导数应用八个专题汇总.

1、1. 导数应用之函数单调性题组1:1. 求函数f (x) =X3 _3x2 _9x 12的单调区间2. 求函数f(x)=x2_3xlnx的单调区间3. 求函数f (xx23x -lnx的单调区间4.求函数f (x)1 的单调区间xln x第11页共20页ln x5.求函数f(x) -In x ln(x，1)的单调区间1 +x题组2 :1.讨论函数f(x)ax33224-a x a (a 0)的单调区间2.讨论函数f (x)二x3 3ax2 - 9x -12的单调区间3.求函数f(x)=34x 1 (m 0)的单调递增区间4.讨论函数f(x) = (a 1)lnx ax21的单调性.1 _a5.

2、讨论函数f(x)=lnx-ax，-1的单调性.x题组3:1.设函数 f (x) = x3 - ax2 x 1.(1) 讨论函数f (x)的单调区间；-一 2 1(2) 设函数f(x)在区间(-一,)内是减函数，求a的取值范围.332.(1)已知函数f (xax2 x lnx在区间(1,3)上单调递增，求实数a的取值范围2(2)已知函数f(x)二ax - x lnx在区间(1,3)上单调递减，求实数a的取值范围32y3. 已知函数 f (x) =(x 3x ax b)e .(1) 若a二b 3,求f(x)的单调区间；(2) 若f (x)在(：),(2, J单调递增，在G ,2),( -)单调递减

3、，证明：6.解：(1 )当 a=b=-3 时，f (x) =(x ? +3x ? -3x-3)e 町，故f搁二应+ 3x;-3x -班迪+陆-疗9花)=-x(x -地 + 牝当 x-3 或 0x3当-3x3时，0,从而f(x)在(-工,-3 ), (0 , 3)上单调递增，在(-3 , 0) , (3 , +工)上单调递减 6分f (劝二十3”预也丁*+ (3戈&+Q尸二7=丫:+16)誥+4国.7分一一： : - 分8从耐仪)如-晞+4-逊因为f冏二八闻赳忻如+0- 6)芒一 4-2d二衣-2总-)仗- 4=(工-2)2 -鱼+国:e+妙 将右边展开，与左边比较糸数得，10二-2,哪=2 分

4、0.11|;.-,./ J 亠 分恥空a -酉 代即曲 贰毕血.由此可得a6 。 12分4. 设函数 f (x)二 x3 ax2 - a2x 1, g(x)二 ax2 - 2x 1,(1) 若a 0,求函数f (x)的单调区间；(2) 若f (x)与g(x)在区间(a,a 2)内均为增函数，求a的取值范围.2. 导数应用之极值与最值1.设函数f (x)二x2exJ ax3 bx2,且x = -2和x = 1均为f (x)的极值点.(1) 求a, b的值,并讨论f (x)的单调性；2 3 2(2) 设g(x) = x -x ,试比较f (x)与g(x)的大小.解答*解：1) CxJ 2xeK+x

5、2eJ(j1+3ax2+2bx=xeJt 1 Cx+2)如(3ax+2b)由沪-2和戸1为f ( h )的极1B点,-6a2b=Q 即乍口-2E = 0 解得3I b 1 由(1)得f (x) d占-护-也故f (x) -g (x) d护护d-討 J) =x2严F + 令h 5)之3-耳，则h (s)二尹-令X Cx) =0* 得qL.hTG、h (x)随盟的变化情况如表乂5C i)1(1 1 )hJ ( x )一0+h ( k )X0由上表可知，当“1时，h (x)取得极小值，也是最小值兰即当孟E+D时，h Cx) li Cl)也就是恒有h (x) 0.又疋彥m 所以空(k)-呂(Q 彥山故

6、对任意從E(-8，+8，恒有f Ck) 3电(x),2.设函数 f (x) = x2(x-a).(1)若f =3,求曲线y二f (x)在点(1,f(1)处的切线方程;求函数y = f (x)在区间0,2 1上的最大值.3.设函数 f (x)二 ax3 - 3x2.(1)若x = 2是函数y二f(x)的极值点，求a的值； 若函数g(x)二f (x) f (x), x 0,2,在x二0处取得最大值，求a的取值范围.14.已知函数 f(X) X3 X2 -2.32(1)设Sn是正项数列的前n项和，6=3,且点(an,an2an d)在函数y = f(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在y =f(x

