导数讨论含参单调性习题含详细讲解问题详解

1、实用标准文案m(x + n)f(x) = lnxzg(x) =(m 0)1.设函数X + 1(D当m = 1时，函数y = f(x)与y = g(x)在x = i处的切线互相垂直，求n的值:(2)若函数y = f(x)-g(x)在定义域不单调，求m-n的取值国;(3)是否存在正实数6使得2axf(;)f声屮(寿e时，证明：g(e_a)0.(3) 当ae时，判断函数f(x)零点的个数，并说明理由.bf(x) = a(x + -)+ blnx3. 已知函数x(其中，a,b 6 R).(1) 当b = -4时，若f(x)在其定义域为单调函数，求a的取值围；(2) 当a = 7时，是否存在实数b,使得

2、当xe e,e2时，不等式f(x)0恒成立，如果存在, 求b的取值围，如果不存在，说明理由(其中e是自然对数的底数，e = 2.71828 -).4. 已知函数g(x) = x2 + ln(x + a)，其中a为常数.(1) 讨论函数g(x)的单调性；g(xj + g(x2) xx + x2 g()(2) 若g(x)存在两个极值点X/2,求证：无论实数a取什么值都有225. 已知函数f(x) = ln(ex + a) (a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x) = Xf(x) + sinx是 区间【-1, 1上的减函数.(1)求a的值;(2)若g(x)O,a 0恒成立，数加的取值围(注：已

3、知 常数a满足71116/ = 1)已知函数 f (x) = lll(l + ?77.v)+mx ,其中 0 v 51 2牙3(1) 当加=1 时，求证：-lvxS 0 时，f (x) l,F(x)/(x),数a 的取值囤.10. 已知函数 /(x) = ev +ax-2(1) 若a = -l 求函数/(%)在区间-1,1的最小值；(2) 若a g /?,讨论函数/(X)在(0,+co)的单调性；(3) 若对于任意的為,耳丘(，+8)，且兀 3; (3) 2 【解析】.1ng (x) =试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意狡，求出切线斜率；当m = 1时，(X + 1),1nk = ,可

4、知y = g(x)在x = l处的切线斜率 4 ,同理可求得= 然后再根据函数V = f(x)与1n X 1 =- 1y = g(x)在x = i处的切线互相垂直，得4,即可求出结果1x + 2 - m(l - n) + -I aaXy =f(x)-g(x)=易知函数y = f(x)辽(x)的定义域为0 + 8),可得(x + i) ,由趣意,1 1x + 2 m(l n) + 一x + 2 - m(l - n) + -x在(0，+ 8)有至少一个实根且曲线与x不相切，即x的最小值叭1k(x) = aln2a alnx - a + -为负，由此可得Wn)4,进而得到 4,由此即可求出结果.(3

5、)h(x) = f(-)f(eax) +. 1h (x) = aln2a - alnx a + -可得x ,令a 1 ax+1X X x ,所以k(x)在区间(0, +单调递减，且k(x) = 0在区间(0, + 8)必存在实1InxQ =+ In2a -1根，不妨设k(X) = 0,可得 axo, (*),则h(x)在区间X。)单调递增，在区间 +单调递减，.灾扁傀)，h(x0) = (ax0-l).|n2a-(ax0-l)-lnx0 ,将(*)式代入上式，得12ax叽)=ax。+ -2f()f(ea)() + f() 0aXo使得 x2a对任意正实数x恒成立，即要求1h(xQ) = axQ

6、 + 24,- n 3；h(x) = f() f(eax) + f() = ax-ln2a - ax-lnx + Inx - In2a(3) 令x2a，其中 x0,a0. 1 h(x) = aln2a - alnxa + 则x k(x) = aln2a -alnx - a + - 则x 时，(X + 1),1-n y = g(x)在x = 1处的切线斜率 4.11-nf (x) = -.x 1 =-1由 x,得f(l) = l, A 4, An = k(xQ) = aln2a alnx。- a + = 0 lnx =+ In2a 1 即xo ，可得 axo则h(x)在区间(%)单调递增，在区间

7、 + X)单调递减, 文档大全 易知函数y = f(x) - g(x)6勺定狡域为(0, + 8),y =f(x)-g(x) =又x (x + 1)1 m(l - n) x2 * * + 12 - m(l - n)x + 1刈 X+1)(x + 1)1x + 2 m(l n) + -由题意，得x的最小值为负,Am(l-n)4e (注：结合函数y = x. a 1 ax +1 + 2-m(l.n)x + l图象同样可以得到),实用标准文案 h(x)max = h(Xo) h(x。) = (axQ l)ln2a - (axQ 1)1亦 91 h(xQ) = axQ + 2 将(*)式代入上式，得a

