1.1直线的倾斜角和斜率

1、1 2 问题情境问题情境 直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形 飞逝的流星沿不同飞逝的流星沿不同 的方向运动的方向运动 在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线 3 问题情境问题情境 确定直线的要素确定直线的要素 问题问题1： (1) _确定一条直线确定一条直线. 两点两点 (2) (2) 过一个点有过一个点有_条直线条直线. . 无数条无数条 确定直线位置的要素除了确定直线位置的要素除了点点之外之外,还有还有 直线的直线的方向方向,也就是直线的也就是直线的倾斜程度倾斜程度. . . . x y o y xo 一、直线的倾斜角 1、直线倾斜角的定义： 当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作

2、为基准， X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角倾斜角 注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。 x 0 y p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为0 2 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索 由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为： )180,0 oo 6 问题情境问题情境 楼梯的倾斜程度用楼梯的倾斜程度用坡度坡度来刻画来刻画 1.2m 3m 3m 2m 坡度坡度= 高度高度 宽度宽度 坡度越大，楼梯越

3、陡坡度越大，楼梯越陡 7 级宽 高 级 建构数学 直线倾斜程度的刻画直线倾斜程度的刻画 高度高度 宽度宽度 直线直线 x y o P Q M 直线的倾斜程度直线的倾斜程度= 类比思想类比思想 2 3 2 o 2 - y x 2、直线的斜率 定义：定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率 通常用通常用k表示，即：表示，即： tank ), 2 () 2 , 0 a 0,), 2 , 2 (,), 2 0,);k ;k斜率 不存在 (,0).k 倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线

4、的斜率也 不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度 9 纵坐标的纵坐标的 增量增量 x y o 11 ( ,)P x y 22 ( ,)Q x y 21 yy 21 xx 已知两点已知两点 P(x1， ，y1)， ， Q(x2， ，y2)， ， 如果如果 x1x2， ，则直线则直线 PQ的的斜率斜率 为：为： 12 12 xx yy k 建构数学 直线斜率的定义直线斜率的定义 x y y x 横坐标的横坐标的 增量增量 请同学们任意给出两点的坐标请同学们任意给出两点的坐标, 并求过这两点的直线的斜率并求过这两点的直线的斜率. 形形数数 10 建构数学 问题问

5、题5：直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？ k0 x p y O （1） . kk3k1 13 1.1.斜率为斜率为2 2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1(3,5),(a,7),(-1，b)b)三点，则三点，则 a,ba,b的值为的值为( )( ) 直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。 1 1 l 12 ll 1 l 2 l 解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为 000 2 1203090 3 3 tan 11 k 1 l 2 l 2 l3tan 22 k o x y 2 l 2 1 l 1 _11)4( _10)3( _

6、135,45)2( _60,451 .3 的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角， 的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角， 的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率 的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率）（ ，斜斜率率为为的的倾倾斜斜角角为为已已知知直直线线 k k k k kl )3, 1 ), 1)1,( 45,0 )180,13545,0 16 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(mR)R) 的直线的直线l的斜率的斜率k的取值范围。的取值范围。 问题问题10： 直线斜率的大小与直线的倾斜程直线斜率的大小与直

7、线的倾斜程 度有什么联系？度有什么联系？(课后研究课后研究) 解解: 02 2)13123( 2 mm k 2 1 2 11123 2 mm 2 1)2(3 2 m 2 1 )2( 2 3 2 m 由斜率公式得直线由斜率公式得直线l l 的斜率的斜率 2 1 kk的的取取值值范范围围为为 17 难点展示难点展示： 例题一：直线例题一：直线 l 过点过点M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以P(-P(- 2,2)Q(3,3)2,2)Q(3,3)为两端点的线段为两端点的线段PQPQ有公共点有公共点, 求直线求直线 l 的斜率的取值范围。的斜率的取值范围。 例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K

8、的变化范围为（的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。 分析：分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也 不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况 讨论。讨论。 当当K （ 1，0）时）时, ), 4 3 ( 当当K 0，1 时，时， 4 ,0 解：解： 直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1， 所以直线的倾斜角范围为所以直线的倾斜角范围为 ), 4 3 ( 4 ,0 练习练习),5|(|, 5 cosa a 满足已知直线的倾斜角

9、 .求该直线的斜率 解解: ;,90, 0cos,0) 1 ( 0 不存在时当ka ), 0, 5|,0)2(aa时当 , 5 25 25 1sin 22 aa . 25 cos sin tan 2 a a k ;0,在时所求直线的斜率不存当所以a . 25 0 2 a a a 时所求直线的斜率为当 推导二推导二: y o l x 1 P 2 P P 的方向如图设向量 21P P ),(, 121221 yyxxPP则向上 , 21P POP 过原点作向量 ),( 1212 yyxxP的坐标为则点 ,tan 12 12 xx yy k 由正切函数的定义得 . 12 的结果的方向向上时推得同样当

10、向量PP ),(. 121221 21 yyxxPP PP 为直线的方向向量 及与它平行的向量都称直线上的向量 练习：已知直线已知直线l的一个方向向量的一个方向向量 解：解： 2 3 2 3 k )3 ,2(v ，求直线的斜率。，求直线的斜率。 则直线的斜率为则直线的斜率为 : 2 3 k 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求直线，求直线 AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还 是钝角是钝角 ),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C 解：直线解：直线AB的斜率的斜率 ; 7 1 34 21 AB k ; 2 1 4 2 )4(

11、0 11 BC k 直线直线BC的斜率的斜率 直线直线CA的斜率的斜率; 1 3 3 30 21 CA k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐 角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 AB k0 CA k 0 BC k 求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角： 方法：先用经过两点的直线的斜率公式求方法：先用经过两点的直线的斜率公式求 斜率，斜率， 再求倾斜角。再求倾斜角。 0 AB k 0 BC k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐 角；由角；由 知，直线知，直

12、线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为锐的倾斜角均为锐 角；由角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 例例2的和求经过两点)(2 ,() 1 , 2( 21 RmmPP .,的取值范围的倾斜角并求出的斜率直线ll 解解:. 2,2) 1 ( 21 xxm时当 ; 2 倾斜角 ,因此直线的斜率不存在轴垂直

13、于直线xl , 2 1 ,2)2( m klm的斜率直线时当 , 0,2km时当 ). 2 , 0( , 0,2km时当 )., 2 ( 已知点已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点经过点P P的直线的直线l l 与线段与线段ABAB有公共点时有公共点时, ,求直线求直线l l的斜率的斜率k k的取值范的取值范 围围. . O x y . . . P A B 已知三点已知三点A(2,3),B(A(2,3),B(a a, 4),C(8, , 4),C(8, a a) )三三 点共线点共线, , 求求a a 的值的值. . 直线直线L L的倾斜角是连接（的倾斜角是连接（3 3，-5-5），（），（0 0， -9-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求）两点的直线的倾斜角的两倍，求 直线直线L L的斜率。的斜率。 已知直线已知直线 和和 的斜率分别是的斜率分别是 和和 ，求它们的倾斜，求它们的倾斜 角及确定两条直线的位置关系。角及确定两条直线的位置关系。 3 11 Ktg 3 3 22 Ktg 30,120 21 由图可知由图可知 2 l 1 l 3 3 3 解解: 1 l 2 l 120 30 21 ll Y OX 1 1、直线的倾斜角的定义、直线的倾斜角的定义 2 2、直线的斜率