1.1.7柱、锥、台和球体的体积(张)

1、1.1.7柱、锥、台和球 体的体积 1.了解祖了解祖暅原理及等体积变换的意义暅原理及等体积变换的意义 2掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们 的体积的体积 复习回顾复习回顾 1.正方体的体积公式正方体的体积公式 V正方体正方体=a3(这里这里a为棱长为棱长) 2.长方体的体积公式长方体的体积公式 V长方体长方体=abc(这里这里a,b,c分别为长方体长、宽、高分别为长方体长、宽、高) 或或V长方体长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高分别表示长方体的底面积和高) ha 2 1 S a h a h a h 等底等高的三角形面积相等等底等高的三角形面

2、积相等等面积法：等面积法： 祖冲之（祖冲之（ 公元公元429年年公元公元 500年）是我国杰出的年）是我国杰出的数学数学 家家，科学家。南北朝时期人，科学家。南北朝时期人， 汉族人，字汉族人，字文远文远。生于宋文。生于宋文 帝帝元嘉元嘉六年，卒于齐昏侯永六年，卒于齐昏侯永 元二年。其主要贡献在数学、元二年。其主要贡献在数学、 天文历法和机械三方面。天文历法和机械三方面。 祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题， 得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作， 提出提出“幂势既同则积不容异幂势既同则

3、积不容异”，即等高的两立体，即等高的两立体， 若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积 相等，这就是著名的相等，这就是著名的“祖暅原理祖暅原理” （或刘祖原理）。（或刘祖原理）。 祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积 公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学 家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的 儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。 等底面积、等高的两个柱体

4、是否体积相等？等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？ 体积相等体积相等 等高、等截面面积（不受截面形状影响）等高、等截面面积（不受截面形状影响） 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？关系？ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 1 3 1 1 () 3 SSSS h S S x h s s hx x ss sh x xSxhSV 3 1 ) 3 1 （ 台 xSSxSh 3 1 3 1 3 1 xSSSh)(

5、3 1 3 1 )( 3 1 3 1 ss sh SSSh )( 3 1 3 1 shssSh)( 3 1 ssssh V柱体=sh) ( 3 ssss h V 台 shV 3 1 锥 S=S/S/ =0 S S S S 数数 形形 3 4 3 R 实验: 给出如下几何模型给出如下几何模型 R R 球的体积证明：球的体积证明： 步骤步骤 拿出圆锥 和圆柱 将圆锥倒立放入 圆柱 结论结论:截面面积相等截面面积相等 R 则两个几何体的体积相等则两个几何体的体积相等 取出半球和新的几何体做它们的截面 R R R RRRR 22 3 1 3 3 4 RV 球 球 V 2 1 球的体积计算公式： R 球

6、面球 RSRSRSRSVR 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 321 3 2 4 RS 球面 S1 探究 球的表面积：球的表面积： A D C B C/ D/ B/A/ C A/ D/ D S h 1 2 111 326 ShSh 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 V )(2956 3 mm)(956. 2 3 cm 5 3 3 3 2 1 1 5 1 8 1 16 1 32 1 2 V 1 3 V 1 4 V 2 3 V 3 55 2 3 3 V 3 544 3 hSV 柱体 hrV 2 圆柱 hSV 3 1 锥体 hrV 2 3 1 圆锥 ）（ 台体 SSSShV 3 1 ）（ 圆台 22 3 1 rrrrhV hSV 长方体 祖暅原理祖暅原理 柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积 小结小结 1.本节主要在