8、Xo1aXo恒成立,h(x0) = ax0 + 一-205aa =a =2, .I存在满足条件的实数J且 2.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最 值的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问趣转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数f(x),利用f(x)m恒成立f(x)vm恒成立f(x)max0时，g(x)的减区间为(0，a增区1(-+ )间为a : (2)证明见解析；(3) 一个零点,理由见解析.【解析】ax-1 a 1试题分析：(1)讨论函数单调性，先求导X X x ,当aso时,g(x)0时，解g(x) 可得a,故g(x)的减区间为a,增区

9、间为a ；(2)根据 g(ea) =-a2 + e 构造函数，h(x) = ex-x h (x) = ex-2x ,当 xe 时，h(x)0,所以h(x) = eJ(2是增函数，h(x) = ex-x2ee-e20,得证；(3)判斷函数的零点个数，需要研究函文档大全实用标准文案数的增减性及极值端点，由(1)可知，当ae时，g(x)是先减再增的函数，其最小值为11 1 1 1 1 1 :g(-) = aln- + a = a(ln-+l)0； _ae -O,g(e )0,且 a ,故g(x)恰有两个零点卩2,从而得到 f(x)的增减性，当 x(O,X)时，f(x) = g(x)0；当 xG(X,

10、X2)时，f(x) = g(x)vo：当 xG(X2，+8)时.f(x)二g(x)0,从而f(x)在X两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值f(1) (0，)当a0时，解g(x) 0可得a,故g(x)的减区间为a(2) g(e_a) =- a2 + e 设h(x) = ex-x 则h(x) = ex-2xfI易知当xe时，h(x)0,h(x) = ex - x2 ee - e2 0.(3) 由(1)可知，当ae时，g(x)是先减再增的函数,111g(-) = aln- + a = a(ln- + 1) 0其最小值为aaa11 1 1ea - 0, g(ea)0,且 a ,故咖恰有两个零点5

11、x2,.当x G (0, X)时，f(x)= g(x)o：当xG(X, x?)时，f(x) = g(x)0?文档大全实用标准文案g(xj = alnX + = 0 a =-由X知 XlnXf(xj = (ax】+ l)lnX - ax1 + 3 = Inx】+ 2InX但当 lnxi时，1巳则a = e,不合題意,所以f(x】) rcif(x) =-,分aso和a0两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问趣，得到a的取值,-x2 + bx + bf(X)=2 2囤；(2)X2 ,分bso和b两种请况讨论函数的单调性，若能满足当X E eze2x Ozf(x) = a(x -)-时，当满足函数的最小值

12、大于0,即得到b的取值围.试题解析：(1)由题X八X 当aSO时，知f(x)0时，只有对于x0,不等式axJ4x + 4a20恒成立，才能使f(x)为单调函数，只需 A = (.4)2-16a20,解之得a-l或anl,此时anl.综上所述，a的取值围是(汽0U+ *)b. b b x + bx + b文档大全实用标准文案()当bS5寸，f(x)v,于是f(x)在(0严8)上为减函数，则在巳占上也为减函数.b 1f(x)max = (e) = b-e- = (l-)b-e时，由f(x) = 0得2,列表得Xb + Jb4bO)2b + Jb2 + 4b2b+(r* + 8)2f(x)+0-f(

13、x)刁最大值b + fblbS 若 22e0 v b 5 2即 e + 1则f(x)在e,e上单调递减.b 1 f(x)max= f()= b-e-=(l-)b-e 知e e11 e2 2e(1 - _)b - e (1 - -) e =,而 eee2 + l e+1于是X)max e 若 2，即eb e2 + lb +Jb2 + 4b(e,)则f(x)在 2上为增函数，在 2b + Jb2 + 4b-+ 8)上为减函数,2严)0,要使在巳占恒有f(x)0恒成立，则必有f(e2) 0zbb - e - 0, 2eb 2b-e - 0, 则2eb p . 132e 丄 e -e2eb.2e2-l

