数学建模代数方程和差分方程模型

1、6.1 投入产出模型投入产出模型 6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建 6.3 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计 6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动 6.6 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 第六章第六章 代数方程与差分方程模型代数方程与差分方程模型 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系，国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系， 每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入） 变为自己的产品（产出）变为自己的产品（产出）. 根据各部门间投入和产出的平衡

2、关系，确定各部根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部 门的产出水平以满足社会的需求门的产出水平以满足社会的需求 . 20世纪世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合， 应用领域不断扩大应用领域不断扩大 . 6.1 投入产出模型投入产出模型 背景背景 建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用. 投入产出表投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产出产出 投

3、入投入 农业农业工业工业建筑建筑 业业 运输运输 邮电邮电 批零批零 餐饮餐饮 其他其他 服务服务 外部外部 需求需求 总产出总产出 农业农业464788229131271312842918 工业工业499860514444035571223408316814 建筑业建筑业593202312426912875 运输邮电运输邮电62527128163671464771570 批零餐饮批零餐饮79749140431302739272341 其他服务其他服务146128527222521954227255414 初始投入初始投入1663485165970312183093 总投入总投入2918168

4、142875157023415414 中国中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）年投入产出表（产值单位：亿元） 直接消耗系数表直接消耗系数表 产出产出 投入投入 农业农业工业工业建筑业建筑业运输邮电运输邮电批零餐饮批零餐饮其他服务其他服务 农业农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002 工业工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226 建筑业建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023 运输邮电运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027 批零餐饮批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.05

5、60.050 其他服务其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100 一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国中国2002年直接消耗系数表年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到由投入产出表直接得到 农业每农业每1亿元产出直接消耗亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品亿元农业产品 直接消耗直接消耗0.171亿元工业产品亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系反映国民经济各个部门之间的投入产出关系 投入产出的数学模型投入产出的数学模型 xi第第i部门的总产出部门的总产出di对第对第i部门的外部需求部门的外部需求 xij第第

6、i部门对第部门对第j部门的投入部门的投入 aij直接消耗系数直接消耗系数第第j部门单位产出部门单位产出 对第对第i部门的直接消耗部门的直接消耗 xij第第j部门总产出对第部门总产出对第i部门的直接消耗部门的直接消耗 每个部门的总产出等于总投入每个部门的总产出等于总投入 xj第第j部门的总投入部门的总投入 设共有设共有n个部门个部门 技术水平没有明显提高技术水平没有明显提高 模型应用模型应用 假设直接消耗系数不变假设直接消耗系数不变 问题问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮 电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1

7、500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元亿元, 问这问这6个部门的总产个部门的总产 出分别应为多少？出分别应为多少？ d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表给出由直接消耗系数表给出 6个部门的总产出个部门的总产出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）（亿元）. 求解求解 模型应用模型应用 总产出对外部需求线性总产出对外部需求线性 dd增加增加1个单位个单位 x的增量的增量 若农业的外部需求增加若农业的外部需求增加1单位单位 x为为 的第的第1列列 6个部门的总产出

8、分别增加个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624， 0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位单位. 问题问题2 如果如果6个部门的外部需求分别增加个部门的外部需求分别增加1个单位个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？问它们的总产出应分别增加多少？ 求解求解 其余外部需求增加其余外部需求增加1单位单位 x为为 的其余各列的其余各列 6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建 CT(计算机断层成像计算机断层成像 )技术是技术是20世纪世纪50至至70年代由年代由 美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的. 1971年第一代供

9、临床应用的年第一代供临床应用的CT设备问世设备问世. 螺旋式螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用机等新型设备被医疗机构普遍采用. CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测 等领域也得到了广泛的应用等领域也得到了广泛的应用. 背景背景 什么是什么是CT，它与传统的，它与传统的X射线成像有什么区别？射线成像有什么区别？ No Image 光源光源 人眼人眼 光源光源 人眼人眼 一个半透明物体嵌入一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球个不同透明度的球 概念图示概念图示 单方向观察无法确定单方向观察无法确定 球的数目和透明度球的数目和透明度 让物体旋转从多角度

