专题15与极值点偏移有关的恒成立问题(解析版)

1、备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇专题十五与极值点偏移有关的恒成立问题一、问题指引极值点偏移的含义f (2m x)，则函数f (x)关于直线x m对众所周知，函数 f(x)满足定义域内任意自变量 x都有f(x)称；可以理解为函数 f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x m必为f (x)的极值点.如二次函数f (x)的顶点就是极值点 X。，若f (x)c的两根的中点为凶x2，则刚好有25 / 281 + 如函数g(x)x的极值点Xo 1刚好在方程g(x) x0，即极值 点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移2若相等变为不等，则为极值点偏移

2、：若单峰函数f (x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x m左侧的任意自变量 x都有f (x) f (2m x)或f (x) f (2m x)，则函数f (x)极值点m左右侧变化快慢不 同.故单峰函数f (x)定义域内任意不同的实数 ,x2满足f(xj f (x2)，则也 x2与极值点m必有确定2的大小关系：若m e x2，则称为极值点 左偏；若m xi x2，则称为极值点 右偏.2 2c的两根中点 昼 x2的左边，我们称之为 极值点左偏21 1们简单计算：0也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移21. 若函数f(X)存在两个零点X1,x2且X1 X2，

3、求证：X1 X22X0 ( Xo为函数f(x)的极值点)；2. 若函数f(x)中存在X1,X2且X1X2满足f(xj f(X2)，求证：X1 X2 2Xo( Xo为函数f(x)的极值点);3. 若函数f(x)存在两 个零点X1,X2且X1 X2，令Xo冷 2，求证：f(Xo) 0 ；4. 若函数f (X)中存在X1 ,X2且X1X2满足f(Xj f (X2)，令Xo为 空，求证：f(Xo) 0.2二、方法详解(一 )基本解法之对称化构造【例1】已知函数f (x) xe X(x R).(1)求函数f(x)的单调区间和极值； 若X1 X2，且f(X1) f(X2)，证明：X1 X2 2.【解析】容

4、易求得第 问：3)在上单调遼増衽(人换上单塢递减 CM)的极值是/(=-. e第 = /(1十Q ffl 0 = (1十葛“虫 (1 Re说，则尸仗)=珂*-萨宀1为0时；F(r)M 巩力在Q七)上单调递協 X(O) = 07 /. r(x)os sn/a+x)y(i-y)-T Xi 疋可,不妳殳西 VJCp 由(1) |D x- 1,.f)=) = fll + (x2-l) /1-(- 1)1 = /(2-)I x2 1 ,. 2 x2 1 , f(x)在(,1)上单调递增， 2 x2 ,. x1 x2 2【评注】该题的二问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化

5、构造的全过程，直观展示如下：f x2，X1X2，证明 X1X22.例1是这样一个极值点偏移问题： 对于函数f x xe x，已知f为再次审视解题过程，发现以下三个关键点:C1)捲,X2的范围0% 1X2 ；(2)不等式 f x f 2 x x 1 ；(3 )将X2代入(2 )中不等式，结合 f X的单调性获证结论.小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1 :求导，获得f x的单调性，极值情况，作出f x的图像，由f & f X2得X1 , X2的取值范围(数形结合)；2 step2:构造辅助函数(对结论X1X22xo，构造F x f x f2xox ；对结论X1X2

6、Xo , 构造F x f x f 直)，求导，限定范围(x1或x2的范围)，判定符号，获得不等式；Xstep3:代入X1 (或X2),利用f洛 f X2及f x的单调性证明最终结论.下面给出第(3)问的不同解法【解析】法一：f (x) (1 x)e x，易得f (x)在(，1)上单调递增，在(1,)上单调递减，x时,1 f(x), f(0)0, x时，f(x) 0,函数f(x)在x 1处取得极大值f，且f-,e如图所示由 f(xjf (X2), X1X2，不妨设X1X2，则必有0X11 X2，构造函数F(x) f(1X) f(1 X),x (0,1，则 F (x)f(1 X)X2xf (1 X