14、e42eb e-1e2 e4由于 e3- e2 - (2e2 -1) = e3- 3e2 + 1 0恒成立.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问題：(1) 根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问題；(2) 若偸)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(X)min ,若f(X)0 恒成立fWmaxg(x)恒成立，可转化为f(X)ming(xhax .4. (1)当-&3蚌时,g(x)在区间卜a,+ 8)上单调递增;aJa2-2 _a + Ja2-2_a_Q；2_2 -a + Ja2-2当 aQ2 时，g(x)在 22)上单调递减，在Z 2)，( 2中)上单调递增；

15、(2)见解析.【解析】试题分析：(1)先求导数，研究导函数在定狡域上零点情况.本题实质研究y = 2x2 + 2ax + l在(, + -)上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间，(2)先由(1)知a2,且两个极值点XiM满足2.再代入化简盼丿 + 办2)x1 + x2 a21In2a21In2 g()- Ina 一十 0h(a) = - Ina 一 + 22 得422，利用导数研究 422单调性，最后根据单调性证明不等式.试题解析：(1)函数的定51域为(a, + R)1 2x2+ 2a

16、x+ 1g*(x) = 2x += 一、 22x + a x + a ,庁己h(x) = 2x +2ax + l,屛另U式A = 4a -8、庁时，h(x)2 0恒成立，g(x)nO,所以g(x)在区间(-a, + x)上单 当二4a28 S 0即 a 调递增.-a Ja2-2 当a&时，方程2x2 + 2ax + 1 = 0有两个不同的实数根乂宀，记 2 a + J, . 2 X2 = 2 ,显然XiX2文档大全实用标准文案a 0(i )若h(x) = 2x +2ax+l 图象的对称轴 2, h( - a) = h(0) = 1 0#两根XpX?在区间(0厂a)上，可知当xa时函数h(x)单

17、调递增，h(x) h(a) 0,所以g*(x)0, 所以g(x)在区间(6 + R)上递增.a2x =- - 0.ax!x2,当x】vx0t所以g(x)0,所以g(x)在(7心仪2，+ 8)上单调递增.综上，当农saQ时，g(x)在区间(y + x)上单调递增；当时，g(x)在g(xj + g(x2) = Xj + ln(x1 + a) + x； + ln(x2 + a) = a2 -1 - In2S(xi)+ (x2)a2-l-ln2 X + x 厂又ra a a)= 8(-7)= I+ln2g(x+ g(X2) x1 + x2 a2 i |n2_g()=_.lna_2+_a2 1 In2

18、h(a) = - Ina 一 + 记422a 1 a2 - 2l 2 厂 1 In2h(x) =0rh(J2) =- - In(2 -+ = 02 a 2a，所以h(a)在a2时单调递增，42 2，所以h(a)0.g(xj + g(x2)所以 21 2g() a A|a)上单调递减，在(3 2 )，(2 广)上单调递增.(2)由(1)知当asQ时，g(x)没有极值点，当aAl2时，g(x)有两个极值xrx2f且 - 2 a + Ja2 - 2 a Ja2 - 2 a + Ja2 25. (1) a = 0; (2) ts-l； (3)详见解析.【解析】试题分析：(1)根据奇函数定狡可得le +

19、 al-lnfea),再根据恒等式定理可得a二0.(2)由函数g(x) = Xf(x) + sinx是区间J，1上的减函数，得其导函数恒非正，即入ocosx最小值-1,文档大全实用标准文案而g(x) t2 + Xt + 1在xGl-1, 1恒成立等价于g(x)max*t +入t + 1，从而有(t*l)入+ + sinl + 120对入恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负Inx fjx)= 即可，解不等式组可得t的取值国(3)研究方程根的个数，只需转化为两个函数xInxf2(x) = x -2ex + m交点个数，先根据导数研究函数】x图像，再根据二次函数 f/x) = x2

20、- 2ex + m上下平移可得根的个数变化规律试题解析：(1) f(x) = ln(ex + a)是奇函数，则ln(ex + a) =-ln(ex + a)恒成立，:.(ex + a)(ex + a) = 1 p卩 1 + ae * + ae* + a?二, a(ex + e x + a) = 0 a = 0(2)由(1)知f(x) = x, Ag(x) = Ax + sinx?/eg(x) = X + cosx?又v g(x)在-1，1上单调递减， g(x)max = g(-l)=-X-sinl 99且 g(x)二入+ COSXS0 对 xG -1, 1恒成立，即A - cosx对1恒成立,

