求二面角方法——定义法

1、二面角1 定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大 小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要 是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问 题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为 q，则 cosq=ss射影三角形侧面三角形，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角 (大多数题是用三垂线法去找 ),然后借助于解三角形求出平面角 .现将二面角大小的

2、求法归 类分析如下：定义法 ：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性1.如图，四面体 abcd 的棱 bd 长为 2，其余各棱的长均是 2 ，求：二面角 abd c、bacd 的大小解析：(1)取 bd 的中点 o，连 ao、oc 在 abd 中，abad 2 ，bd2， abd 是等腰直角三角形， aobd，aa同理 ocbdeaoc 是二面角 abdc 的平面角。bbodd又 aooc1，ac 2 ，aoc90即二面角 abdc 为直二面角。(2)取 ac 的中点 e，连

3、 be、deabbc，addc，bdac，deac ， bed 就是二面角的平面角ccaa 3a( ) 6623 33 36在 bde 中，bede ，2由余弦定理，得 cosa =-132.在四棱锥 pabcd 中，abcd 是正方形，pa平面 abcd，paab ，求二面 角 bpcd 的大小。解：pa ab pa ad pb =pdab =ad =a，phpb =pdbc =dc dpbd dpdc pc =pc连结 dh 使 dhpc，过 b 作 bh pc 于 h ，ba dc故bhd 为二面角 bpcd 的平面角。 因 pb 2a ,bc ,pc ,1 1a2pbbc sdpbc

4、2 pcbh，则 bh 3 dh又 bd 2 a ，在bhd 中由余弦定理，得：cosbhdbh2+dh 2 -bd 2bh gbd2=2 2 a + a - 2a 6 62 a a 3 3=-122p2p又 0bhd，则bhd ，二面角 bpcd 的大小是 。3.三棱锥 abcd 中，bacbcd90，dbc30，abac 6 ，ad4，求 二面角 abcd 的度数。解：由已知条件bac90，abac，a设 bc 的中点设为 o，则 oaoc 3abc 2 3bcbocdd ad2=ao2+oc2+cd2-2ao cd cos q解之得： q=150o4.如图 ac面 bcd，bd面 acd

5、，若 accd1，abc30，求二面角 c -ab -d 的大小。解： cos q=33a3即所求角的大小为 arccos 。3（此题也可用垂线法）练习：1.已知四棱锥 p-abcd 的底面为直角梯形，abdc，cddab =901o,pa 底面 abcd，且 pa=ad=dc= ab=1，m 是2bpb 的中点。（）证明：面 pad面 pcd；（）求 ac 与 pb 所成的角；（）求面 amc 与面 bmc 所成二面角的大小。 方案一：（）证明：pa面 abcd，cdad，由三垂线定理得：cdpd.因而，cd 与面 pad 内两条相交直线 ad，pd 都垂直， cd面 pad.又 cd 面

6、pcd，面 pad面 pcd.（）解：过点 b 作 be/ca，且 be=ca，则pbe 是 ac 与 pb 所成的角.连结 ae，可知 ac=cb=be=ae= 2 ，又 ab=2，所以四边形 acbe 为正方形.由 pa面 abcd 得peb=90在 rtpeb 中 be= 2 ，pb= 5 ， cos pbe =be 10= .pb 5（）解：作 ancm，垂足为 n，连结 bn. 在 rtpab 中，am=mb，又 ac=cb， amcbmc,bncm，故anb 为所求二面角的平面角. cbac，由三垂线定理，得 cbpc， 在 rtpcb 中，cm=mb，所以 cm=am.在等腰三角

7、形 amc 中，anmc= cm 2 -(ac2) 2 ac ，23 2 an = =565. ab=2， cos anb =an 2 +bn 2 -ab 2 2=-2 an bn 322故所求的二面角为 arccos(- ).3方法二：因为 papd，paab，adab，以 a 为坐标原点 ad 长为单位长度，如图建立空 间直角坐标系，则各点坐标为1a（0，0，0）b（0，2，0），c（1，1，0），d（1，0，0），p（0，0，1），m（0，1， ) .2（）证明：因 ap =(0,0,1), dc =(0,1,0), 故 ap dc =0, 所以ap dc.由题设知 addc，且 ap 与 ad 是平面 pad 内的两条相交直线，由此得 dc面 pad. 又 dc 在面 pcd 上，故面 pad面 pcd.（）解：因 ac =(1,1,0), pb =(0,2,-1),（）解：在 mc 上取一点 n（x，y，z）