7、)x 1 (e1)e0 ,所以F(x)在x(0,1上单调递增，F(x)F(0) 0，也即f(1x)f(1x)对x (0,1恒成立.由0x11X2，则1 X1(0,1，所以 f(1(1 xj)f (2X1)f(1(1 X1)f (X1)f (X2)，即f(2x1)f (X2):，又因为 2 X!, X2(1,)，且 f(x)在(1,)上单调递减，所以2X1X2，即证X1X22.法二：欲证x1X22，即证X22 X1，由法-知0 洛1X2，故 2 x1,X2(1,)，又因为f (x)在(1,)上单调递减，故只需证f(X2) f (2 xj，又因为f(xjf(X2)，故也即证f(xjf(2 xj ,

8、构造函数H(x) f (x) f (2 x), x (0,1)，则等价于证明H (x) 0对x (0,1)恒成立.1 x由 H (x) f (x) f (2 x) (1 e2x 2)0，则 H(x)在 x (0,1)上单调递增，所以eH(x)H(1)0，即已证明H(x)0对x(0,1)恒成立，故原不等式X1X22亦成立.法三：由 f (X1)仏)，得X1e xx2eX2X2 X化简得eX2,X1不妨设X2X1，由法一知，0 X11X2 .令 tX2X1，则t0,X2tX1,代入式，得t etX1X1反解出tX1te则 x-i x2 2x1t2tt e-t，故要证:X-IX22 ,即证:2t t

9、 et12,又因为11et10,等价于证明：2t (t 2)(et1)0，构造函数G(t)2t(t2)(et 1),(t0)7 / 281则 G(t) (t 1)d1,G (t) tet 0,故G (t)在t (0,)上单调递增，G (t) G (0)0，从而G(t)也在t (0,)上单调递增,G(t) G(0)0，即证 式成立，也即原不等式 X! X22成立.法四：由法三中 式，两边同时取以e为底的对数，得X2x,In 空 In x2x-,In x2 In x,In x-,也即 -X2Xi从而X,X2/、In x2 In x,(XiX2)-X2X1X2Xi|门翌X2X,X,X2XiXi构造M

10、(t)又令(t)恒成立，故1)，则欲证:(t 1)l nt(1XiX22,等价于证明:t 1nlnt 2，t2 i2tlnt,(t 1)，则(t)0，(t)在 t (1,t (1,)上单调递增，由洛比塔法则知:12tI ntt(t2 ，1)2(t1 Int),由于t 1Int对t (1,)(t)(1) 0，从而M(t) 0 ,故M (t)在1)I nt:1.(t Iim-X 1(1)I nt) t 1)IimIn ttt1)2，t(t)(t) 2t 2(l nt 1)上单调递增，所以tlim M(t) limX 1X 19 / 28即证M(t) 2，即证 式成立，也即原不等式x,x22成立.【

11、点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的【类题展示】已知函数f (X) (X2)eXa(x1)2有两个零点x-x.证明：x,X22.【解析】由/二（工2府十贰工1几 得r,w=（x-ix+2a）J可/w在（y.d上单调递咸在（1乜）上单调递増.要使的数y =用）有两个零点羽冬，则必须应丸 法一:构造部分对称酗頁妬设西町在，由单谓性知西w（m 可E1*TO）,所以2-eeyc,又V Ax）在（TO.D单调逛减J故曼证：逝+电=2等价于证明：=又

12、丁血2_形）=_毛5 +0p 1严，且孑（西）=化20： +疏孔1尸=0J（2 花）呼1F-僱-2W 构造跚如=-1一（工论g（lg）,由里调性可证， 此处略”19 / 28法二：参变分离再构造差量函数，由已知得:fX1fX20 ,不难发现x11 ,x21 ,故可整理得:x 2 ex丁，则 gx1gx2xi 2 eX2 2 e2a2厂，设g xXi1X21那么g x2x 21 x rr3 e ,当 x 1 时，g x x 10，g x递减；当x 1时，g x0，g x递增.设m 0，构造代数式:零e1m与e1m山評1mmm 1设 h m 也 e2m 1，m 0 则 h m m 12m22m 1