21、入S ,Vg(x)t2 + Xt + 1 在x -：! 1上恒成立， -X-sinl t2 + At + 1 ,即(t + 1)入+ t2 + sinl + 1 0对入G吗亘成立，t + l0?t 0恒成立，文档大全实用标准文案Inx 2=x - 2ex + m(3) 由(1)知仆)，.I方程为xf2(x) = x2 - 2ex + m1 - Inxf；(x)=x ,当xG(O, e)时，f；(x)2 0, ,.fjx)在(0, e上为增函数;当xe, +8)时，f(x)S0, .fjx)在 e)上为减函数;1当x = e时，fl(X)max = fl(6)= e,而f2(xr(xe)2 +

22、me函数fjx)、f2(X)在同一坐标系的大致图象如图所示,m-e 1 2 1 m - e - m -me2 + -当e,即时，方程无解;2 1 2 1 m - e = - m = e + - 当e,即e时，方程有一个根;实用标准文案试题分析:(1)由/z(x) = 6/-=_ ,F(x) = g+ a,x0 =f(x) /(x)在(0,g)上单调递减二 当-1 7 0 ,即 F(x)在(0,4-oo) 上单调递增，不合题意；当av1时，利用导数工具得F(x)的单调减区间为(0,111(-6/),单调增区间为 (in(-a),+8)n心1)/(x)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调

23、性= 111(-6/)1113 = a的取值围是(_8,-3 ；( 2 )由 g(x) = (ox+l) 0X)z、 1-liix “、 liix-2(、/11-111X1/1f11设=w(0”,g =/?(r) = -lnr + l(o r hf(t) = -/?(/)n/?(/) = 0nM的最小值为o.试题解析:(1)广(x) = a- = _ ,F(x) = + a,:r0, X XV6/0,/，(.V)0,即F(x)在(o,+s)上单调递增，不合题意；当 0,得 x,由 F(x)vO,得 0 vxvln(). F(x)的单调减区间为(0,ln(a),单调增区间为(ln(a),+8).

24、 / (x)和F (x)在区间(0, In 3)上具有相同的单调性，/. 111(-6/) 1113 ,解得 a e2 时，p (x)0 ；当 0时，px)0.从而p(x)在(0”)上递减，在上递增.二卩込=P(e) = 一-v- 当67-4时，as匕吨，即严T 丄50,XX( 1、丄0，g(x)5 0,g(x)递减：上，ax+LO,g(x)递增g(x)min = g设t = - e(0,e2g _丄I = /?(/) = -Inr + l(0 r e2),a a J/?/(r) = A-lh(e2) = 0：e tM的最小值为0.考点：1、函数的单调性：2、函数的最值：3、函数与不等式.【方

25、法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较 强,属于较难趣型.利用导数处理不等式问题.在解答題中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问趣.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.7. (1) ? = 一1, /(Q 在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增：(2) me-a-hia).【解析】试题分析：(1)由X=1是函数/(X)的极值点，得广(1)= 0可得7得值，由导数和单调性 的

26、关系得其单调区间；(2)由题意知f (x) = ex+m -丄，设h(x) = ex+m-,知hx) 0得XX(x)单调递增，即x = xQ是广(x)二0在(0,+s)上的唯一零点，得m = -x0 - hi x0 ,f(x)mm = /(x)，使得/Cv0)0即可，结合alna = l,得参数加围.试题解析:(1) Vx = 1是函数/(x)的极值点，A/,(l) = 0=e1+m-l = 0.? = 1, f x) = exX”-1X令 g(x) = xex -1, gx)=严 + xex = (x+1)严 0 ,文档大全实用标准文案g(x)在(0,+8)上单调递增，g(x)g(O) =

27、l, g(l) = O.当 xw(O,l), g(x)0. /(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4-00)上单调递增，此时，当_x=l时/(X),取极小值.(2)尸的=严一丄，设h(x) = ex+m-fXX则h V)=严+ A 0 h(x)在(0,+S)上单调递增，X fx)在(0,+oo)上单调递增.V x = x0是函数f(x)的极值点, X = X。是广(X)= 0在(0,+8)上的唯一零点，ex+n,=丄二+ m = In = x0 4- m = hi x0 = m = -xQ 一 In x0.X。X。V0xxo, fx)x, fx)fxo) = 0,:.f(x)在(0,x)上单

28、调递减，在(兀,乜)上单调递增，/(力有最小值./()nun = /(X。)=八切-hix0= + xQ + m X。f(x) 0恒成立，/ + x0 + /? 0 , /. + x0 x0 + In xQ,X。X。A liix0.dlna = l, /. xQ-a-nci fm w 一d-lna,+8).考点：(1)利用导数研究函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性；(3)恒成立问题. 【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问趣，以文档大全实用标准文案及对于不等式恒成立问題，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函 数的单调性，由 0 ,

