.top();q.pop();if(tmp.k=n-1)/*找最后一个没有走的点*/in t p;for(i nt i=1; i=n; i+)if(tmp.vispi=O)p=i;break;int an s=tmp.sumv+mpptmp.st+mptmp.edp;node judge = q.top();/*如果当前的路径和比所有的目标函数值都小则跳出*/if(ans = judge .lb)ret=mi n(an s,ret);break;/*否则继续求其他可

17、能的路径和，并更新上界*/elseup = min (up,a ns);ret=mi n( ret,a ns);con ti nue;/*当前点可以向下扩展的点入优先级队列*/node n ext;for(i nt i=1; i=n; i+)if(tmp.vispi=O)n ext.st=tmp.st;/*更新路径和*/n ext.sumv=tmp.sumv+mptmp.edi;/*更新最后一个点*/n ext.ed=i;/*更新顶点数*/n ext.k=tmp.k+1;/*更新经过的顶点*/for(i nt j=1; jup) continue;q.push( next);return ret;四、运行输出结果:(1 )蛮力法输入节点个数t4输入曉维对称矩阵：帧3 23 1H 1 4V 1 ltttl 77 4 7 1 曲 访问路径;H-3访间路径*3一1诋问険 讶问跻径J2最短总距离为：畑Fre*?skey t cunt Inue(2)动态规划法SB