13、2m e0，故h m单调递增，有h m因此，对于任意的m 0， g 1m g 1 m .由g间上，不妨设X1X2，则必有X11 x2 令 m1Xg 11 Xg11 xg 2 X1gX1g因此：g 2X1g X22 X1X2整理得：XX2法三：参变分离再构造对称函数xig x2可知x、x2不可能在g x的同一个单调区0，则有X2，而2为1，x2 1，g x在1,上单调递增，2法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数f(x)的不对称故希望构造一个关于直线X = 1对称的函数威 ,使得当Ml吋,为XE办结合图象易证原不等式成立【解答】由/(x)=fr-2x + O(x-l)3l r(jd=x-1X+

14、2,故希望构造一个型数F(Xh使得尸(力=4IX* +如)(兀1) + 2卫) = (1)(/ 环 J从而F&)在(中,1)上单谓递憎在a十眄上单调递増，从而构造出貞血=(卄血产一厅+ C (左为任竜常数片眉因为我们希望F7 而/故取F从而达到目的.故如響少-S设的两个零点为召:S结合图象可知：jq X. 1 Xj x+所以再+ p码+斗=2丿即原不等式得证-法五：利用対数平均”不等式参变分离得:a (2 Xl)弓(In (x2 1)2ln(2 xj ln(2 x2)2(X2 1)(2 X1) (2 X2) X2)e：，由a 0得，捲1 x? 2,(Xi 1)(x? 1)“、,(2 x1),

15、(2 x2)将上述等式两边取以 e为底的对数，得ln2 X1 In2 X2,(X11)(X21)化简得：In(x11)2 ln(x21)2 ln(2 x1) In(2 x2) x1 x2，2 2故 1 ln(X1 1)ln(X2 1) ln(2 xj ln(2 X2)2(X11) (X2 1)晋X1 X2X1 x2由对数平均不等式得：ln(2 -xj-ln(2-X2)(2 Xi)(2 X2)ln (Xi-1)2-l n( X2-I)22 2(Xi 1)2 (X21)22(2 Xi) (2 X2)，(Xi 1)2 (X21)2从而12(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)2(2 X1)(

16、2 X2)2(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)4 (X1 X2) X1 X224 (X1 X2)2(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)x1 x2 24 (X1 X2)等价于：02( X x2 2)x-i x2 2(X1 1)2 (X2 1)24 (Xi X2)(XX22)(Xi21)2 化 1)214 (Xi X2)由(Xi1)2 (X2 1)2 0,4 (XiX2)0，故 XiX22，证毕.(二)含参函数问题可考虑先消去参数【例2】已知函数f (X)In x ax，a为常数，若函数f (x)有两个零点X!, x2，试证明：x1 x2 e2.【解析】法一：消参转化成无参数

17、问题：f (x)0 In x ax In x aelnx， xx?是方程 f (x)0 的两根，也是方程 In x aenx 的两根，则 In xi,1 n x2是 x aex，设 uiIn Xi,u2 Inx2，g(x) xe x，则 g(uj g(U2)，从而XiX2e2In x-iIn x22ui U22，此问题等价转化成为例1,下略.法二：利用参数 a作为媒介，换元后构造新函数:不妨设XiX2 ,/ In x-i ax10,In x2ax20 In x In x2a(x1 x2),In x-i In x2 a(x.| X2),In 论 In x2XiX2a ,欲证明X1X22e，即证

18、In XiIn X22.In x-iIn x2 a(x1 x2)，二即证 a2x-ix2原命题等价于证明In x-i In x2212，即证:x-i x2x1 x2In 2X1X22(Xi X2)X1 x2X-I,(t1)，构造X2glnt牛吕讥1，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略法三：直接换元构造新函数:In x-iIn x2x1x2In x2In x1生,设 xiX2,t 罕(t 1)，则 X2tXi,咚x)x-iIn x-iIn t In x1In x-iI n +反解出：In x1,In x2t 1In tx1In t In 为IntIntt 1tIntt 1故 x-x2e2