10、观察能让物体旋转从多角度观察能 分辨出分辨出5个球及各自的透明度个球及各自的透明度 人体内脏人体内脏 胶胶 片片 传统的传统的X射线成像原理射线成像原理 CT技术原理技术原理 探探 测测 器器 X 射射 线线 X 光光 管管 人体内脏人体内脏 CT技术技术: 在不同深度的断面上在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接从各个角度用探测器接 收旋转的收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线; 经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建. 图像图像 重建重建 X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重

11、建的数学原理 射线强度的衰减射线强度的衰减 率与强度成正比率与强度成正比. I射线强度射线强度 l物质在射线方向的厚度物质在射线方向的厚度 物质对射线的衰减系数物质对射线的衰减系数 I0入射强度入射强度 射线沿直线射线沿直线L穿行穿行, 穿过由穿过由 不同衰减系数的物质组成的不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体非均匀物体(人体器官人体器官). I0 L 0 y x (x, y) No Image X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重建的数学原理 右端数值可从右端数值可从CT 的测量数据得到的测量数据得到 多条直线多条直线L的线积分的线积分 被积函数被积函数(x, y) FQ(

12、q)与与Q相距相距q的直线的直线L的线积分的线积分Pf(L)对所有对所有q的平均值的平均值 拉东变换拉东变换 拉东逆变换拉东逆变换 图像图像 重建重建 反映人体器官大小、形状、密度的图像反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学数学 原理原理 实际上只能在有限条直线上得到投影实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分线积分). 图像重建在数学方法上的进展，为图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个技术在各个 领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件. 图像重建的代数模型图像重建的代数模型 lj 每个像素对射线的衰减系数是常数每个像素对射线的衰减系数是常数

13、 m个像素个像素(j=1, m), n束射线束射线(i=1,n) Li的强度测量数据的强度测量数据 j像素像素j的衰减系数的衰减系数 lj射线在像素射线在像素j中的穿行长度中的穿行长度 J(Li)射线射线Li穿过的像素穿过的像素j的集合的集合 像素像素j 射线射线Li No Image j Li lij 图像重建的代数模型图像重建的代数模型 常用算法常用算法 设像素的边长和射线的宽度均为设像素的边长和射线的宽度均为 中心线法中心线法 aij射线射线Li的中心线在像素的中心线在像素j内的内的 长度长度lij与与之比之比. 面积法面积法 aij射线射线Li的中心线在像素的中心线在像素j内的面积内的

14、面积sij与与之比之比. sij 中心法中心法 aij=1射线射线Li经过像素经过像素j的中心点的中心点. 图像重建的代数模型图像重建的代数模型 中心法的简化形式中心法的简化形式 假定射线的宽度为零假定射线的宽度为零, 间距间距 aij=1 Li经过像素经过像素j内任一点内任一点 987 654 321 L4 L8 L7 L6 L5 L3 L2 L1 根据根据A和和b, 由由 确定像素的衰减系数向量确定像素的衰减系数向量x m和和n很大且很大且m n, 方程有无穷多解方程有无穷多解 + 测量误差和噪声测量误差和噪声 在在x和和e满足的最优准则下估计满足的最优准则下估计x 代数重建技术代数重建技

15、术(ART) 6.3 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计 1945年年7月月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界震惊世界! 当时资料是保密的当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力无法准确估计爆炸的威力. 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2千吨千吨. 后来公布爆炸实际后来公布爆炸实际 释放的能量释放的能量21千吨千吨 t(ms)r(m)t(ms)r(

16、m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m) 0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.5 0.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.0 0.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.0 0.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.0 0.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0 泰勒测量：泰勒测量： 时刻时刻t 所对应的所对应的“蘑菇云蘑菇云”的半的半 径径r 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量

