4.1比例线段(3)

1、4.1 比例线段（3） 黄金比为 互-0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和 2 联系. 1. 已知线段a=4, b=16,线段c是a, b的比例中项，那么 c等于（B）. A.10B.8C.-8D. 8 2 2. 已知C是线段AB上的一个点，且满足 AC=BC AB则下列式子成立的是（B）. 3. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女 士身高160cm,下半身长与身高的比值是 0.60 ,为尽可能达到好的效果， 她应穿的高跟鞋的 高度约为（D）. A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm 4. 已知P, Q是线段A

2、B的两个黄金分割点，且AB=10cm则PQ长为（C）. A.5 （5-1 ）B.5 （ .5+1）C.10 （ . 5 -2 ）D.5 （ 3- 5. 如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且 PA PB如果S表示以PA为一边的正方形的 面积，S2表示长为AB宽为PB的矩形的面积，那么 S与S2之间的大小关系是（A）. p （第 5 题） A.S1=S2B.S1 S2C.Sv sd.不能确定 （第 7 题） .離憧上部嘅部讥丄r G卜為|嘅部以卜）的 奇湮壬比尊丁下部与仝 部的高度I匕 6. 已知线段a=9，c=4,如果线段b是a，c的比例中项，那么 b= 6 . 7. 为了弘扬雷锋精神，某中学

3、准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征 集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图 所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度 应设计为 1.24 m （精确到0.01m，参考数据21.414，. 31.732，. 52.236） 8. 已知C是线段AB的黄金分割点，且 AC BC, BC=3- . 5，则AB的长为 2. 9. 已知C, D是线段AB的黄金分割点，AB=10,求线段AC与 CD的长. ；.；匸 点（第9题） 【答案】 C, D是线段 AB的黄金分割点， AC= 5 1 AB=5 .

4、5 -5 , BD1 AB=5、. 5 2 2 -5. AD=ABBD=15-5 - 5 . /. CD=ACAD=5、5-5- （15-5、5 ） =105-20. 第6页 (第 10 题) 10.如图1所示为一张宽与长之比为 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形 图2所示的折叠方法进行折叠， 折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF和一个矩形EFDC 那么矩形EFDC还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下：四边形 ABEF是 正方形， AB=DC=AF AB AD 即F是线段AD的黄金分割点. FD = AF ;51 AF

5、AD 2 FD DC 51. 矩形EFDC是黄金矩形 2 11.乐器上的一根琴弦 AB=60cm两个端点 A, B固定在乐器板面上，支撑点 C是AB的黄金 分割点（AC BC）,则AC的长为（C）. A. ( 90-30 , 5 ) cm B. (30+30 .5 ) cm C. (30 . 5 -30 ) cm D. (30 . 5 -60 ) cm 12.如图所示，P为线段AB的黄金分割点（PB PA）,四边形AMNB四边形PBFE都为正方形， 且面积分别为 S, S.四边形APHM四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S, S.下列说法 中，正确的是（B）. A.S2= B. S2=S3

6、C.S3= 2 1S4 D.S4=-1 s 2 F j (第 12 题) 13.已知线段 AB及AB上一点 P, P为AB的黄金分割点.给出下列结论: 2 AP=AB- PB AP= AB; PB=35 AB; 2 2 PB 2 AB 51 :=.其中正确的是（A）. AP 2 A. B.C. 14. 顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形 个内角相等，则图中的黄金三角形有20 D. .如图所示， 个. 五边形 ABCDE的5条边相等，5 15. （1 ）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段 AP BP AB分成两条线段 AP和BP,且一一=，点P就是线段 AP, PB,使 AP PB,点

7、P把线段 PA AB的黄金分割点，此时 的值 AB AP AB （2）如图所示，在 Rt ABC中，/ B=90 , AB=2BC现以点C为圆心、CB长为半径画弧交 边AC于点D,再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边 AB于点E.求证：E是线段AB的黄金 分割点 【答案】 （第15题） (2)设 BC=a 贝y AB=2a AC= .一 5 a.由题意得 CD=BC=a 二 AE=AD= 5 a-a , BE=AB-AE=3a-5 a. AE = J51 AB 2 BE AE 也.A = B，即e是线段AB的黄金分割点 2 AB AE （第 16 题） 的直径，点 连结 OE DE=12AB

8、OD=2 16.如图所示，AB是OO 线AB和OO于点D, E, （1）求/ CDB的度数. （2） 我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形 它的腰长与底边长的比（或 C在OO上，/ BOC=108，过点 C作直线CD分别交直 者底边长与腰长的比）等于黄金比 .5 1 2 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由 求弦CE的长. 在直线AB或CD上是否存在点P （点C, D除外），使 POE是黄金三角形？若存在，画出 点P,简要说明画出点 P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由. 1 【答案】（1） IAB 是OO 的直径，DEAB,. OA=OC=C=DE.则/EODM C

9、DB / OCEH OEC. 2 设 / CDB=x ,贝U/ EOD=x ,/ OCEH OEC=2x：/ BOC=108, /CDBH OCD=10 . x+2x=108, x=36 . CDB=36 . （2）有三个： DOE COE COD.OE=DE / CDB=36 , DOE 是黄金三角形. OCOD 1 . v OD=2 OC=、5-1. CD=OD=2 DE=OC= 5 -1. 2 CE=CDDE=2- ( . 5 -1 ) =3- 5 . 存在，有三个符合条件的点Pl, P2, P3，如答图所示，以 0E为底边的黄金三角形：作 0E的垂直平分线分别交直线 AB，CD得到点P

10、i, P2;以0E为腰的黄金三角形：点 P3与点 A重合. 51 17. 【山西】宽与长之比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富 2 的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD，BC的中点E，F，连结EF;以点F为圆心、FD为半径画弧，交 BC 的延长线于点G;作GH丄AD，交AD的延长线于点H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是 (D). (第17题) A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGH D.矩形DCGH 18. 【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中 到处可见黄金

11、分割的美 如图所示，线段 AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点(AP1 V BP1 )，点P2是线段AP1 的黄金分割点(AP2 V P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3 V P2P3)依此类 3 推，贝U APn的长度是()n . 2 (第18题) AC bc 19. 如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若= ，点C为线段AB的黄金分割 AB AC 占 八、 某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线I将一个面 积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2,如果 = ，那么称直线I为 S S1 该图形的黄金分割线. 如图2所示，在 ABC中，D是AB的黄金分割点. (1) 研究小组猜想：直线 CD是厶ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3) 研究小组探究发现： 过点C作直线交AB于点E，过点D作DF / CE，交AC于点F， 连结EF (如图3所示)，则直线EF也是 ABC的黄金分割线请你说明理由. (第19题) AD AB BD AD 【答案】(1)直线CD是厶ABC的黄金分割线.理由如下：T D是AB的黄金分割点, 直线CD是厶ABC的黄金分割线 - 三角形 AB边的中点