19、In x In x22t 1Int 2，转化成法二，下同，略t 1【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x-i, x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。【类题展示】设函数 f(x) a2x - 2a I n ax(a 0)，函数f (x)为f(x)的导函数，且xA(x-, f (x-), B(X2, f (X2)是f (x)的图像上不同的两点，满足f(x-) f (X2) 0，线段AB中点的横坐标为Xo，证明：axo 1.【解析】 ax0 12X1 X2 -2 aX-X2

20、，又依题意f (x)得f (x)在定义域上单调递增，所以要证axo1,只需证f (X2)(a 1)2 0，xf (X-)f (- X2)，a即f (2aX2)f(X2) 0，不妨设X-X2，注意到1f( ) 0a，由函数单调性知,11有 X-, X2aa构造函数F(x)f (- x) f (x)，则 F (x) a(X) f2(x)a4( ax 1)3x2(2 ax)2(x)0，即F(x)单调递减，当x1时, aF(x)F(-)0，从而不等式 式成立，故原af (x2)0,求证：西 ae.X2不等式成立【类题展示】已知函数f(x) x eax(a 0) ,若存在 X1 , X2 ( X1 X2

21、 )使 f (x1)In xIn y【解析】函数的零点等价于方的实根，(x)=XX求导可虬 煮力在上单调递增在杠)上里调递减,竄力咖二)二2_(i) T证：0-o=(.() = -.rfl)He)e二当(r)为増函数,閔)二粼臥eIn x営龙E-,令h(a) =-oln a=(a 0) 2求导由换0的单调性可得油(吃忘=K) =- -，故不等式吃In a a -丄即证， 2 2也即原不等式畫(A)v 口成立.a*二当代4罚时，a=有一解，记为勺x再证 Xlae. v XlaXl-aXk，而 0为 e x , In x?1，二 凶-aXk空ae.证毕.x2x2ax2In x2x2In x21【类

22、题展示】已知函数 f(x) x aex有两个不同的零点Xi,X2，求证： x2 2.【解析】因为函数f (x)有两个零点x1, x2，所以X1X1 ae1X2(1)x2 ae2(2)由(1)不妨设(2)得：X1X2a(eX1eX2)，要证明X1 X2 2，只要证明a(e1X1X2得：x1X2a(ee如)，即a-，即证(X1e eX2)e e X| x2 ee2X1X2，记 tX1 X2，则 t o,g1,因此只要证明:再次换元令t In x，即证 Inx(1,构造新函数F(x) Inx，F(1)0，求导 F(x)x 14(x 1)2ex2)x(x 1)2(Xi2(etteex1 X2X2)ee

23、0,得 F(x)在(1,递增，所以F(x) 0，因此原不等式x1 x22获证.(三)对数平均不等式a b2我们熟知平均值不等式：a,b Rab即调和平均数”小于等于 几何平均数”小于等于 算术平均值”小于等于 平方平均值等号成立的条件是a b.(2)我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式:以下简单给出证明：a bln a In ba b, ab ,、ab-In ab a bIn b 2不妨设a b，设a bx，则原不等式变为:J)1In xx 1【例3】设函数f(x) ex ax a(a R),其图象与x轴交于A(Xi,O), B(x2,0)两点，

24、且为x2.(I)求实数a的取值范围；(i)证明：f CxxT) 0( f (x)为函数f(x)的导函数)；【解析】(i) f (x) ex a , x R，当a 0时，f (x) 0在r上恒成立，不合题意当a 0时，易知，x In a为函数f (x)的极值点，且是唯一极值点，故，f(x)min f (In a) a(2 In a)当f (x)min 0，即0 a e2时，f(x)至多有一个零点，不合题意，故舍去；当f (x)min 0，即a e2时，由f (1) e 0，且f (x)在(，In a)内单调递减，故f (x)在(1,In a)有且只有一个零点；由f (Ina2) a22aInaa

