导数讲义学生版

1、导数精选f (X0X)f(X0)。X例、若lim血x 0x) f(X0)Xk，则 limx 0f(x 2 x) f(x。)等于X、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 x，那么函数y相应地有增量 y=f(Xo+ x)- f ( Xo )，比值 丄叫做函数y=f ( x )在Xo到Xo+ x之间的平均变X化率，即 丄=x) f(xo)。如果当X 0时，有极限，我们就说函XXX数y=f(x)在点Xo处可导，并把这个极限叫做f (x)在点Xo处的导数，记作f(X。)或 y丨 X 沧。f (x 0)= limx 01A . 2k B . k C .丄k D .以上都不是2变式训练：

2、设函数f (x)在点x。处可导，试求下列各极限的值.3若 f(xo)2，则肌4=?二、导数的几何意义函数y=f (x)在点Xo处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (Xo, f (x)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p (Xo, f (Xo)处的切线的 斜率是f (xo)。切线方程为 y-yo=f/ (X。) (x-X。)三、导数的运算1 .基本函数的导数公式： C 0; ( C为常数) Xnnxn 1; (sin x)cosx ; (cosx)sinx;(ex)X e7(ax)ain a ;In x1 ；JX l Oga X1 -logae.X习题：求下列函数的导数：

3、(8分钟独立完成)(1)f(x)(2)f(x) X4(3)f(x)(5)f(x)cosx(6) f(x)3X(7)f(x) e(9)f(x)in x(1O) f(x)1(11)X(12：)yX(13) yig XX e(14)XyyX(4) f (x) sin x(8) f (x) log2 x3 1cosx4 43x cosx2、导数的四则运算法则:f(x) g(x)f (x) g(x)f(x) g(x)f (x) g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)练习：求i下列函数的导数：(1)y2c xx 2 ；(2)yx In x ；(3)y.xsin x ；(4)yxln

4、 x o(5)ysin x ；x(6)y2xoln xf(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x)g2(x)3、复合函数求导：如果函数(x)在点x处可导，函数f (u)在点u= (x)处可导，则复合函数y= f ( u) =f (x)在点x处也可导，并且f (x) x = f (x)(x)例、求下列函数的导数(1) y= 1 2xcos x(2) y=ln ( x+ . 1x2练习：求下列函数的导数(1) y=1(3x 1)2(2)y=sin (3x+ )4常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y二ex上点P处的切线平行于直线2X+ y+ 1二0,则点P的坐标是例2、曲线y

5、= xj1在点（1 , 1）处切线的斜率等于（）A. 2e B . eC. 2 D . 1例3、2014 新课标全国卷U 设曲线y = ax- ln( x + 1)在点(0 , 0)处的切线方 程为y = 2x，则a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线y x3 3x2 1在点（1, 1）处的切线方程（二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点（2,0）且与曲线y -相切的直线方程.x（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲

6、线y x3 2x上的点（1,1）的切线方程.变式训练：1、2014 广东卷曲线y二一5ex+ 3在点（0，- 2）处的切线方程为 2、 2014 江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若曲线y = ax2 +-（a, b为常数）X过点P（2 , - 5），且该曲线在点P处的切线与直线7x + 2y+ 3= 0平行，则a+ b 的值是.23、 与直线x y 1= 0平行,且与曲线y= 1相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2（1 x）3的单调区间.变式训练：1. 函数y xlnx的单调递减区间是()A. (e 1, ) B. ( ,e 1)C

7、. (0,e 1)D. (e,)2. (05年广东高考题)函数f (x) x3 3x2 1是减函数的区间为()(A) (2,) (B)(,2) (C)(,0) (D)(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数f(x)mln x (m 1)x , m R .当m 0时，讨论函数f (x)的单调性.例2、设函数f(x)=2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1.求f(x)的单调区间;例3、设函数f(x)=ax-(a+1)ln( x+1)，其中a -1 ,求f (x)的单调区间。变式训练:X 一 11、2014 山东卷设函数f (x) = aln x+ x，其中a为常数. 若a=

8、0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.2、【2014 安徽卷】设函数 f (x) = 1 + (1 + a)x x2 x3,其中 a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、2014 新课标全国卷U 若函数f(x) = kx In x在区间(1 ,)单调递增，贝U k的取值范围是()A. ( X, 2 B . ( X, 1C. 2 ,+x)D . 1 ,+x)例2、2014 全国新课标卷I 已知函数f (x) = ax3 3x2 + 1,若f (x)存在 唯一的零点Xo,且Xo0,则a的取值范

9、围是()A. (2 , +x) B . (1 , +x)C. ( x, 2) D . ( x, 1)例3、2014 辽宁卷当x 2, 1时，不等式ax3 x2 + 4x + 30恒成立, 则实数a的取值范围是()9A. 5, 3 B. 6, 8C. 6, 2 D . 4, 3变式训练：(山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题(数学文)已知 函数f (x) ax3 bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x 9y 0垂直.(I) 求实数a,b的值；(U)若函数f (x)在区间m, m 1上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤：确定函数

