动点问题练习含标准答案

1、动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD BC， B=90， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动， 如果 P， Q分别从 A，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。当 t=时，四边形是平行四边形； 6当 t=时，四边

2、形是等腰梯形 . 81)当度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为当度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为2、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ， N 为对角线 AC 上任 意一点，则 DN+MN 的最小值为 53、如图，在 Rt ABC 中， ACB 90， B 60， BC 2点 O是 AC 的中点，过 点O的直线 l从与 AC重合的位置开始， 绕点 O作逆时针旋转， 交AB边于点 D过点C作CE AB交直线 l于点 E，设直线 l的旋转角为2)当90时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由B解：（1） 30

3、，1；60，1.5；（2）当 =900时，四边形 EDBC 是菱形 . =ACB=90 0， BC/ED . CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形 在 RtABC 中， ACB=90 0， B=600,BC=2, A=300.1 ACAB=4,AC=2 3. AO=2 = 3 .在RtAOD 中， A=300， AD=2.BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形4、在 ABCM(1)当直线(2)当直线(3)当直线 关系，A中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于M C M1 的位置时，求证C ： ADC CE

4、B ；N2 的位置时，求证：3 的位置时，试点B图1C 旋转到图CMN 绕点加以证明 .BA图 2 1 / N7DE=AD-BE ； 、AD、BD，请写出这个等量BD图3N=AD BE ；BE 具有怎样 A解：(1) ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ， CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又 AC=BC ACD CBE CE=AD ，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时， D

5、E=BE-AD( 或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE， 又 AC=BC ， ACD CBE ， AD=CE ，CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上， 张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD是正方形， 点 E 是边 BC的中点 AEF 90 ，且 EF交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 AME ECF ，所以 AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图

6、2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B，C外）的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点E是 BC的延长线上（除 C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：（1）正确 证明：在 AB上取一点 M ，使 AM EC，连接 ME BM BE BME 45，AME 135CF 是外角平分线， DCF 45，ECF 135AME ECF AEB BAE 90， AEB C

7、EF 90，BAE CEF AME BCF （ASA）（2）正确 证明：在 BA的延长线上取一点 N使 AN CE，连接BN BE N PCE 45 四边形 ABCD是正方形，AD BEDAE BEA NAE CEF ANE ECF （ASA）AE EF 6、如图 , 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 方向以 1个单位 /秒的速度移动，设 求（1） PAB为等腰三角形的 t值；（2） PAB为直角三角形的 t 值；（3） 若 AB=5 且 ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB 为直角三角形的 t值如果不正确，请说明理由图1AE EF NENADDB C E GMB 外一点

8、,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 P 的运动时间为 t.AB E C G 图2D3,动点B P从图M3 沿射C 线E G7、如图 1，在等腰梯形 ABCD中， ADBC，E是 AB的中点，过点 E作 EFBC交CD于点 F AB 4， BC 6 ， B 60 .求：（ 1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点， 过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EP x.当点 N 在线段 AD上时（如图 2），PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说明理由；当

9、点 N在线段 DC上时（如图 3），是否存在点 P，使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由解（ 1）如图 1，过 点 E 作EG BC 于点 G E 为 AB的中点， 1BE AB 22在RtEBG中， B 60 ， BEG 30 BG 12 BE 1，EG22 1即点 E 到 BC 的距离为 3（2）当点 N 在线段 AD 上运动时， PM EF ，EG EF， PMPMN 的形状不发生改变 EG EF BC， EP GM，PMEG 3 同理 MNAB 4CG如图 2，过点 P作 PH MN 于 H MN AB，NMC B 60 ， PMH13

10、0 PH PM23 MH PM cos30 则2NH MN MH 4 32C图1图2在 RtPNH 中， PNNH 2 PH 2 PMN 的周长 =PM PN MN 3 7 4当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形 当 PM PN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NR3类似， MR MN 2MR 3 MNC 是等边三角形， MC MN 32此时， x EP GM BC BG MC 6 1 3 2图3图4GM图5当MP MN 时， 如图 4，这时MC MN MP此时， x EP GM 6 1 3 5 3当 NP NM 时，如图 5