25、 a(a12Ina),2令 y a 1 2I na,a e2，则 y 1 0,故 a12I na e21 4 e230a所以f (I na2) 0,即在(I na,2ln a)有且只有一个零点.(I)由(I)知，f (x)在(，ln a)内递减，在(In a,)内递增，且f (1) e 021/28所以1In a x2 2ln a，因为f(Xi)eX1 ax1 a 0， f (X2) eX2 ax2 a 0eX1aX11XX1 1ee1e -，即卩-一1X11X2X21e 2，所以1X2(X11) (X21)ln( X! 1) In(x21) -(X1 l)(X2 1)所以X-|X2(Xi X

26、2)0，要证:0，只须证e巫 a，即NX?In a故，X|X2Xix2 ln(x2 1)所以 2 . x2x2 In(N 1)(x2 1)，所以 ln(NX2x2)1)X1X22、NX2因为 x1x2 (x1 x2)0，所以 In(X!X2 (x1 x2) 1) ln1 0，而 x22、x20所以 In(x1x2 (x1 x2) 1) x1 x2 2 x1x2 成立，所以 fC/x?)【评注】根据 对数平均不等式 求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出In X1 Inx2及X1 X2，二、通过等式两边同除以In x1In X2构建对数平均数X|X2In x1In x2三、利用

27、对数平均不等式将X1X2In x1In x2转化为空X2后再证明x2 2x02(或 X1X22X0).两种方法各有优劣，适用的题型也略有差异【类题展示】已知函数f X在点1, f处的切线与直线X y 10(1)试比较20162017与20172016的大小，并说明理由;(2)若函数g x f x k有两个不同的零点 X1,X2，证明:X1 ?X2【答案】(1)2016201720172016(2)见解析27 / 28【解析】试题分析：(I)求出f 的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，艮呵得到切线的斜率和切 点坐标，进而f(x)的解析式和导数，求岀单调区i孔可得f(2011(2017),即可得

28、到加啊T与201 的大M(II)运用分析法证明，不妨设X!xi0,由根的罡义可得所以化简得lnxLd电血氐-0.可得 lnxi-lnxi=k (xj+3u Inx：- lnxz=lc(xi -x：),妾证明，f 即证明 lnxiHnx2,也就：E leg-Q2 求出k,亂证1些1吒令乞=f，则CH即证】n土二II 令h=1时-竺二IIjq +Xj x.r+1r+1(I1X求出导数判断单调性，即可得证.试题解析:1C 又由切线方程可得x a , Inx(1)依题意得f x x，所以x a即1Inx1，解得a 0，此时f x ”，xInx2 ，x令f X0，即1 Inx 0，解得0x e ;令 f

29、x 0，即 1Inx0，解得x e所以f X的增区间为0,e，减区间为e,f 2016f 2017In2016In 20172017 In 20162016201720162017 ，2UI6In2UI7，(2)证明:不妨设x1 x2 0因为gXg X20所以化简得Inx1kx10，Inx2 kx2可得Inx1Inx2 k x x2 ，Inx-iInx2k x-iX2 .a0InInx22，也就是k2201720162要证明X1X2 e，即证明xX2因为kInx-i Inx2X-| x2，所以即证Inx1X1，令XiX2Inx2x2x1 x2即证IntInt1)，由故函数h1,是增函数，所以0

30、，即 Int2 t 1得证.所以x1x2e2【类题展示】已知函数 f(x)In x ax(2 a)x.(I)讨论f (x)的单调性;(Il)设a 0，证明：当0-时,a1f( x)a1f ( x)；a(Ill)若函数yf (x)的图像与x轴交于代B两点,线段AB中点的横坐标为x0，证明：f (沧)0.(III)由 f (X1)f (X2) 0InIn :x1In x22(X1 X2)a(x；故要证f (X0)cX10X0X222 2X1X2x1x2x1X2【解析】(I)( II)略,21a2In x1In x2 2(x1x2)2X2x1 ax12(2 a)XiIn x22ax2(2 a)x2

