容斥原理题库教师版

1、欢迎阅读7-7容斥原理教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.冷知识精讲知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算. 求两个集合并集的元素的个数，不能 简单地把两个集合的元素个数相加， 而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB=A，B-AriB（其中符号“.”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包 含与排除原理，简称容斥原理图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆

2、 的公共部分，记为：Ap|B，即阴影面积图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大 圆与小圆的公共部分，记为：AP1B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A Af意意思是把A B的一切元素都 “包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C二AP1B（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和二A类元素的个数 B类元素个数 C类元素个数-既是A类又 是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个

3、数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B 类、C类的元素个数.用符号表示为： A Ub Uc =A B c-aDb-bFIc - aDc 価Bn C .图示如 下：先包含:重叠部分了 1 次.再排除:在解答有关包含排除问题时,1.图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的 个数，大圆表示C的元素的个数.ABCA“B、BfC、CA重叠了 2次，多加A B C _AB _BPC _ AC 图 （韦恩图）来帮助分析思考.板块一、两量重叠问题例题精讲aPIbPIcABC- A|B -BflC -AC【例1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有【解析】两

4、个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分B，重叠部分恰C子是边长为2厘米的 正方形，如果利用两个4 2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在 两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆 盖面积二长方形面积之和-重叠部分.于是，被覆盖面积=4 2 2 -2 2 =12（平方厘米）.【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁 条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 53-4 =87（厘米）.【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接

5、成一根铁条.已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：23,37-3=：57（厘米）.【例2】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学 兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人 参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学 兴趣小组的人，A与B重合的部分C（阴影部分）表示同时参加两个小组的人.图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人， 有28 -12 =16（人）；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加

6、语文兴趣小组的人，有29 -12 =17（人）.方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 *17=45（人）.方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的 人-两个小组都参加的人，即：28 29-12 =45（人）.【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助 解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚. 建 议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义.如图，A圆表示学画

7、画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既 学钢琴又学画画的人，图中 A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：4337=6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：5837 =21（人）. 【例3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】不妨用下图来表示：线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段 DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数.根据题意，做完语文

8、作业的有37人，即AC =37 .做完数学作业的有42人，即DB = 42 .AC DB =37 42 =79（人）AB =48（人）式减式，就有 DC =79 48=31（人）所以，数学、语文作业都做完的有31人.【巩固】四年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛 中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因42 *34=76，76 63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了 一项活动，根据包含排除法知，42-34

9、 （完成了两项活动的人数）=全组人数，即76 （完 成了两项活动的人数）=63 .由减法运算法则知，完成两项活动的人数为 76 -63=13（人）.也可画图分析.【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018-7=21（人）.【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部

10、分表示同时参加两项比赛的人.图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 32-18=14（人）;图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛 不参加象棋比赛的人，有28-18=10（人）.由此得到参加棋类比 赛的人有14 18 10 =42（人）.或者根据包含排除法直接得：32 28-18 =42（人）.【例4】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人 懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只 懂俄语的有：90-75 =1

11、5（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的 83-15 =68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：A Ub =A B - aDb =75 83 -90 =68（人）.【巩固】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在95分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分 以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合 的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部 分表示两门都不在95分以上

12、的人数.由图中可以看出，全体人数是至少一门在 95分以上的人数 两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上人数为：4 7一 22 2（5人）.根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为： 14 21 25=10（人）.【巩固】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加 了.这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去 这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知，该班 至少参加了一个小组的总人数为12 *235 =30（人

13、）.所以，该班未参加美术或音乐小组的 人数是46 -30=16（人）.【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都 参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26-2212 =36（人），所以，两项比赛都没有参加的人数为：4536=9（人）.【巩固】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数.B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表 示两部分都有错的人

14、数.已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一 部分的有：25-12=13（人）.又因为第二部分有19人有错， 其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19-13=6（人）必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人.【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有 20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项 都不会的有9人.这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的 人数.由图中可以看出，全班人数 二至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20-25-10=

15、35（人），全班人数为：35 9 =44 （人）.【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 18人，既采了樱桃又采了杏的有 7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数.长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数.由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46-6=40（人），而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：40-18-7 = 15（人）. 【例6】甲、乙、丙三个小

