全等三角形压轴题及分类解析07774.

1、8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. (1)如图7,点0是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形 OCD,连结AC和BD，相交于点E，连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8, OAB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点0旋转 ( OAB和 OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.图7ACD =BE , AMN是等边三角形.2. 已知：点C为线段AB上一点， ACM,A CBN都是等边三角形，且 AN、BM相交于O. 求证：AN=BM 求/ AOB的度数。 若AN、MC相交于点P, BM、NC交于点Q,求证：PQ/ A

2、B。(湘潭中考题)同类变式：如图a,AABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE.线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2) 将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；(3) 若将图a中的 ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由(1) 当把 ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD二BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时,AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证

3、明，若不是，请说明理由.图9图10AB = AC , AD = AE ,同类变式：已知，如图所示，在厶ABC和 ADE中， .BAC =/DAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD 的中点.(1) 求证： BE 二 CD : AM = AN ；(2) 在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到 图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立 AA图图4.如图，四边形 ABCD四边形 AEFG匀为正方形，连接 BG与 DE相交于点H(1) 证明： ABG 也 ADE;(2) 试猜想 BHD的度数，并说明理由；(

4、3)将图中正方形 ABC哦点A逆时针旋转(0 Z BAEv 180 ),设厶ABE勺面积为0 , ADG勺面积为S2，判断3与S2的大小关系，并给予证明.C5已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB边上的点D作DG / BC，交AC于点G , 在GD的延长线上取点 E，使DE =DB，连接AE, CD .(1) 求证： AGE DAC ；(2) 过点E作EF / DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断 AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1. 如图， ABC中，/ ACB = 90, AC = BC , A

5、E是BC边上的中线，过 C作CF丄AE，垂 足为F，过B作BD丄BC交CF的延长线于 D .求证：(1) AE = CD ;(2)若 AC= 12 cm，求 BD 的长.E2. (西安中考)如图 ， 已知 ABC中,/ BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线,且B、C在A E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E 。图(1)图(2)图(3)(1)试说明：BD=DE+CE.若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系 如何？写出结论，可不说明理由。3. 直线CD经过 BC A的顶点C, CA=CB. E、F分别是直线CD上两点，且BEC

6、CFA :.(1)若直线CD经过.BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1,若 NBCA=90：,No( =90，贝U EFBEAF (填 “a”“” 或号);则.与.BCA应满足的关如图2,若0.- BCA ： 180 ,若使中的结论仍然成立,系是;(2) 如图3,若直线CD经过.BCA的外部， ：二-BCA,请探究EF、与BE、AF三条 线段的数量关系，并给予证明.图1图2图3考点2:利用角相等证明垂直1. 已知BE, CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系ACB= 90, AD是BC边上的中线,E 图92. 如图，在等腰

7、Rt ABC中，/ ACE=90, D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF/ AC交DE的延长线于点 F,连接CF.(1) 求证：CD=BF求证：ADL CF;连接AF,试判断 ACF的形状.拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三角形, 过C作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDE.(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？)3. 如图1，已知正方形 ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC .（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;（2）将正方形DEFG绕点D按顺

8、时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC 你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4. 如图1， ABC的边BC在直线1上，AC _ BC,且AC二BC, AEFP的边FP也 在直线I上，边EF与边AC重合，且EF =FP（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2） 将EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将 EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交 AC的延长 线于点Q,连结AP

9、, BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置 关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1等腰三角形性质的应用1.如图，. ABC 中，AB =AC , - BAC =90 , d 是 BC 中点，ED _ FD , ED 与 AB 交于 E， FD 与 AC 交于 F .求证：BE 二 AF , AE 二 CF .2. 两个全等的含30 , 60角的三角板ADE和三角板ABC ,如图所示放置，E,A,C三点在 一条直线上，连结 BD，取BD的中点M ,连结ME,MC 试判断EMC的形状，并说 明理由.C压轴题拓展：（三线合

10、一性质的应用）已知Rt.lABC中，AC =BC , C =90 , D为AB边的中点， EDF =90 , /EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线） 于 E、F .1当.EDF绕D点旋转到DE _ AC于E时（如图1）,易证S.def - Scef二SAbc .当.EF 绕 D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，SDeF , S.CEF，SAbC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图1图2提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3. 已知：如图， ABC 中，/ ABC=45,

11、CD 丄 AB 于 D, BE 平分/ ABC,且 BEX AC 于 E,1与CD相交于点F, H是BC边的中点，连结 DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=_ BF2CE与BC的大小关系如何。考点2:等腰直角三角形(45度的联想)1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A, B重合)，另一条直角边与/ CBM 的平分线BF相交于点F.如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE, EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的

12、数量关系是 ; 请证明你的上述两猜想. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点 N,E BH14-2使得NE=BF，进而猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系并证明A E B M014-12. 在 RtMBC 中，AC= BC,Z ACB= 90 D 是 AC的中点，DG丄 AC交 AB 于点 G.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，点 F在线段DG上，且DE=DF,连结EF与CF,过 点F作FH丄FC,交直线 AB于点H. 求证：DG=DC 判断FH与FC的数量关系并加以证明.（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点 F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借

13、 助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知： ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A,且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合）, 斜边与/ ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时CO猜想AE与EF满足的数量关系是 .连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 .请证明你的上述猜想;四、角平分线问题1.如图：E在线段 CD上，EA EB分别平分/ DAB和/ CBA, / AEB=90

14、,设AD= X, BC= y ,且 X,y 满足 X2 y2 -6x-8y 25=0(1 )求AD和 BC的长；(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3) 你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ ACB是直角，/ B=60, AD、CE 分别是/ BAC / BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2) 如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，