7、)的图象上;求函数f(x)在区间(a_1,a)内的极值.3225. 设函数 f (x) =ax +bx -3a x +1 在 x =羽，x = x2 处取得极值,且 x -xz =2 .(1)若a =：1,求b的值,及函数f (x)的单调区间；若a 0,求实数b的取值范围.解：fr (梵)-3asi+2bx-3a.2分(I )当 1 时，f1 ( k ) =3si+2bx-3；由题意知乩，K.为方程3s:+2bK-3-0的两根，所以|斗=乂3由 Izf-x | =2r 得b=CL 克分)从而f ( x ) =x2-3k + 1 t fn (e ) 3e:-3=3 ( k+1 )( x- 1)当

8、xE (-1 1)时；ff (x) 0,故t (x)在(-1, 1)单调递减，在 J*. -1),(1, +)单调递増.(6分)(II)由武庚题意知七为方程3y/+2bx-3a; = 0的蘭根，23所Ul|r-r J = l4 t36d .从而 |S1-x.| = 2b2=9a: ( 1-a),123az由上式及题设知OCaWl.呂分)考虑 g (a) =0az-9a()= 1 加-盯亦=-2? 口 -扌)i 0分)2 224故g (a)在(0,才弾调递増，在扌，1单调递减，从而苣(G在0, 1的极大值24又g (a)在(山1上冥有一个极值，斷以呂(2=)为呂(厂在(血1上的最大值，且最小值为

9、g( 1)二0.所以 -半,爭.4分)1326. 设函数f(x) ax -bx (2-b)x，1在为处取得极大值，在x?处取得极小值，且0 ： x, ： 1 ：冷：2.3证明：a 0 ,并求a - 2b的取值范围.1 33 27.已知x =1是函数f (x) ax x (a 1)x 5的一个极值点3 2(1)求函数f (x)的解析式； 若y = f (x)的图像与直线y = 2x m有三个不同的交点，求实数m的取值范围8.已知x =3是函数f (x)二aln(1 x) x2 -10x的一个极值点求f (x)的解析式及其单调区间;(2)若直线y =b与曲线y = f (x)有三个交点，求b的取值

10、范围9.设函数 f(x)=x4 ax3 2x2 b(x R).(1)若函数f (x)仅在x = 0处有极值，求a的取值范围； 若对于任意的I -2,2 1,不等式f (x) _1在丨-1,11上恒成立，求b的取值范围.解；(1)求导函数可得严浪(4K2+3ax+4) ,1分)显然0不是方程牡+了 ax+4=0的根.为使f (x)仅在囂二0处有极值，必须4x2+3aK+40成立，(3分)所以鼻的取值范围是-备|.(6分)C 2)由务件aE -2, 2,可知4 = 9小从而4x2+3aK4-40恒成立*(&分)当试0时，f5 (x) 0.1 L1 分园此函数f (k)在-1，1上的最大值是f( 1

11、)与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的鼻-2, 2,不等式 (x) W1在-1,叮上恒成立,当且仅当fADi lA-D$=鷲一，则在区间(-T 3)上，tf Cx) 0, f CxJ为増函数*在区间t-a-l?十8)上，F (x) -4时，k. 3=x . j 则在区间(-, -a-1)上.“ 5) 0, f厲)为増函数； 在区间(3, +)上，ff 芷0时，f Hz)在区间0, 3)上的单调递増，在区间(乳4)上单调递减, 那么f (s)在区间th 4上的值域是【皿小(f (0) , f (4) ? f3)，而f ( 0) =- C 2a+3) &20, f3=a+6,那么f (x)在区

12、间g 4上的值域是-(2a+3)赵 a+6.XgW=(2+y)Z在区间【(b d上是増函熱且它在EiaD* 4上的值域是a2+y,/+亍)J,由干(盯+千)-(a+6) =a-a+7=( a-：)0442所以只须仅须(F+斗)-(a+6)G且QD,斗_3解得DV a C )T 匚HO, r.kO* 由 f ( k )二 0得-ks-Ex+ckO 由韦达定理知另一个极佰点为1 (或X=c-).2 25)由(*)式得即c=l十赤当cl时，k0；当0clBt k0时， (x)在-c)和(1, +)内是减函数，在(-c* 1)内是埴函数*=只1)=智=与0, m=f(-c)= +1=0,解得2 2(4