10、的定义域，求导数f(x)求方程f(x)0的根用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表 格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值注：可导函数y f(x)在x怡处取得极值是f(xo)0的充分不必要条件.例1、已知函数f (x) 2ax b 41 nx在x 1与x -处都取得极值.x3(1)求a、b的值；变式训练：设x -，x 试确定常数a和b的值； 试判断x 1,x 2是函数f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值是f x al

11、 nx bx x函数的两个极值点例 2、(06 安徽卷)设函数 f x x3 bx2 cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是 奇函数。(I)求b、c的值。(U)求g(x)的单调区间与极值。例3、已知函数f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I )求c,d的值；(II )若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0，求函数f(x)的解析式;1(III )在(II )的条件下，函数y f(x)与y - f (x) 5x m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.例 4、2014 江西卷已知函数 f(x) = (x2+ bx+ b) 1

12、-2x( b R).(1)当b= 4时，求f(x)的极值；(2) 若f(x)在区间0，3上单调递增，求b的取值范围.变式训练：1、已知函数f(x) x b的图象与函数g(x) x2 3x 2的图象相切，记 F(x) f(x)g(x).(I)求实数b的值及函数F(x)的极值；(U)若关于x的方程F(x) k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.322、(2011 全国 U文 20)已知函数 f(x)x 3ax (3 6a)x 12a 4(a R)(i)证明：曲线y f (x)在x 0的切线过点(2,2);(H)若f(x)在x X。处取得极小值，X。(1，3),求a的取值范围.考点五：结合单调

13、性求最值问题求函数在a,b上最值的步骤：(1)求出f (x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值 f(a), f(b).( 3)比较极值和端点值, 确定最大值或最小值 .例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x) = ax3 + x2+ bx(其中常数a, b R), g(x) =f(x) + f (x)是奇函数. 求f(x)的表达式；(2) 讨论 g(x) 的单调性,并求 g(x) 在区间1,2 上的最大值与最小值例2、设函数f(x) = ax3 + bx+ c(a工0)为奇函数，其图象在点(1 , f(1)处的切 线与直线x 6y 7= 0垂直，导函数f (x)的最小值为12.(1)

14、求a, b, c的值； 求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值.1 例 3、已知函数 f (x)-x2 aln x, g(x) (a 1)x ,a 1 .2(I )若函数f (x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同， 求实数a的取值范围；(II )若 a (1, e (e 2.71828L )，设 F(x) f (x) g(x)，求证：当 x,x2 1,a 时，不等式| F(xJ F(X2)| 1成立.例 4、2014 安徽卷设函数 f(x) = 1+ (1 + a)x x2 x3，其中 a0.(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；(

15、2) 当x 0 , 1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、mf (x) 在 xD上恒成立m f (x) max思路 2、mf (x) 在 xD 上恒成立m f(x)min例 1. 设函数f(x)2x3 3ax23bx 8c 在 x1 及 x 2 时取得极值 求 a、 b 的值； 若对于任意的x 0,3，都有f(x) c2成立，求c的取值范围.例2、已知函数fx 3/ 2xa 1 x 1,其中a为实数。已知不等式f xx2 x a 1对任意a0,都成立，求实数x的取值范围例3、设函

16、数f xx4 ax3 2x2 b,(xR），其中 a,b R。若对于任意的a2,2，不等式f x 1在1,1上恒成立，求b的取值范围例 4、若实数 a 0且 a 2，函数 f x ax3 1 a 2 x2 2x 1。32（1）证明函数f x在x 1处取极值，并求出函数f x的单调区间。（2） 若在区间0,上至少存在一点xo，使得f X。 1，求实数a的取值范围变式训练：1、(2010辽宁文)已知函数 f (x) (a 1)ln x ax2 1.(I)讨论函数f(X)的单调性；(U)设 a 2，证明：对任意 Xi,X2 (0,) , | f (xj f (x2) | 4 | x1 x2 |.2、

17、已知函数f (x) = x3+ 3|x-a|( a0).若f (x)在1,1上的最小值记为g(a).(1) 求 g(a) ；证明：当 x 1, 1时，恒有 f(x) g( a) + 4.3、设函数 f(x) (x a)2x,a R.(I)若x 1为函数y f (x)的极值点，求实数a ;(U)求实数a的取值范围，使得对任意的x (,2，恒有f (x) 4成立.4、设函数 f (x) -x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R).3(I)求函数f x的单调区间和极值；(U)若对任意的x a 1,a 2,不等式f x a成立，求a的取值范围存在性问题：maxa f x 能成立 a f