17、估计 爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远. 冲击波由爆炸形成的冲击波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出来反映出来. 泰勒用量纲分析方法建立数学模型泰勒用量纲分析方法建立数学模型, 辅以小型试验辅以小型试验, 又利用测量数据对爆炸的能量进行估计又利用测量数据对爆炸的能量进行估计. 物物 理理 量量 的的 量量 纲纲 长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l 质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m 时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t 动力学中动力学中 基

18、本量纲基本量纲 L, M, T 速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1 导出量纲导出量纲 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2 力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2 引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k 对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0) 量纲齐次原则量纲齐次原则 =fl2m-2=L3M-1T-2 在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则, 确定各物理量之间的关系确定各物理量之间的关系. 量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致 量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原

19、则寻求物理量之间的关系. 例：单摆运动例：单摆运动 l mg m 求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式 设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 (1)的量纲表达式的量纲表达式 与与 对比对比 对对 x,y,z的两组量测值的两组量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 为什么假设这种形式为什么假设这种形式? 设设p= f(x,y,z) x,y,z的量纲单的量纲单 位缩小位缩小a,b,c倍倍 p= f(x,y,z)的形式

20、为的形式为 量纲齐量纲齐 次原则次原则 单摆运动单摆运动 000201 001010100 4 321 )( )()()( TMLTML TMLTMLTML y yyy 0002 41243 TMLTML yyyyy 201 001 010 100 TMLg TMLl TMLm TMLt 单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf 02 0 0 41 2 43 yy y yy glt 12 )/(glt 4321 yyyy glmt y1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量 0)(F T ) 1, 1, 0, 2( T yyyyy),(

21、 4321 基本解基本解 设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXq n i a ij ij , 2 , 1, 1 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定. Pi定理定理 (Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是是 基本量纲基本量纲, n m, q1, q2, qm 的量纲可表为的量纲可表为 , mnij aA 量纲矩阵记作量纲矩阵记作rrankA若 线性齐次方程组线性齐次方程

22、组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作 m j y js sj q 1 为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且 则则 记爆炸能量为记爆炸能量为E，将，将“蘑菇云蘑菇云”近似看成一个球近似看成一个球 形形. 时刻时刻 t 球的半径为球的半径为 rt, E 空气密度空气密度, 大气压强大气压强P 基本量纲：基本量纲：L, M, T 21 3 22 ; ; ; ; MTLP ML MTLE TtLr ),(PEtr 原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 r与哪些因素有关？与哪些因素有关？ r t E P 20210 11100 1

23、3201 53 A L M T 量纲矩阵量纲矩阵 0),(PEtrf y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T 原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 rARank 3ARank 5/1 2 5/15/15/2 1 Et rErt 5/1 32 56 5/35/25/6 2 E Pt PEt 0),( 21 F 5/1 32 56 5/1 2 E Pt Et r T yyyyyyAy),(, 0 54321 有有2个基本解个基本解 5/1 32 56 5/1 2 E PtEt r 两个无两个无 量纲量量纲量 原子

24、弹爆炸能量估计的数值计算原子弹爆炸能量估计的数值计算 5/ 1 32 56 5/ 1 2 E PtEt r 时间时间 t 非常短非常短 能量能量 E 非常大非常大 )0( 5/1 32 56 E Pt 泰勒泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议根据一些小型爆炸试验的数据建议 1)0( 5/1 2 Et r 用用r, t 的实际数据做平均的实际数据做平均 空气密度空气密度 =1.25 (kg/m3) 1千吨千吨(TNT能量能量) = 4.184*1012焦尔焦尔 2 5 t r E E=19.7957 (千吨千吨) E=8.28251013(焦耳焦耳) 实际值实际值21千吨千吨 泰勒的泰勒的计算计算

25、 5/1 2 Et r t r 最小二乘法拟合最小二乘法拟合 r=atb E tr 101010 log 5 1 log 5 2 log E=8.02761013 (焦耳焦耳)即即19.2千吨千吨 取取y平均值得平均值得c=6.9038 E ctrycy 101010 log 2 1 ,loglog 2 5 , 模型检验模型检验 b=0.40582/5 量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的. 基本量纲个数基本量纲个数n;