13、2)(ii) 当kV-2时，fG在(-F -c)和1, +)内是増函数，在(-匚，1)内是减函数.A f=f(-c)=0. 1A1)03/-w=_12t_= HL12J_LZ11 恒成立*2住+2)22(22) 2畑综上可知，所求k的取值范围为( -2)U J：, f3212.设函数f (x) = ax bx cx d的图像1上有两个极值点 P,Q ,其中P为坐标原点(1)当点Q的坐标为(1,2)时,求f (x)的解析式；当点Q在线段x y-5=0(1辽x3)上时，求曲线二的切线斜率的最大值.3. 导数应用之函数的零点题组1:1. 函数f(x) =3x-x2在区间-1,0内有没有零点？为什么？

14、2. 函数f (x) =2x - 3x的零点所在的一个区间是【】.A. (-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)3. 函数f (x)的零点与g(x) =4x 2x - 2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x)可以是【】A. f (x)二 ex -1B.f(x) =4x-12 1C.f(x)=(xT)D.f(x)=l n(x )4. 若 2 : a : 3 ： b : 4,且函数 f (x) = loga x x - b 的零点 Xo ：= (n,n 1)(n ：= Z),则 n =【】.A. 1B.2C.3D.4题组2:5. 设函数y = f(x)的图像在a,b上连续

15、，若满足,则方程f(x) = 0在a,b上有实根.16. 已知x0是函数f(X)=2x +的一个零点.若 “ (1,x0), x(x0c),则【】.1 -xa. f(x1): 0 , f (x2： 0B.f (xj： 0 , f (x?)0C. f(x1)0, f(x,：0D.f(x,)0, f(x,)017. 函数f (X) = X + 的零点个数为 .x2 38. 求证：函数f(x) =x2 -2在区间(0,2)内没有零点.x1题组3:9. 函数f (x x log2 x在区间(0,1)内是否有零点？为什么？10. 求证:函数f (x)二x4 -2x -1在区间-1,2内至少有两个零点.1

16、1. 求证:函数f (x) =(x-3)(x-8)-1有且只有两个零点.212. 求证:函数f (x) = In x - x x 1有且只有两个零点.13. 设函数f(x) =ax2bx c,若f(1)0, f(2) 0,则f (x)在区间(1,2)上的零点个数为【】A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个D.一个也没有14. 设m (1, ：),求证:函数f (x) = x -In( x - m)有且只有两个零点.15.判断函数f(x)=x2-lgx在区间(0,10)内的零点个数，并说明理由题组4:16. 设函数 fn(x)=xn x-1(n N ,n_2).1(1) 证明：fn(X)

17、在区间(一,1)内存在唯一的零点；21(2) 设Xn是fn(x)在(一,1)内的零点,判断数列X2,X3,|,Xj|的增减性.17. 设函数 f (x) = x2(a2)xalnx .(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；f(Xlx22)：o. 若方程f (x) = c有两个不等实根 洛必，求证：Q x2) 0 .218.设函数f(x) =21 nx，mxx有两个零点Xi,X2,求证19.设函数f(x)=lnx_ax有两个零点20.记函数x 心11!2X+2!n!(n N ),求证:当n为偶数时，方程fn(x) =0没有实数根;当n为奇数时，方程fn (x)二0有唯一实数根xn

18、,且xn 2 xn.、，XX2 X求与直线3x-y *2=0夹角为45 ,且与抛物线y =2x2相切的直线方程 设函数f(x)=sinx图像上动点P处切线的倾斜角为 r,求二的取值范围xn21.设函数 fn(x) - -1 冉歹 32 川 P (x R, n N ),123n2(1)证明：对每个n，N.,存在唯一的 ,1,满足fn(Xn)=0 ；31证明：对任意P N .,由中Xn构成的数列Xn满足0 ： Xn - Xn .p .n4. 导数应用之图像的切线题组1:1. 求平行于直线9x - y 7=0,且与曲线旳仝 3x2 -1相切的直线方程322. 求垂直于直线x-3y，2 = 0,且与曲