11、，NPM PMN 30 则PMN 120 ，又MNC 60 ， PNM MNC 180 因此点 P与F重合， PMC为直角三角形 MC PM tan30 1 此时， x EP GM 6 1 1 4综上所述，当 x 2或 4或 5 3 时， PMN 为等腰三角形8、如图，已知 ABC中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB的中点（1）如果点 P在线段 BC上以 3cm/s的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA 上由 C点向 A 点 运动若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q的运动速度与点 P的运动速

12、度不相等， 当点 Q的运动速度为多少时， 能够使 BPD与CQP全等？（2）若点 Q以中的运动速度从点 C出发，点 P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P与点 Q 第一次在 ABC的哪条边上相遇？ 解：（1） t 1秒， BP CQ 3 1 3 厘米， AB 10 厘米，点 D 为 AB 的中点， BD 5 厘米又 PC BC BP， BC 8厘米， PC 8 3 5 厘米， PC BD又 AB AC BPD CQP vPvQBP CQ ，又BPD CQPBC ，则 BP PC4， CQ BD 5 ，点P ，点 Q 运动的时间点BPt33 秒，设

13、经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，vQ CtQ由题意，得80 3 80P共运动了 3 厘米 80 2 28 24，80经过 3 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇15154厘米 /秒。80xx 3x 2 104 ，解得 3 秒点 P、点Q在 AB边上相遇，9、如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形， 点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、 F 不与 BC D 重合1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF ；2）当点 E、F 在 BC CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF 的面积是否发生变

14、化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值答案】 解：（ 1）证明：如图，连接 AC四边形 ABCD 为菱形， BAD=120， BAE+ EAC=60， FAC+EAC=60， BAE=FAC。 BAD =120， ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。 ACF =60， AC=AB。 ABE=AFC 。在 ABE 和 ACF 中， BAE=FAC，AB=AC， ABE=AFC， ABE ACF （ ASA）。 BE=CF。2）四边形 AECF 的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF，则 SABE=SACF。作 AH BC 于 H

15、 点，则 BH=2，1S四边形AECF S ABC 2S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是 定值。BC AH 1BC AB2 BH2 4 3 。2边 AE 最短由 “垂线段最短 ”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，故 AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形 AECFSAEF 4 3 21 2 3 2 3 2 3 2 3 。 CEF 的面积的最大值是3 。【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定

16、和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】 （1）先求证 AB=AC，进而求证 ABC、 ACD 为等边三角形，得 ACF =60，AC=AB，从而 求证 ABE ACF，即可求得 BE=CF 。（ 2）由 ABE ACF 可得 S ABE= S ACF，故根据 S 四边形 AECF=SAEC+SACF =SAEC+SABE=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 AEF 的面 积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 根据 SCEF=S四边形 AECF

17、 SAEF， 则 CEF 的面积就会最大。10、如图，在AOB 中，AOB=90 ，OA=OB=6 ，C为 OB上一点，射线 CDOB 交AB 于点 D，OC=2 点 P 从点 A 出发以每秒 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速 度沿 CD 方向运动， P、Q两点同时出发，当点 P到达到点 B 时停止运动，点 Q也随之停止过点 P作 PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形 PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边 MN OB，且 MN=QC 设运动时间为 t（单位：秒）（1）求 t=1 时 FC 的长度（ 2）求 MN=PF 时 t 的值（3）当QMN 和矩形 PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与 t的函数关系式（4）直接写出 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值相似形综合题（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再将 t=1 代入求出 FC 的长度；（2）根据 MN=PF ，可得关于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解； （3）分三种情况：求出当 1t 2时；当 2t 时；当 t3时；求出重叠（阴影）部分图形面 积S与 t的函数关系式；（4）分 M在 OE上；N在 PF上两种情况讨论求得 QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公