26、选哪些基本量纲选哪些基本量纲. 有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普适性方法的普适性 函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定. 不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识. 物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g . 0),(fsvlg 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 物理模拟物理模拟: 按照一定的比例尺寸构造它的物理模型按照一定的比例尺寸构造它的物理模型, 通过对模型的研究得出原型的结果通过

27、对模型的研究得出原型的结果. 量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定. 0),(fsvlg 物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 slgvlglf 2 3 2/12/1 2 113 1 , 定理定理 2 3232 3 ,),( l s gl v glf待定， 0),( 321 F 2 3232 3 ,),( l s lg v glf 同上， 原型船原型船 模型船模型船 gvlsf, 模型船的模型船的 均已知均已知 gvls,当原型船的当原型船的 给定后计算给定后计算 f 物理物理 模拟模拟 gg l l v v 2 )( l l

28、 s s 2 32 32 3 , ),( l s gl v glf 物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 原原 型型 船船 模模 型型 船船 模拟模拟 条件条件 量测模型船阻力量测模型船阻力f，可计算，可计算 f. 按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造 模型船模型船, 并调节船速并调节船速. 无量纲化示例：火箭发射无量纲化示例：火箭发射 2 21 1 )(rx mm kxm vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 ),;(gvrtxx m1 m2 x r v 0 g 星球表面竖直发射火箭。初速星球表面竖直发射火箭。初速v, 星星 球半径球半径r, 星球

29、表面重力加速度星球表面重力加速度g. 研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律 )0( xg x grkm 2 2 3个独立参数个独立参数 用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数 x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2 变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲 用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别 构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲 的的xc, tc （特征

30、尺度）（特征尺度） 无量纲变量无量纲变量tx , vrtrx cc /, 如如 ),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量, tx将被简化将被简化 cc t t t x x x, 令令 xc, tc的不同构造的不同构造 vrtrx cc /,1）令 cc t t t x x x, x r v t d xd r v x xv t d xd vx 2 2 22 ),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量 rvttrxx/,/ 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数 的不同简化结果的不同简

31、化结果),;(gvrtxx , )( 2 2 rx gr x vx x )0( , 0)0( gvtgvx cc /,/ 2 3）令 ),;(gvrtxx 1000 1 1 2 2 )(,)( , )( xx rg v x x );(txx 为无量纲量为无量纲量 ),;(gvrtxx grtrx cc /, 2）令 rg v x x x x 2 2 0 00 1 1 ,)( )( )( );(txx 为无量纲量为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数 )/(80008 . 9106370 3 smrg 1) 2) 3) 的共同点的共同点 只含只含1个参数个参数无

32、量纲量无量纲量 );(txx 解解 1) 2) 3) 的重要差别的重要差别 rg v 2 考察无量纲量考察无量纲量 v1 在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？ 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 1) 忽略忽略 项项 无解无解 x不能忽略不能忽略 项项 1)0(, 0)0( , 0 ) 1( 1 2 xx x 无量纲无量纲 化方法化方法 t t tx 2 )( 2 1) 0(, 0) 0( , 1 xx x 0)0(, 0)0( , ) 1( 1 2 xx x x rg v x x x x 2 2 ,)0( 0)0(

33、)1( 1 2) 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 3) 忽略忽略 项项 0)(tx 不能忽略不能忽略 项项 忽略忽略 项项 0)(tx 1) 2) 3) 的重要差别的重要差别 无量纲无量纲 化方法化方法 vx x gx )0( 0)0( , 2 )() 3 2 t t tx gvtgvx cc /,/ 2 cc t t t x x x, vtgttx 2 2 1 )( 火箭发射过程火箭发射过程 中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 原原 问问 题题 可以忽略可以忽略 项项 vtgttx

