高中数学：第一章 1.3.1 函数的单调性和最大值、最小值(21)

1、1x12 2maxminmax1x1xruizea 基础达标11函数 yx 在1，2上的最大值为( )xa0b.32c2d3解析：选 b.函数 yx 在1，2上是增函数，函数 y 在1，2上是增函数， 所以函数 yx 在1，2上是增函数x当 x2 时，1 3y 2 .2函数 yx22x2 在区间2，3上的最大值、最小值分别是( )a10，5 c5，1b10，1 d12，5解析：选 b.因为 yx22x2(x1)21，且 x2，3，所以当 x1 时，y1，当 x2 时，y (21)2110.故选 b.，x13(2018 河南林州一中期末考试)函数 f(x)x22，x1的最大值为( )a11c.2

2、b21d.3解析：选 b.当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，此时 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为f(1)1；当 x1 时，函数 f(x)x2 的最大值为 2，故选 b.2 在 x0 处取得最大值，最大值为 f(0)2.综上可得，f(x)4若函数 yax1 在1，2上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是( )a2 c2 或2b2d0解析：选 c.当 a0 时，由题意得 2a1(a1)2，即 a2；当 a0 时，a1(2a 1)2，所以 a2.综上 a2.5已知函数 f(x)x24xa，x0，1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为( )minmax3x1 21

3、 2 212121 2 1 1 2 2122 11 2 1 212ruizea1c1b0d2解析：选 c.因为 f(x)(x24x4)a4(x2)24a，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 x2.所以 f(x)在0，1上单调递增又因为 f(x)2，所以 f(0)2，即 a2.所以 f(x)f(1)1421.36函数 f(x)2 在区间1，3上的最大值是_x解析：因为 f(x)2 在1，3上为单调增函数，所以 f(x)的最大值为 f(3)211. 答案：17若函数 f(x)x26xm 在区间2，)上的最小值是3，则实数 m 的值为_解析：函数 f(x)x26xm 的对称轴是直线 x3，开口向上

4、，所以函数 f(x)在2，3上单 调递减，在(3，)上单调递增，故函数在 x3 处取得最小值，由 f(3)3263m3，解得 m6.故实数 m 的值为 6.答案：6x28求函数 yf(x) 在区间1，2上的最大值和最小值x3解：任取 x ，x ，且 1x x 2，则 f(x1x2 x2)f(x )x 3 x 3x2x 3x2x x23x2（x 3）（x 3）（x x ）3（x x ）x x （x 3）（x 3），1 21 21 21 2 2 1 122x212maxminruize因为 1x x 2，所以 2x x 4，即 63(x x )12，又 1x x 0，x 30，x 30.所以函数

5、y 在区间1，2上为减函数， x3y f(1) ，y9已知函数 f(x)x2f(2)4.2ax2，x5，5(1) 当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值(2) 若 yf(x)在区间5，5上是单调函数，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，f(x)x22x2(x1)21.因为 x5，5，故当 x1 时，f(x)取得最小值为 1，当 x5 时，f(x)取得最大值为 37.(2)函数 f(x)(xa)22a2 图象的对称轴为直线 xa.因为 f(x)在5，5上是单调的， 故a5 或a5.即实数 a 的取值范围是 a5 或 a5.b能力提升10已知函数 f(x)x24x5 在区间0，

6、m上的最大值为 5，最小值为 1，则 m 的取值范 围是( )a2，) c(，2b2，4 d0，2解析：选 b.f(x)x24x5(x2)21，x0，m由最小值为 1 知 m2.又最大值为 5，f(0)5，f(4)5.所以 2m4.故选 b.11设 f(x)为 yx6 和 yx24x6 中较小者，则函数 f(x)的最大值为_ruize解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知 f(x)的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为 6.答案：612某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 x(不 低于进价，单位：元)与日销售量 y(单位：件

7、)之间有如下关系：xy45275012(1) 确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 yf(x)(注明函数定义域)；(2) 若日销售利润为 p 元，根据(1)中的关系式写出 p 关于 x 的函数关系式，并指出当销售 单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？45ab27，解：(1)因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)，由表格得方程组 解得50ab12，a3，b162，所以 yf(x)3x162.又 y0，所以 30x54，故所求函数关系式为 y3x162，x30，54，xn.(2)由题意得，p(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 860，x30，54，xn.配方

8、得，p3(x42)2432，当 x42 时，最大的日销售利润 p432，即当销售单价为 42 元时，才能获得最大的日销 售利润13(选做题)已知函数 f(x)对任意 x，yr，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，1 21 22 12 12 2 1 12 1 12 1112 112ruize2f(1) .3(1) 求证：f(x)是 r 上的单调减函数；(2) 求 f(x)在3，3上的最小值解：(1)证明：设 x 和 x 是任意的两个实数，且 x 0，因为 x0 时，f(x)0， 所以 f(x x )0，又因为 x (x x )x ，所以 f(x 2)f(x x )x f(x x )f(x )，所以 f(x 2)f(x )f(x x )0，所以 f(x 2)f(x