16、组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是 乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了 60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻 璃？【解析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的, 说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃.因甲 乙两组共擦了 60块玻璃，那么68 52 -60 =60 （块），这是两个丙组擦的玻璃 数.602=30（块）.丙组擦了 30块玻璃.乙组擦了：68-30 = 38（块）玻璃，甲组擦了：52 -30=22（块）玻璃.【巩固】 育才小学画

17、展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的， 五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16,通过15幅 画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出 25幅画，进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有 3幅.【例7】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的o46求甲、乙都答对的题目数.【解析】（法一）设共有n道题。由右图知

18、 d即为所求，并有关系式a+c = n(1)4c b =3(2)c =(3)6由知，是4和6的公倍数，即12的倍数。将代入，有b = 3 -，6由于b是非负整数，所以 =12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=,得到d=n-（a+b+c）=8（法二）显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是 6、12、18,其中只有12,能使甲答错题目总数是整数.【例8】在1100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？【解析】 如图，用长方形表示1100的全部自然数，A圆表示1100中3的倍数，B圆表示1100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示-既不是3的倍数也

19、不是5的倍数的数.A B由100亠3=33|1可知，1100中3的倍数有33个；由100“5 = 20可 -_-知，110中5的倍数有20个；由100十（35 = 61110可知，1100既是 3的倍数又是5的倍数的数有6个.由包含排除法，3或5的倍数有：33 *20-6 = 47（个）.从而不是3的倍数也不是5的倍数的 数有 100 -47 =53（个）.【巩固】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？【解析】11000之间，5的倍数有I000 =200个，7的倍数有I000 =142个，因为既是5的倍数, IL 5 .IL 7又是7的倍数的数一定是35的倍

20、数，所以这样的数有 I000 =28个.1 35所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。【解析】记A : 1100中3的倍数，100一 3 =3311川|1，有33个;B: 1 100 中 7 的倍数，100 7 F4I 川 112，有 14个;A B : 1100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021 =41川1116，有4个依据公式，1100中3的倍数或7的倍数共有33 74-4 = 43个，则能被3或7整除的数的 个数为43个.【巩固】50名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右

21、按1, 2, 3,，49, 50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面 向老师的同学还有多少名？【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍 数.150之间，4的倍数有50 =12,6的倍数有50 =8,即是4的倍数又是6的倍数的数一定146是12的倍数，所以有50 =4.于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，12所以现在共有34+4=38名同学面向老师.【巩固】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖

22、品的 规则如下：(1) 标签号为2的倍数，奖2支铅笔；(2) 标签号为3的倍数，奖3支铅笔；(3) 标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；(4) 其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【解析】1100, 2的倍数有匹1=50, 3的倍数有2 1=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍I 2| 3 一数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有100 =16个.于是，既不是2的倍数，又6/ 严 W E L不是3的倍数的数在1100中有100-50-33+16=33 .所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50 X 2+33X 3+33X 1=232 支.板块

23、二、三量重叠问题【例9】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而 手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝 两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相力，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：(34 26 18 (9 4 3 - 6 2=5

24、0(人).【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢 足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不 爱好.问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好， 所以全班至少爱好一种球的有42人.根据包含排除法，42 （26 17 19）（9 4 -既爱打篮球又爱打排球的人数）-0 ,得到既爱打篮球又爱 打排球的人数为：49 42=7 （人）【例10】四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组，20人参加了 语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文

25、艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7 倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.【解析】设参加数学小组的学生组成集合 A,参加语文小组的学生组成集合 B,参加文艺小组的学 生组成集合G.三者都参加的学生有 z人.有AUBUC|=46, |A=24，I耳=20，|q=3.5， Anq=7|AnBg，|b2|=护社2|，|1=10.因为 AUBUC = A B C 一 A 一 Ag |BCC C， 所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，即三者的都参加的有3人.那么参加文

