导数常用一些技巧和结论

1、r 1 丄小X1+x导数常用的一些技巧和结论11 1. / , 1 1 + + *+ ln(w +1) 1口 (? +1)f JIIn I + 1 即 In I x寺 h In 忙 W x ) xrIn2 In3n 累舞消项即由良竺2 x恤丄M丄一i BPlnxl-1X Xx一、基础练习题：L讨论函数/二2沪- (x 0)的零点的个数;2.讨论函数/(x) = ev(l-xJ -2x) a.(x 0)的零点的个数;3 讨论函数/之二，的零点的个数；f4讨论函数/(x) = lnx -a.的零点的个数；x5讨论函数x 0J(x) = er -ax.的零点的个数；6 S时，讨论函数f(x) = l

2、nx-ax的零点的个数; e1 /12Q2门2一 23tlrrin3 / 124 / 12x.2017 年全国新课标 1理 21）已知 f x ae2x a 2 ex（ 1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围 .解析：（ 1） f x 2ae2x a 2 ex 1 2ex 1 aex 1 若 a 0 ，则 f x 0 恒成立，所以 f x 在 R 上递减；11若 a 0 ，令 f x 0 ，得 ex,x ln .aa11当 x ln 时， f x 0 ，所以 f x 在 ,ln 上递减； aa当xln 1时， f x 0，所以 f x 在 ln 1,上递增

3、 .aa综上，当 a 0 时，f x 在 R 上递减；当 a 0 时，,ln1 上递减，在 a 上递减，在ln 1, 上递增 . a1 1 12) f x 有两个零点，必须满足 f x min 0，即 a 0，且 f x min f ln 1 ln 0 . min min a a a1构造函数 g x 1 x lnx，x 0. 易得 g x 10，所以 g x 1 x ln x单调递减 .x1111又因为 g 1 0，所以 1 ln 0 g g 1 1 0 a 1. aaaax 0 时， x ln x.h 1 1，所以 h x 0，即 x ln x.面只要证明当 0 a 1 时， f x 有两

4、个零点即可，为此我们先证明当1事实上，构造函数 h x x ln x ，易得 h x 1 1 ， h x minx2a a 2 a ea e2 2当 0 a 1时， f 1a2 a 2 1 2 0 ，ee / 123 a33333f ln a 1 a 2 1 ln 1 1 ln 1 0 ，aaaaaa其中 1 ln 1 ， ln 3 a ln 1 ，所以 f x 在 1,ln 1 和 ln 1 ,ln 3 a 上各有一个零点 a a a a a a故 a 的取值范围是 0,1 .注意： 取点过程用到了常用放缩技巧。2x x 2x x x 方面： ae a 2 e x 0 ae a 2 e e

5、0x x 3 a ae a 3 0 eax ln 3 1 ；x ln a 1另一方面： x 0 时，2x x xae2xa 2 ex x 0 a 2 ex x 0 x1（目测的）常用的放缩公式 （考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩放缩成一次函数）ln x x 1 ， ln x x ， ln 1 x x放缩成双撇函数）11ln x 1 x 1 x 1 ， lnx 1 x 1 0 x 1 ，2x2xln x1xxln x x2 1 2 1 2 （放缩成二次函数） ln x x2 x， ln 1 x x x2 1 x 0 ， ln 1 x x x2 x 0 221 2 x 1 2 x 1 （放缩

6、成类反比例函数） ln x 1 ， ln x x 1 ， ln x 0 x 1 ，x x 1 x 1ln 1 x x ， ln 1 x 2x x 0 ， ln 1 x 2x x 01 x 1 x 1 x第二组：指数放缩6 / 12（放缩成一次函数） ex x 1 ， ex x ， ex ex，11（放缩成类反比例函数） ex1 x 0 ， ex 1 x 0 ，1 x x（放缩成二次函数） ex 1 x 1 x2 x 0 ， ex 1 x 1 x2 1 x3 ，2 2 6第三组：指对放缩xex ln x x 1 x 1 2第四组：三角函数放缩1 21 2 1 2sinx x tanx x 0 ，