19、线y =x 3x -1相切的直线方程题组2 :5.求函数f(x) =2x3的图像C在点P(1,2)处的切线丨方程，以及曲线C与切线丨的所有交点坐标6.求函数f (x)二2x3的图像经过点P(1,2)的切线方程7.求函数f(x)=2x3的图像经过点P(1,10)的切线方程x + 98. 求经过坐标原点，且与函数f(x) = x 9的图像相切的直线方程x + 5b9. 设函数 f (x) =ax -一，曲线 C : y = f (x)在点(2，f(2)处的切线为 7x-4y-12 =0 .x(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 求证：曲线C上任意一点处的切线与直线y = x,以及y轴所围成三角

20、形的面积为定值.10. 已知直线2x 3 ln 2 =0是函数f (x) =1 n x 口的图像C的一条切线.x(1) 求f (x)的解析式；(2) 若P(s,t)是曲线C上的动点，求曲线C在点P处的切线纵截距的最小值.题组3:11. 已知直线y=x是函数f (x) =x3-3x2 ax-1图像的一条切线，求实数a的值.12. 已知a 0,且过点P(a,b)可作函数f(x)=x3-x图像的三条切线,证明：-a ： b ： f (a).1 3 1 213. 设函数f(x)x3ax2 bx c (a 0)的图像C在点P(0, f(0)处的切线为y=1.3 2(1) 确定b,c的值；(2) 设曲线

21、C 在 A(x1, f (x1),B(x2, f (x2)处的切线都过 Q(0, 2),证明:若 x x?,则 f (xj = f (x?)； 若过点Q(0, 2)可作曲线C的三条不同切线,求a的取值范围1 3 1 2-1,1), (1,3内各有一个极值点.14.已知函数f(x) x3 ax2 bx在区间3 22当a -4b=8时,设曲线C : y = f(x)在点求a2 -4b的最大值;A(1, f(1)处的切线I穿过曲线C (穿过是指：动点在点A附近沿曲线C运动，当经过点A时,从I的一侧进入另一侧),求f (x)的表达式.15.由坐标原点0(0,0)向曲线y=x33x2+x引切线，切于不同

22、于点 O的点P1(x1, y1),再由R引切 线切于不同于R的点P2(X22),如此继续下去，得到点Pn(xn,yn),求人半与人的关系，及的表达式.巩固练习：1. 求函数f(x)=2x3的图像经过点P(1,-8)的切线方程x +312. 求函数f(x) 2的图像经过点P(3,)的切线方程X2 +323. 如图，从点R(0, 0)作x轴的垂线交于曲线 y =ex于点Qd0, 1),曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2 ;再从B作x轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点：P, Q1, P2, Q2,R, Qn,记点 Pk 的坐标为 Pk(Xk, 0) (k=1,2,3川，n).

23、(1)求 xk 十与 Xk 之间的等量关系；(2)求 RQ1 +|PQ2 + P3Q3|+.+|PnQn .5. 导数应用之存在与任意a1.已知函数f(x)=x b(x = 0),其中a,bR .x(1)若曲线f (x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y=3x，1,求函数f(x)的解析式；11 若对于任意的a丄，2,不等式f(x)乞10在x,1恒成立，求b的取值范围.2 42.已知函数 f(x)二(1 x)2 -21 n(1 x).(1)求f (x)的单调区间；(2) 若f(x)：m对e=T,e-1恒成立，求m的取值范围;3.设函数f(x)二xl nxi(1)求f (x)的单调区间；(2

24、)若2x - x对(0,1)恒成立，求a的取值范围.2X24.已知函数 f (x) =ln (x 1)-x +1(1)求f (x)的单调区间；(2)右(1)- e对N .都成立，求：的最大值n5.设函数 f (x) = x(ex -1) - ax2.1(1)若a,求f (x)的单调区间；(2)若当x _0时，f (x) _0,求a的取值范围.6.设函数 f(x)二 ex _ax2 _x.(1)若a = 0 ,求f (x)的最小值；若当x_0时，f(x)_1恒成立，求a的取值范围.7. 设函数f(x)二ex -ax的图象与y轴交于点A,曲线y = f (x)在点A处的切线斜率为：-1.(1)求f