34、 2 2 1 )( 是原问题是原问题 的近似解的近似解 1) 2) 3) 的重要差别的重要差别 无量纲化方法无量纲化方法 为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1) 2)不能不能? vrtrx cc /,1）令）令 grtrx cc /, 2）令）令 gvtgvx cc /,/ 2 3）令）令 火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g, 高度为高度为v2/2g, cc tttxxx/,/ 大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度 )1( 项可以忽略项可以忽略 c xx 1,tx )1(项不能忽略项不能忽略 无量纲化方法无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨

35、论见：林家翘著选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著 自然科学中确定性问题的应用数学自然科学中确定性问题的应用数学 无无 量量 纲纲 化化 无量纲化是研究物理问题常用的数学方法无量纲化是研究物理问题常用的数学方法. 选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验. 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数恰当地选择特征尺度可以减少独立参数 个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素. 6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 问问 题题 供大于求供大于求 现现 象象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋

36、向稳定? 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定? 价格下降价格下降减少产量减少产量 增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律. 商品数量与价格在振荡商品数量与价格在振荡 蛛蛛 网网 模模 型型 g x0 y0P0 f x y 0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格. 消费者的需求关系消费者的需求关系)( kk xfy 生产者的供应关系生产者的供应关系 减函数减函数 增函数增函数 需求函数需求函数 f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点

37、 一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )( 1kk yhx )( 1 kk xgy 供应函数供应函数 x y 0 f g y0 x0 P0 设设x1偏离偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是稳定平衡点是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点 gf KK x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy 00, yyxx kk 曲线斜率曲线斜率 蛛蛛 网网 模模 型型 0321 PPPP )

38、( kk xfy )( 1kk yhx 在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx kk )( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx k k 1 P0稳定稳定 P0不稳定不稳定 0 xxk k x f K g K/1 )/ 1( )/ 1( 1 方方 程程 模模 型型 gf KK gf KK 方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致 )( 00 xxyy kk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度 )( 001 yyxx kk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供

39、应的增量供应的增量 考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 结果解释结果解释 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格. 1经济稳定经济稳定 结果解释结果解释 经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法 1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变 2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f

40、x y 0 x0 g f 结果解释结果解释 需求曲线变为水平需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直 2/ )( 0101 yyyxx kkk 模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量的价格决定下一时段的产量. )( 00 xxyy kk 生产者管理水平提高生产者管理水平提高 设供应函数为设供应函数为 需求函数不变需求函数不变 , 2 , 1,)1 (22 012 kxxxx kkk 二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件 )( 1

41、kk yhx 2 1 1 kk k yy hx 4 8)( 2 2, 1 012 )1 (22xxxx kkk 方程通解方程通解 kk k ccx 2211 (c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 02 2 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:1 2,1 2平衡点稳定条件平衡点稳定条件 比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了!1 2 2, 1 模型的推广模型的推广 6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动 背背 景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持. 通过控制饮食和适当的

42、运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标. 分分 析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起. 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加. 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少. 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖. 模型假设模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡千卡 增加体重增加体重1千克；千克； 2）代谢引起的体重减

43、少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每千克每周每千克 体重消耗体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70 千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关；有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克千克, 每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡千卡. 某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥

44、至体重维持不变。现欲减肥至75千克千克. 第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少千克，每周吸收热量逐渐减少, 直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标. 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划. 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划）在不运动的情况下安排一个两阶段计划. 减肥计划减肥计划 3）给出达到目标后维持体重的方案）给出达到目标后维持体重的方案. )()1()()1(kwkckwkw 确定某甲的代谢消耗系数

45、确定某甲的代谢消耗系数 即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡 基本模型基本模型 w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异) 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变 wcww025. 0 1008000 20000 w c =1/8000(千克千克/千卡千卡) 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡 1) 1()(kwkw k20012000

46、 )() 1()() 1(kwkckwkw 第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克 kwkw)0()( 910200120001,)(kkkc吸收热量为吸收热量为 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 1)( 1 )1(kwkc 10000 m C 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 )() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型 nnkwkw求，要求已知75)(,90)( 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克千克. 运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或