26、艺小组的有3 7=21人.【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项.其中.有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12_-人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同.时又参加语文兴趣小组的有 9人，语文、美术、自然3科兴趣,小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合 A,参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣 小组的人组成集合C.|A=25, B|=35, C =27,bDc|=12, |ApB| =8 ,卜门C|=9,|Ap| Bg=4.|aUbUc=|

27、a| + |b|+|c| |aRb卜|AnC|Bnc|+|An bDc| .所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项.即这个班有62人.【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中 24人参加了绘画小组，20人参加 了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项 都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。【解析】设三项都参加的人数有 X人，则参加朗诵小组的人数为 7X人，参加绘画小组

28、又参加朗诵 小组的人数为2X人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X人，于是有46=（24+20+7X- 2X-2X-10+X），解得X=3,所以参加朗诵小组的人数为 21人。【例11】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片 共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是 100 厘米.问：图中阴影部分面积之和是多少？【解析】将图中的三个圆标上A、B、C .根据包含排除法，三个纸片盖住 桌面的总面积=（A圆面积B圆面积C圆面积）-（A与B重合部分 面积A与C重合部分面积 B与C重合部分面积 厂三个纸片共同重叠的面积，得：100 （50 50 50）（ A与B

29、重合部分面积 A与C重合部分面积 B与C重合部分面积） 10，得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：160-100 = 60平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60=10 3 阴影部分面积，则阴影部分面积为：60 30 =30（平方厘米）【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与 丙重合部分的面积分别为6, 8, 5,而3个圆覆盖的总面积为73.求 阴影部分的面积.【解析】设甲圆组成集合A,乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.|A|=|B|=|C|=30, |ADB|=6, |BDC|=8, |ADC|=5, |AUB

30、UC|=73, 而卜 ubuc|=iab卜 C|An B|_|BnC|_|Anq+|AnB nq.有73=30X 3-6-8-5+ |A门叩。，即|Ap| BP|C|=2，即甲、乙、丙三者的公共面积（部分 面积）为2 那么只是甲与乙（），乙与丙（），甲与丙（）的公共的面积依次为6-2=4 ,/8-2=6 , 5-2=3，所以有阴影部分（、部分之和 ）的面积为73-4-6-3-2=58 .【例12】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60平 方厘米阴影部分的面积总和是 40平方厘米，3张板盖住的总面积是 100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【解析】阴影部分

31、是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次.所以三张纸重叠部分的面积 （60 3-100-40） 2=20（平方厘米）.【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起,露在外面的总面积为38 .若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7 , A、B、C这三张纸片的公共部分为3 .求A与C公共部分的面积是多少？其中6个人带了汉堡【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得： 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12 28 156 , 那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了 1次，因此 要排除掉. 再“排除”

32、：56-8-7-x，这样一来，三个图形的公共部分 被全部减掉，因此还要再补回. 再“包含” ：56-8-7-x，这就是三张纸片覆盖的面积. 根据上面的分析得：56-8-7-x+3=38，解得：x = 6.【例13】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的,6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡 腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问： 三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？带 糕 即的10_（3 + 2+1 = 4（人）.只【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示 带芝士蛋糕的人. 根据包含排

33、除法，总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数- 芝士蛋糕的人数）-（带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋 的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数 厂三种都带了的人数，10 -（6 +6 +4）-（3+2+1 +三种都带了的人数，得三种都带了 人数为：10-10=0（人）. 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即带了一种的有4人.【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表： 要可乐、雪碧、 橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的 有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.【解析】根据根据包含排除法，至少

34、要了一种饮料的人数=（要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数）-（要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数）三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：（55 5（322）1=9（人）.10一9=1（人），所以其中有1人这三种饮料都没有要.【例14】（2008年西城实验考题）新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演 出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加 合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么， 同时参加了演奏

35、、合唱但没有参加跳舞的有 人.【巩固】 设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参 力卩了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50 10 = 40人，即x 340，得x=10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人， 又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7人”得到同时参加三项的有3人，所 以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：40一10一10一3 = 17人.【巩固】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数 学与语文小组的人数等于仅参加

36、数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小 组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为 0的偶数， 那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【解析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文 与自然小组的人数则大于等于 20,而仅参加数学与自然小组的人有 6个，这样至少应 有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2。仅参加语文与自然小组的人数 为10,于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与