29、得函数单调递增， 力(兀)或a /?m3X(x)或d /也3)即可，利用导数知识结合单调性求出力maJx)或mmU)即 得解.& (1)见解析；(2)当01时，有两个零点；当加二1时；有且仅有一个零点.【解析】V3试题分析：(1)首先将7 = 1代入函数解析式，然后令g(x) = f(x),再通过求导得到g(x)的单调性,从而使问题得证;(2)首先求得f(x),然后求得fx) = 0时x的值,再对加分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零 点的个数.试题解析：(1)当加=1 时，令g(x) = /(x)-一 (-1 x 0, l + x0, J g(x)nO,此

30、时函数 g(x)递增,开3.当一 1VXW0时，g(x)一1时，l+x0, x2 0 , /. /r(x) 0,此时，函数/(x)为增函数. .*.-!%0时，/(x)0时，/(x)/(0)= 0,故函数y = /(x),在x-1上有且只有一个零点x = 0 ；(i i)当 0加 1 时，m- 09 且一 0 9 mx 0 , x- rn0 ,m丿文档大全实用标准文案此时，/（x）0；同理可得，当1XG 加一一，0 , f（x）0；当 x20时，/（.）0； mii函数y = f（x）的增区间为一一冲一一和（0,-Ko）,减区间为 min加-丄，0m故，当 m- x/(0) = 0,当 x0时

31、，/(x)/(0) = 0函数）u /（X）,1xg m、+s 有且只有一个零点x = 0 ；in1( 1)1 (1 A(.in2I,构造函数(p(t) = ntt-,易知，对 Vre(0,l), 0(f)0 , /.函数0t 0(l) = O由 0 v 加 v 1,知 0 v F 02( nr丿构造函数(x) = lnx-x+l (x 0),则 Q(x)=-,当 0xlX时，k(x)0,函数 y = k(x)的增区间为(0,1,减区间为(1,+s), k(x) (1) = 0,.有 lnv 亠一lv 丄+ 1, nr nr /w-4-i-1 1r 1in,当a mm mmnr-4-i ,e

32、广 _时，111(1 +wx) -1nrX2 “ |而mx x2 一 nix +12盯由知 / (x) = In(1 + nix) + 一 mx min文档大全实用标准文案由和函数零点定理知，3x0 e -，-，使得/(兀)=0 I m m 丿综上,当0 vv 1时，函数/ (%) = 111(1 + nix) + 以有两个零点,综上所述：当01时，函数y = f(x)有两个零点，当m -1时，函数y = /*(x)有且仅有一个零点.考点：1、利用导数研究函数的单调性：2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关 系【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问題的根本，函数的单调递增区间和单

33、调递 减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函 数的极值点把函数的定狡域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数 的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原 则.9. (1)证明见解析：(2)(y4.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助题设条件运用导数 的有关知识求解.试题解析：(1) va = l+2e_1,T(A：) = F(A：)-/(x),.-.T(x) = 2e14-lnx-2e_1x+2e_1-2.x 0,7 * (x) = 2ew - 2_1 +

34、-./ 2eV_1 - 2e_1关于 x 单调 递增，X*x0,T(x) = 2eV_1 -2e_i + 丄丄 0,.卩(x)在(O,+8)上单调递增.,x X(2) 设 /(x) = F(x)-/(x),则 H ,() = 2ex1 + l-a .设 /?(x) = 2ev_1+ 1 + -6?,XA则 /i*(x) = 2eX_1 -x 1,/.2V_1 2,-1,A(x) 1././?(x)在1,+)单调递 XX增.当 xni 时，/7(x)/z(l).即 Hx)4-a,:.当 时，/*(x)4-0.当 a4 时，H(x)在1,+s)单调递增.当 6/ 1 时，/(x)X/(1),即 F(x)/(A-).vxl,/./,(x) = 2e-1 + 14-l- 4 时，由2严+2。=0得-2exl + 2-a关于x单调递增，.当 4,1 xl + liif-l)时，H(x)单调递减.设12j文档大全实用标准文案兀= l + ln -1 ,则/(兀)/(1) = 0,即尸(兀)4时，玉0 = 1 + 111 -1 l,F(x0) /(o)不成立.、2 综上，若Vxl,f(x)/(x),的取值围(