25、 (x)的极值；证明：当x 0时，x2 ex ； 证明：对任意给定的正数 c,总存在 怡,使得当x三ix0, ：,恒有x2 ： cex.8. 设函数 f (x)二 ax cosx,(1)讨论函数f (x)在区间0,二内的单调性； 若f (x) 1 sin X对X 0,二恒成立，求实数a的取值范围9. 设函数 f(X)二 xcosx -Si nx, x0,.2(1)求证:f (x) _0 ；sin x冗 若ab对x (0, )恒成立，求a的最大值与b的最小值.x210.已知函数 f(x) =(a 1)1 n x ax21,(1) 讨论函数f(x)的单调性；设a ： -1,且对任意的xj ,x2

26、(0,：),都有| f (捲)- f (x2) _ 4 | Xj - x2 |,求a的取值范围11.已知x =3是函数f(x) =(x2 ax b)e3的一个极值点.(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求函数f (x)的单调区间；25设a 0 , g(x) =(a2 )ex.若存在洛必0,4 1,使得f (xj - g(X2)： 1成立，求a的取值范围3 1 2 3712. 已知函数f(x)二ax xcosv-2x，c的图像过点(1,),且在-2,1上递减，在1：)上递增.2 6(1)求f (x)的解析式；45若对任意的捲丸wm,m+3都有f(N)- f (x?)兰孑成立，求正实数m的取值

27、范围.13m 213. 设函数 f (x) mx-(2 )x2 4x 1, g(x) = mx 5 .3 2(1)当m0时，求函数f (x)的递增区间； 是否存在负实数 m,使得对任意的x1,x 1,2,都有g(xj-f(x2)岂1 ?若存在,求m的范围；若不 存在，请说明理由.6. 导数应用之极值点偏移21. (1)设不同的两点 A(X1,y1), B(x2,y2)均在二次函数 f(X)二ax bx c ( ab- 0 )的图像上，记直线AB 的斜率为k ,求证：k = f律鱼)；2(2)设不同的两点 Ag, %), B(x2,y2)均在伪二次函数”g (x ax2 bx c l nx(ab

28、c = 0)的图像上,记直线AB的斜率为k,试问：k = g (2)还成立吗？2. 设函数 f (x) =ax (1 _2a)x _ln x (a R).(1) 当a 0时，求函数f (x)的单调递增区间；(2) 记函数y二f(x)的图像为曲线 C ,设A(xi,yi), B(X2,y2)是曲线C上不同的两点,M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线 C于点N .试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB ?3. 设函数 f (x) = x2-(a-2)x-alnx .(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；(3) 若方程f(x)=c有

29、两个不等实根x1, x2,求证:f (xi x2) 0 .24. 设函数 f(x) =21 nx mx-x2.(1)若曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y =2x n,求实数mn的值；若m -4,求证：当a b 0时，有丄縛 驴 -2 ； a b 若函数f(x)有两个零点X1,X2(X1 ：X2),且x0是X1,X2的等差中项，求证：fX)：。.5.设函数f (x) = ln x ax有两个零点x-i, x?,求证:X|X2 e .6.设函数f (x)二exax a的两个零点为x1,x2,求证:x1x2：x1x2.7.设函数 f(x)二 ex_ax,其中 a e, 求证：函

30、数f (x)有且仅有两个零点x1, x,且0 ： % ： 1 ： x2 ；(2)对于(1)中的 Xi, x,求证：f (Xi) - f (x,)0.8.设函数f(xex mx的图像在点P(0, f (0)处的切线方程为 2x - y 1 = 0 ,求证:对满足a ： b ： c的实数a,b,c,都有f(b) -f(a)baf 一 f(b)成立 cb第26页共20页7. 导数应用之不等式证明(1)11)1.证明：对任意的n e N +都有ln(-n2.已知 m, n N .,且 1 ： m ： n,求证:(1 m)n(1 n)m.13.设函数 f(x)- aln(x -1),(1 x)n当n=2时,求函数f(x)的极值；(2)当a =1时，证明：对任意的N .,当x_2时,都有f(x)乞x_1.4.已知函数f (x)二ex -aln(x 11在点P(0, f (0)处的切线垂直于 y轴,(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 当 m .n 0 时，求证：em-1 ln(m 1)-1 n(n 1).x5. 设函数 f(x)匚，且 f1(x) =f(x), fn 1(X)二 fn(x) (n N .).e(1) 求 f,X), f2(X), f3(X), fn(X)的解析式；(2) 求证：对任意的实数a,b,以及任意的正整数