第十五讲 最短路线问题

1、最短路线在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的 “最短路线问题”。典型例题例 1假如直线是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图 1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽 车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？甲村甲村ab乙村ab乙村图1图2分析如果只考虑甲村的人距离公路最近，只要由甲村向公路画一条垂直线，交于 c 点，那么 c 点是甲村到公路最近的点，但是乙村到 c 点就较远了。

2、反过来，由乙村向公路画垂线，交于 d 点，那么 d 点是乙村到 公路最近的点。但是这时甲村到公路的 d 点又远了。因为本题要求我们在公路上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路交点 p，就是所求的公共汽车站的建站点了（图 2）。解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路有一个交点，设这个交点为 p，那么在 p 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。例2 一个邮递员投送信件的街道如图 3 所示，图上数字表示各段街道的千

3、米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。 问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？1 2 4 2 13分析选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有 8 个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使 8 个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有 不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。为使 8 个奇

4、点变成偶点，我们可以用图 4 的 4 种方法走重复的路1线。2 4 2 1 1 2 4 2 133( a )( b )124 2 11 24 2 133( c )( d )图4图 4 中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为： （a） 34=12（千米）（b） 3222=10（千米）（c） 24=8（千米）（d） 3242=14（千米）当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找 出最合理的路线了。解邮递员应按图 4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：（12421）23624 =20188=46（千米）例3 图 5 中的线段表示的是小明从家到学

5、校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？北小明家分析学校为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图 6）。小明家a bed efff我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到 a、b、c、d 各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到 e 处，就有先到 a 或先到 d 的两种走法，正好是两个对角上标的数 1+1 的和。从小明家到 f 点，则有 3 条路线，又 正好是两个对角上标的数 1+2 的和。标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个 对角上的数的和，正好等于下右角上的数。解 从小明家到学校有 13 条不同的路线。如图 7 所示。北小明家1a12b13c14defg4h25