7、sinx x x ，1x cosx 1 sin x .22 2第五组：以直线 y x 1 为切线的函数x 1 2 1y ln x， y e1， y x x， y 1 ， y xln x.x几个经典函数模型经典模型一：ln x x y x 或 y ln x例 1】讨论函数 f x ln x ax 的零点个数1) a 1 时，无零点 e1 ln 1 1 0. aa1f x 1x a， f x maxx / 1212）a 1时， 1个零点 .e11f x x e， f x max f e lne 1 0.13）当 0 a 2. 讨论 f x x mln x 的零点个数 （令 a ）； 时， 2 个零

8、点 . ef 1 a 0 （目测），a1a1 a 11 0 ，其中 1e .（放缩）1 a 1 a 1 af e 1 ea 0.a12ln a12a11aa1aa 0，其中a12ee.（用到了 lnx x4）当 a 0时， 1个零点 .f x 1 a 0 ，单调递增 . f 1 a 0， x1aae aa2 e1 e12e0.3. 讨论 f x x ln x mx 的零点个数考虑gx4. 讨论fxln xmx的零点个数3考虑 g x x f x ，令 t x2 ，3m a ）；2变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： f x ln x ax）：1. 讨论 f x ln x m x 的

9、零点个数 （令 x t ， m a ）；2225. 讨论 f x ln x mxm 的零点个数（ 令 t x2 ， 2m a ）； 6. 讨论 f x ax ex 的零点个数 （令 ex t ）8 / 12xx经典模型二： y e 或 y exx2】讨论函数 f x ex ax 的零点个数 .1）0 时， 1 个零点 .f x ex a 0 ，f x ex ax 单调递增 .2）0 时，无零点 .3）0 a e时，无零点 .1 ea a1 0 ，所以在 1,0 上有一个零点；af x ex 0 恒成立；f x min f lna a 1 lna 0 ；4）e时， 2个零点 .f 1e1a 1

10、0 ，af 1 e a 0 ， f 2ln a a a 2ln a a e 2 0.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： f x ex ax ）：1. 讨论 f x e2x mx的零点个数（ 令2x t， m a ）；2ex m2. 讨论 f x x 的零点个数（ 去分母后与 1等价 ）； xe3. 讨论 f x ex m x 的零点个数（ 移项平方后与 1 等价 ）；4. 讨论 f x ex mx2的零点个数（ 移项开方后换元与 1等价 ）；9 / 125. 讨论 f x ex a 1 af 1 a ln 1 a 1 0.1 a 1 a 1 a mx的零点个数（ 乘以系数 e

11、，令 em a ）；6. 讨论 f x ln x mx 的零点个数（ 令 x et ，转化成 2）x7. 讨论 f x ex 1 mx m 的零点个数（ 令 x 1 t ， m2 a ）； e2经典模型三： y xln x或 y xex讨论函数af x ln x 的零点个数 .x1）0 时，1 个零点 .xaf xx20，af x ln x 单调递增 .x2）0 时，1 个零点 （ x0 1） .3）1 时，无零点 .efxxax2 ， f x min f a ln a 1 0 x4）a1时， 1个零点 .e10 / 121 1 1x0e. f x min f e ln e 1 05）1 a 0时，2个零点 . e2 2 1 1 1 1f a2 lna2a a 0， f 1 ea 0， f 1 a 0 ，a a a ea变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3： f x ln x ）：x1.讨论 f x 1 aln x的零点个数； xfx2. 讨论 f x mxln x 的零点个数（ 考虑 g x ，令 x t ）；ax3. 讨论 f x x x 的零点个数（ 令 e t ）；exa4. 讨论 f x ex的零点个数；x练习题x21.