31、0根据对数平均不等，此不等式显然成立,(四)极值点偏移之一题多解【例4】已知f x XIn X mx22(e为自然对数的底数).解法一：齐次构造通解偏移套路证法1:欲证X1X2e2，需证In X1xiX2)aIn x12X1In x2 2(x-| x2)2X2x1x2x21In xiIn x2故原不等式得证x1X2In x1In x2X1X2有两个极值点2X1, X2，且 X1 X2,求证：X1X2 eInX2有两个极值点x-1 , x2，即函数x有两个零点又fInx mx，所以，x1 , x2是方程0的两个不同实根.于是，有InInx-i mxi x2 mx2(0，解得mIn 捲 In X2

32、x1x2另一方面，由In x1In x2X 0，得 InX2In/ m X2%，从而可得In x2In x1X2X1In 论 In x2X1X2于是，In为 In x2In x2In x1x2x1X2XX1X1X1X2又 0x-ix2，设t ，则t 1 .因此,X1In x-iIn x2要证In X!In x22,即证：t 1 Int t 11 即:2 t 11时，有Int 2 t 1 设函数t 1Int2 t 1 , t 1，则 h t t 12t 121所以,为1.上的增函数.注意到,0，因此,曰是,2 t 11时，有Int所以,t 1In X22成立,X x2X29 / 28解法二变换函

33、数能妙解2证法2:欲证X1X2e ,需证In X1In X22 .若f x有两个极值点x- , X2 ,即函数f x有两个零点.又x Inx mx，所以，X1 , X2是方程f x0的两个不同实根.显然 m 0,否则，函数单调函数，不符合题意由In x1 mx-)0In X2 mx20In x-iIn x2 m x1X2 ,即只需证明加（叫+ X；） 2即可即只需证明耳+叫一-左:憫皆岀恋二郭轴帶 m知eV亠0 f故百（刘在工mx）0 丄；T, Bg(x)g = 0 , 3R/F(x) W2由于f (x)=丄即=xr，故/V）在；q4-|TJ討屮-设叼花，令茸=耳则门叼）f （西）W-解法三构

34、造函数现实力证法3:由x1, x2是方程f x0的两个不同实根得 mIn x,g X1X2，由于2设1x1x2，需证明X-|X22e，只需证明X20,e，只需证明f X1X2f x2，即ff x 在 e,解法四证法4:k t1X2X2X2来源:微信公众号中学数学研讨部落1,e2 2In x e xr2x e0，故 h x1,e，故0，即fX1 ,x2x1因为X2 ,X1e, ,2 e，即X1X2巧引变量（一）设 t1 In x10,1 ,In x21,，则由In x1In x2mx1mx2t1me1t2 met1t2et1t2，设t20，则 t1kek厂，t2k .欲证x1x2e 1=止卩十

35、J -2（O） r= 2 -e*41 ,Jc= 2 ,即噩证 In + In X. 童 V证.解法五巧引变量（二）证法5:设 t1 ln x10,1 , t2Inx21, ，则由In x-i m%In x2 mx2t1 t2t1met2me2t1t2t2，设ti0,1 ,则 t,kIn kt2 k 1In k 欲证 x1x2e2,需证 In x11ln x2即只需证明t1t22,即 k 1 Ink 2k 12 k In kk 1In k0，设 g kk 1In k0,1 ，131 / 280 ,故g k在0,1 ，因此g k g 10，命题得证.，求证:【类题展示】已知函数f(x) x2 (a

36、 2)x alnx，若方程f(x) c有两个不相等的实数根【S?析】证明；法一；由= -(a-2)x-ataxj a2)xa(2xa)x 1)十3故只有2 0时，方程f(X)=才有两个不彳睜的弟1根*/不妨设西 5，贝t)7满足彳-(2)码心耳=cI (a 2)x. _&ln.工=”两式相;凰得：XJ3 (住一2)珂一口111珂一好+3 2孔+flln JCj =0西+ln曲一在_ In七欲证：f津 空)0 f(a)，结合f (x)的单调性，即证： 凶 生 a2 2 2 2222 互 2等价于证明：X1X22x1X222x2 inl2x12x2x1 In x x2 In x2x2x1 x2x1