37、语文以及仅参加数学的。由于这两个人数相等，所 以仅参加数学和语文小组的有5人。育55人 17文艺56人【巩固】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、 标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人 中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出 多少人参加比赛？科学51【解析】由条件可知，参加长跑的人中有 2人参加其它项目，参加跳高的人 中有3人参加其它项目，参加标枪的人中有 4人还参加别的项目， 假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只参加长跑和标枪的人数为y， 只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人

38、那么有以下方程 组：由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人 参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人那 么有以下方程组：将3条等式相加则有2 （x+y+z） +3n=9,由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n 只能是1或3、5、7，如果n3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 X仁40人.将3条等式相加则有2 （x+y+z） +3n=9,由这个等式可

39、以得到，n必须是奇数，所以，n 只能是1或3、5、7，如果n3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 X仁40人.【例15】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没 有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班 有6个人数学不及格，那么，欢迎阅读【例16】数学成绩优秀的有几个学生？【例17】有几个人既会游泳，又会滑冰？【解析】有6个数学不及格，那么及格的有：25 6=19（人），即最多不会超过19人会这三项运动 之一.而又因

40、为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17 13 8） 2=19（人）至少会这三项运动之一.于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了 19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的.上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以，全班有19 17 = 2（人）既会游泳又会滑冰.【巩固】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有 A、B、C、D、E五个小组， 若参加A组的有15人

41、，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E 组的人数最少，只有4人.那么，参加B组的有 .【解析】参加B，C，D三组的总人数是36154=17（人），C，D每组至少5人，当C，D每组6人 时，B组为5人，不符合题意，所以参加B组的有17一5一5=7（人）.【例18】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【解析】以105为分母的最简真分数的分子与 105互质，105=3X 5X 7,所以也是求1到105不是3、 5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍 数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个

42、，所以105以内与105 互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果 n与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为24.【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【解析】385=5 X 7X 11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被 11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有 7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-仁240.对 于某个分数a/385

43、如果是最简真分数的话，那么（385-a） /385也是最简真分数，所以最 简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【例19】（2008年西城实验考题）在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍 数的数共有个.【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有2008 =133个，3和7的倍数有2008 =95_ 15 .IL 21个，5和7的倍数有2008 =57个，3、5和7的倍数有 哋 =19个.所以，恰好是3、5、_ 35_1057中两个数的倍数的共有133-19 95-19 57-19=228个.【巩固】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线

44、开关控制着，现按其顺序编号为1, 2, 3,，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最 后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？【解析】三次拉完后，亮着的灯包括不是 2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30 的倍数的数。12000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的 倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数 有 66 个，亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2 X（ 333+200+133 -4 X 66=1002盏。【巩

45、固】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？欢迎阅读【解析】b表示取商的整数部分例如，7 =3 要注意的是，符号与、一、“符号一样, 也是一种运算，叫取整运算._本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被 2和3、能被2和7分别整除 的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被 2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数.故能被2整除的有：1998-2=999（个）.能被2和3同时整除的有：1998 （2 3 =333（个）.能被2和7同时整除的有

46、：1998 （2 7 =142 .能被2、3、7同时整除的有：1998 （2 3 7 =47（个）.所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有999-333-142 *47=571（个）.练习1.课后练习一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部日【解析】练习2.【解析】练习3.【解析】练习4.【解析】分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积. 两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠 部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积 之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面 积中各被计算了一次，而实际上这部分

47、只需计算一次就可以 了.所以，组合图形的面积 二长方形面积之和-重叠部分.于 是，组合图形的面积=12 8 10 6 -4 4 =140（平方厘米）.科技活动小组有55人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好-艘舰艇的同学有32人.每个同学都至少完成了一项制作.问两 项制作都完成的同学有多少人？ 因为40*32=72，72 55，所以必有人两项制作都完成了 .由于 每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组 人数=40, 32 -完成了两项制作的人数，即55=72 -完成了两项制作的人数.所以，完成了 两项制作的人数为：72 -55=17（人）.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 如图所示，有能被3整除的数，C为前