15、而中的其它条件不变，请问，你3. (北京市中考模拟题)如图，在四边形 ABCD中，AC平分/BAD，过C作CE _ AB于E ,1并且AE (AB AD)，则.ABC . ADC等于多少？4. 如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.FD五、中点问题1.在厶ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F ,交AC的平行线BG于点G。 DE _ GF ,并交AB于点E .连结EG .（1）求证：BG =CF ；（2）请猜想BE CF与EF的大小

16、关系，并加以证明2.如右下图，在- ABC中，若/B =2/C，AD _ BC，E为BC边的中点.求证:AB=2DE .3.已知 ABC中，AB =AC , BD为AB的延长线，且的中线求证CD =2CE （提示：倍长中线试试）BD =AB , CE 为：ABC 的 AB 边上附加思考题：（此题有很好地思维训练价值， 值得深入思考探究） 以厶ABC的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt.lABD和等腰Rt.lACE , ZBAD /CAE =90 连接DE , M、N分 别是BC、DE的中点.探究： AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当lABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；

17、线段AM与DE的数量关系是;将图中的等腰Rf ABD绕点A沿逆时针方向旋转 二（0:：:90 ）后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.E图NAE1.判断与说理(1) 如图 11 1, ADE 中，AE=AD 且/ AED=/ ADE,/ EAD=90 , EC DB 分别平分 / AED /ADE,交AD、AE于点C B,连接BC.请你判断AB AC是否相等，并说明理由；(2) ADE的位置保持不变，将 ABC绕点A逆时针旋转至图11 2的位置，AD、BE相交于0,请你判断线段 BE与CD的关系，并说明理由.2 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： 如图12-

18、1，在正三角形 ABC中，M、N分别是 AC、AB上 的点，BM与CN相交于点 0,若/ B0N = 60,贝U BM = CN. 如图12-2,在正方形 ABCD中，M、N分别是 CD、AD上 的点，BM与CN相交于点 O,若/ B0N = 90,贝U BM = CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比.的思想又提出了如 下的命题： 如图12-3，在正五边形 ABCDE中，M、N分别是 CD DE 上的点，BM与CN相交于点 O,若/ BON = 108,贝U BM = CN.(友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等)(1) 请你从、三个命题中选择一个 说明理由；(2) 请你继续完成下

19、面的探索： 如图12-4，在正n边形(n6中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交 于点O,问当/ BON等于多少度时，结论 BM = CN成立？(不要求证明) 如图12-5,在正五边形 ABCDE中，M、N分别是 DE、AE上的点，BM与CN相交 于点O,当/ BON = 108时，请问结论 BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请说明理由.解：(1)我选.(仅填写、中的一个)D图 12 5理由如下：(2)3.如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90, AD是BC边上的中线，过 C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F。请你猜想/ ADC和/ B

20、DE关系，并证明你的猜想。图94. 如下几个图形是五角星和它的变形.AE(1) 图 中是一个五角星形状，求/A+Z B+Z C+Z D+Z E=(2)图中的点 A向下移到 BE上时(如图)五个角的和(即Z CAD+Z B+Z C+Z D+Z E) 有无变化？说明你的结论的正确性；(3) 把图中的点 C向上移动到 BD上时(如图)，五个角的和(即Z CAD+Z B+Z ACE+ZD+Z E)有无变化？说明你的结论的正确性.(4) 如图，在 ABC中，CD BE分别是AB AC边上的中线，延长 CD到F,使FD=CD 延长BE到G,使EG=BE那么AF与AG是否相等？ F、A G三点是否在一条直线

21、上？说说你 的理由5、操作实验:图(1)图(3)如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.所以 ABDA ACD,所以Z B=Z C.A归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等. 根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图(4),在厶ABC中，AB=AC.试说明/ B=Z C的理由.探究应用：如图(5) , CB丄AB,垂足为 A, DA丄AB,垂足为 B. E为AB的中点，AB=BC,图(5)CE! BD.(1) BE与AD是否相等？为什么？(2) 小明认为 AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。(3) / DBC与

22、/ DCB相等吗？试说明理由.6. 如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE _ EF , BE =2.(1 )求EC : CF的值；(2) 延长EF交正方形外角平分线 CP于点P (如图13-2)，试判断AE与EP的大小关系, 并说明理由；(3) 在图13-2的AB边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEP是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由.图 13-1图 13-27. 团体购买某 素质拓展训练营”的门票，票价如表(a为正整数)“CD状，并说明理由.团体购票人数15051 100100以上每人门票价a元（a,、元(a_6)元某

23、中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加 素质拓展训练营”活动，其中高一（1） 班人数不超过50,高一（2）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购 票，两班总计应付门票费 4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了 100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。8. 如下图，在 ABC中，AD平分/ BAC, AB+BD=AC则/ B ：/ C的值为9. 如左下图

24、，AB/ CD, AD/ BC, OE=OF则图中全等三角形的组数是A. 3B. 4C. 5D. 610. 两个全等的含 30, 60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结 BD,取BD的中点M，连结 ME, MC.试判断 EMC的形11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为。利用刻度尺在/ AOB的两他的画法对吗？ 请你按照小明的画法，画出图形，说明理由 边上分别取OC= OD连结CD利用刻度尺画出 CD的中点E画射线OE射线OE即为/ AOB 的角平分线。（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、.画直角、画出一个角的平分线的画法。（要求：画出图形；简要说明画法；说明理由。）12. （1、如图（1）,正方形 ABCD中，E为边CD上一点，连结 AE,过点 A 作AF丄AE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图（2）,在（1）的条件下，连结 AC,过点A作AM丄AC交CB的延长线于 M，观 察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题： 王师傅有一块如图所示的板材余料，其中Z A=Z C=90, AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；