1.2 应用举例—高度、角度问题

1、第2课时 解三角形的实际 应用举例 高度、角度问题 1.1.现实生活中现实生活中, ,人们是怎样测量底部不可到达的人们是怎样测量底部不可到达的 建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测 量飞机下方山顶的海拔高度呢？量飞机下方山顶的海拔高度呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题今天我们就来共同探讨这些方面的问题. . 2.2.在实际的航海生活中在实际的航海生活中, ,人们也会遇到如下的问人们也会遇到如下的问 题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向， 保持一定的航速和航向呢？保持一定的航速和航向呢？ 探究点探

2、究点1 1 测量底部不可到达的建筑物的高度测量底部不可到达的建筑物的高度 例例1 AB1 AB是底部是底部B B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A A为建筑为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度ABAB的方法的方法. . 分析：分析：如图，求如图，求ABAB长长 的关键是先求的关键是先求AEAE，在，在 ACEACE中，如能求出中，如能求出C C 点到建筑物顶部点到建筑物顶部A A的的 距离距离CACA，再测出由，再测出由C C 点观察点观察A A的仰角，就的仰角，就 可以计算出可以计算出AEAE的长的长. . 解解: : 选择一条水平基线选择

3、一条水平基线HGHG，使，使H H、G G、B B三点在同三点在同 一条直线上一条直线上. .由在由在H,GH,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A A的仰角的仰角 分别是分别是, ,CD=a,CD=a，测角仪器的高是，测角仪器的高是h h，那么，在，那么，在 ACDACD中，根据正弦定理可得中，根据正弦定理可得 asinasin AC =AC = sin（sin（-） AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+h asinasinsinsin =+h.=+h. sin（sin（-） 例例2 2 如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测

4、得地面上一点A A的的 俯角俯角 =54=544040，在塔底，在塔底C C处测得处测得A A处的俯角处的俯角 =50=5011 , ,已知铁塔已知铁塔BCBC部分的高为部分的高为27.3 m,27.3 m,求出求出 山高山高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m). 根据已知条件根据已知条件, ,大家能大家能 设计出解题方案吗？设计出解题方案吗？ 分析分析: : 若在若在ABDABD中求中求BDBD，则关，则关 键需要求出哪条边呢？键需要求出哪条边呢？ 那又如何求那又如何求BDBD边呢？边呢？ 解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+ +, , ABC=90ABC=90-

5、 -, , BAC=BAC=- -, , BAD=BAD=. .根据根据 正弦定理，正弦定理， BCABBCAB =，=， sin（sin（-） sin（sin（9090） BCsin（BCsin（9090）BCcosBCcos 所所以以AB =AB = sin（sin（-）sin（sin（-） 解解RtRtABD，ABD，得得 BCcBCc + + + + osossinsin BD = ABsinBD = ABsinBAD =.BAD =. sin（sin（-） 答：答：山的高度约为山的高度约为150150米米. . 把测量数据代入上式，得把测量数据代入上式，得 CD=BD-BC177.4

6、-27.3CD=BD-BC177.4-27.3150(m).150(m). . . sin54 sin50 sin54 si 140 401 140 177.4 39n 27.35027.350 = = 27.35027.350 coscos BDBD （5454） coscos = = 4 4 （m m） 思考思考: :有没有别的解题思有没有别的解题思 路呢？路呢？ 先在先在ABCABC中，中， 根据正弦定理求得根据正弦定理求得 AC.AC.再在再在ACDACD中求中求 CDCD即可即可. . 例例3 3 如图如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向正一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶西行

7、驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西在西 偏北偏北1515的方向上的方向上, ,行驶行驶5 km5 km后到达后到达B B处处, ,测得此测得此 山顶在西偏北山顶在西偏北2525的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 8, ,求此山求此山 的高的高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m). 解：解：在在ABCABC中，中，A=15A=15, , C= 25C= 25-15-15=10=10. . 根据正弦定理，根据正弦定理， CD=BCCD=BCtanDBCBCtanDBCBCtan8tan81 047(m).1 047(m). 答：答：山的高约为山

8、的高约为1 0471 047米米. . 正确转化为正确转化为 数学模型数学模型 si 7.452 4 n5sin15 sinsin10 A AB B = =， A AC C A AB BA A B BC C= = = C C （k km m） B BC C s si in ns si in n l 方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北 或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所 成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏 东（西）度. l 方位角方位角定义:从标准方向的北端起,顺时针方向到直 线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值 范围为0360。 探究点探究点2 2 测量角度

9、问题测量角度问题 例例4 4 如图，一艘海轮从如图，一艘海轮从A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向的方向 航行航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B,B,然后从然后从B B出发出发, ,沿北偏东沿北偏东 3232的方向航行的方向航行54.0 n mile54.0 n mile后到达海岛后到达海岛C.C.如果下次航如果下次航 行直接从行直接从A A出发到达出发到达C,C,此船应该沿怎样的方向航行此船应该沿怎样的方向航行, , 需要航行的距离是需要航行的距离是 多少多少?(?(角度精确到角度精确到 0.10.1, ,距离精确到距离精确到 0.01 n m

10、ile)0.01 n mile) 分析：分析：首先求出首先求出ACAC边所对的角边所对的角ABCABC，即可用余，即可用余 弦定理算出弦定理算出ACAC边，再根据正弦定理算出边，再根据正弦定理算出ACAC边和边和 ABAB边的夹角边的夹角CAB.CAB. 解：解：在在 ABCABC中，中，ABCABC18018075753232 137137，根据余弦定理，根据余弦定理， 根据正弦定理根据正弦定理, , sin BCBC sinsinsinsin ACAC = =， CABABCCABABC BCABCBCABC sin CAB=sin CAB= ACAC 22 22 2cos 67.554.