37、 X2令t 互,(0 t 1)，构造函数g(t) Int 2t 2,(0 t 1)，求导由单调性易得原不等式成立, X2t 1法二：接 后续解：由 得：(X1 X2)(X1 X2) (a 2)( X! X2) al n 互 0X2即;5+却-3-2)-_=0忑由羁亀八匕2亠一旦2旳-延 旳+花2A-1)亠Qn玉适 F)二亠3巴-芒) 西一吃 吃 吗+花 五两 花 鱼+X,萝证：f土 MO一眄一 Jtj构造函数m(t) Int1)，求导由单调性易得 m(t) 0在t(0,1)恒成立,又因为a 0,捲 x2Xi20成立.法三：接后续解：视xi为主元,设 g(x)In x In x2x x24X2(

38、x X2)20，再结合a 0,Xi X20，故f(宁)0成立法四：构造函数h(x)/ a 、f(x)2,a f(-2x),(0 x则h (x)f (| x)f(fX)4x2A、/ a 、(2X)(- X)则g(x)在x (0,X2)上单调递增，故g(x) g(X2)037 / 28a0，即 f(a x)2/ a 、f(x)2a从而h(x)在(0,)上单调递增，故h(x) h(0)2a对x (0,)恒成立,2从而 f(x) f (aa、x),(0 x -)，则仏)2f (xjf(ax1),由 X2,a 捲(a,2a),且 f(x)在(-,2)单调递增，故冷a为，x0,则卩一口工+1王0#.x 令

39、，(力 0则(2-fl)x+l0, /. x0i 当口 A郎寸，令兀)X0,贝|(2时工+1三0,芷喳丄应一 2令/(x)0,则(2-应)工十 1综上；当阳2时，y = (x)在,+-W上里lliH希增当CT 凸2丿J =在姜上单调递増当0 A 2対,$=貞对在;T上单调递壇在HD I上单调递减.-2 a x(2). f x In xeax2 Inx2 a x ax (x 0) f x2x 1 ax 1当a 0时,x 0,yg x 在 o,上单调递增，与直线 y m不可能有两个交点，故 a 0 x 0 ,则 Ox1 ；令 fx a0，则x 1，故yag x在0,丄上单调递增，在a1x2 , a

40、要证122f x00,需证ax0 1 0，即证X。Xx2X2Xaaa又fX1f X2 ，所以只需证f x1f2X ,即证：当0 x1时，aaf -x f x 0 .设 Fxf xf XIn2 axIn ax2 ax2 ,aa单调递减.不妨设 A x1, m , B x2 ,m，且0 x1f x222 ax 10 , F xf -x!,a则 F x 1 2a2 ax xx 2 ax21-x f x在0,上单调递减,aa1211又 Fff 0，故 Fxaa aax f x 0，原不等式成立. a2、已知函数2 _xlnx ax x a a R在其定义域内有两个不同的极值点（1 ）求a的取值范围.（

41、2）2 x的两个极值点为X1,X2，证明X2 e1【答案】（1）a 0 (2) 2e见解析【解析】试題分析：1极値点转化再导函数零嵐Eninx+2ax = 0在（Qz）有两个不同很变量分离为In yI tlY,利用导数可得在（o卫）上单调减，在値炖）上单调増，根協趙势可得函数 2xlx-导在（）上范劭L在（爲+00）上范围为（斗=0、因此要有两解，需 制用导数证明不等式关漣是构造怡当的函数：咒厲用等价于in码十I吒2 0&厲+帀）曲,而由靄点可得& -一代入化简得*兀,令乞二f,则血J ，因此掏造匡1数旺+花x1r+ 1呦皿-芈卩利用导数求其最小值为詡）由于”所以命題得证试题解析：（1）依题意，函数f x的定义域为 0,，所以方程f x 0在0, 有两个不同根即方程lnx 2ax 0在0,有两个不同根转化为，函数g Xlnx与函数yX2a的图象在0,上有两个不同交点又g X1lnx，即0 xe时，g x 0,Xe 时，g x0 ,2 X所以gX在0