11、02 67.5 54.0 cos137 113.15 A AC C= = A AB BB BC CA AB B B BC CA AB BC C = = 0.325 5，0.325 5， 所所以以，CAB =19.0CAB =19.0 54.0si54.0si ， 7575 - n137n137 = = 1 1 CAB =56CAB =56 13.1513.15 .0.0. . 此此船船沿沿北北偏偏5 56 6. .0 0的的方方向向航航行行， 需需要要航航行行1 11 13 3. .1 15 5n n m m l l 答答 e e. . ： i i 应应该该东东 1.1.如图是曲柄连杆机构的示

12、意图，当曲柄如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CBCB绕绕C C点旋转时，点旋转时， 通过连杆通过连杆ABAB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CBCB0 0 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A A在在A A0 0处，处， 设连杆设连杆ABAB长为长为340mm340mm，曲柄，曲柄CBCB长为长为85mm85mm，曲柄自，曲柄自CBCB0 0按按 顺时针方向旋转顺时针方向旋转8080，求活塞移动的距离，求活塞移动的距离 （ 分析：分析：此题即此题即“已知在已知在ABCABC中，中，BCBC85 mm85 m

13、m， ABAB340 mm340 mm，ACBACB8080，求，求AAAA0 0 ” 解：解：如图如图, ,在在ABCABC中，由正弦中，由正弦 定理可得：定理可得： 为为为为锐锐 0.2462.0.2462. 因因BC AB,所BC AB,所以以BAC角BAC角，所所以以BAC14BAC141515 BCsinACBBCsinACB sinBAC =sinBAC = ABAB 8585sin80sin80 = = 340340 ， - （- （BAC+ABAC+A所所以以CB）CB） 8585B =18B =1845450.0. 又由正弦定理：又由正弦定理： 答：答：活塞移动的距离约为活塞

14、移动的距离约为81 mm81 mm 00 340 sin4585 0.984 8 344.3 ABAB C C sinsinACBACB = = （mmmm）. . A A （340+340+ A=AA=A 8585） C-ACC-AC = = -344.-344. （AB+BCAB+BC） -AC-AC 3 3 =80.7=80.7（mmmm） BsinBsin A =A = 解：解：如图，在如图，在ABCABC中，由余弦定理中，由余弦定理 得：得： 2.2.我舰在敌岛我舰在敌岛A A南偏西南偏西5050的方向上，且与敌岛的方向上，且与敌岛A A 相距相距1212海里的海里的B B处，发现敌

15、舰正由岛处，发现敌舰正由岛A A沿北偏西沿北偏西 1010的方向以的方向以1010海里海里/ /小时的速度航行问我舰小时的速度航行问我舰 需以多大速度、沿什么方向航行才能用需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 2小时追小时追 上敌舰？上敌舰？( (精确到精确到1 1） A C B 4040 5050 1010 所以我舰的追击速度为所以我舰的追击速度为1414海里海里/ /小时小时. . 222222 2222 BC = AC +AB -2ABBC = AC +AB -2ABACACcoscosBACBAC 1 1 = 20 +12 -2 = 20 +12 -2 12122020 （- ）- ）

16、 2 2 =784， =784， 所所以以BC = 28.BC = 28. 答：答：我舰需以我舰需以1414海里海里/ /小时的速度，沿北偏东小时的速度，沿北偏东 1212方向航行才能用方向航行才能用2 2小时追上敌舰小时追上敌舰. . ABC ACBC sinBsinA ACsinA5 3 si 38 50 -3812 nB BC14 B . 又在中，由正弦定理得： ， 故， 所 故航行的方向为北偏东 以 拓展：（拓展：（20132013江苏高考）江苏高考）如图，游客从某旅游如图，游客从某旅游 景区的景点景区的景点A A处下山至处下山至C C处有两种路径处有两种路径. .一种是从一种是从A

17、A 沿直线步行到沿直线步行到C C，另一种是先从，另一种是先从A A沿索道乘缆车到沿索道乘缆车到B B， 然后从然后从B B沿直线步行到沿直线步行到C.C.现有甲、乙两位游客从现有甲、乙两位游客从A A 处下山，甲沿处下山，甲沿ACAC匀速步行，速度为匀速步行，速度为50m/min.50m/min.在甲在甲 出发出发2min2min后，乙从后，乙从A A乘缆车到乘缆车到B B，在，在B B处停留处停留1min1min后，后， 再从再从B B匀速步行到匀速步行到C.C.假设缆车匀速直线运动的速度假设缆车匀速直线运动的速度 为为130m/min130m/min，山路，山路ACAC长为长为1 260

18、m1 260m，经测，经测 量，量， ， . . （1 1）求索道）求索道ABAB的长的长. . （2 2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距 离最短？离最短？ （3 3）为使两位游客在）为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 12 cos 13 A A 甲沿 3 cos 5 C C B A 解：解：（1 1）如图作）如图作BDCABDCA于点于点D D， 设设BDBD20k20k，则，则DCDC15k15k， ADAD48k48k，ABAB52k52k， 由由ACAC63k63k1 260m1 260m，知：，知：ABAB52k52k1 040m1 040m （2 2）设乙出发）设乙出发x x分钟后到达点分钟后到达点M M， 此时甲到达此时甲到达N N点，如图所示点，如图所示 则：则：AMAM130 x130 x，ANAN50(x50(x2)2)， 由余弦定理得：由余弦定理得：MN MN 2 2AM AM 2 2AN AN 2 22 AMANcosA2 AMANcosA 7 400 x7 400 x2 214 000 x14 000 x10 00010 000， 其中其中0 x80 x8，当，当x