圆切线证明方法

1、切线证明法切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论 : 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 切线的性质定理的推论 : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理 : 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线， 如果已知直线过圆上的某一个点， 那么作出 过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1】如图 1，已知 AB为 O的直径，点 D 在 AB的延长线上， BDOB， 点 C在圆上， CAB30o求证： DC 是O

2、的切线思路：要想证明 DC 是O 的切线，只要我们连接 OC，证明 OCD90o 即可证明：连接 OC，BCAB为O 的直径， ACB90o1 CAB30o， BC AB OB21BDOB，BC OD OCD90o2DC 是O 的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意 “经过 半径的外端 ”和 “垂直于这条半径 ”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线例 2】如图 2，已知 AB为 O的直径，过点 B作 O的切线 BC，连接 OC，弦 ADOC求证： CD 是O 的切线B思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线 是圆的切线 也就是既要注意运用圆的切线的性

3、质定理， 又要运 用圆的切线的判定定理欲证明 CD 是O 的切线，只要证明 ODC90o即可证明：连接 ODOCAD， 13， 2 4OAOD， 1 2 3 4 又OBOD，OCOC， OBC ODC OBC ODCBC是O 的切线， OBC90o ODC90o DC 是O 的切线【例 3】如图 2，已知 AB为O的直径， C为O上一点， AD和过 C点的 切线互相垂直，垂足为 D求证： AC 平分 DAB图3思路：利用圆的切线的性质 与圆的切线垂直于过切点 的半径证明：连接 OCCD是 O的切线， OCCDADCD， OCAD 1 2OCOA， 1 3 2 3AC 平分 DAB【评析】已知一

4、条直线是某圆的切线时， 切线的位置一般是确定的 在解决 有关圆的切线问题时， 辅助线常常是连接圆心与切点， 得到半径， 那么半径垂直 切线例 4】 如图 1， B、C是 O 上的点，线段 AB 经过圆心 O，连接 AC、BC，过点 C 作 CDAB 于 D，ACD=2BAC 是O 的切线吗？为什么？ 解： AC是O 的切线理由：连接 OC，AB 是的直径， D 是 ABOC=OB， OCB=BCOD 是BOC 的外角， COD=OCB+B=2B ACD=2B， ACD=COD CDAB 于 D， DCO+COD=90 DCO+ACD=90 即 OC ACC为 O 上的点， AC是O 的切线例

5、5 】 如图 2 ，已知是 ABC 的外接圆， 的延长线上的一点， AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是O 的切线证明：连接 OC，则 OA=OC， CAO=ACO，AC 平分 EAB， EAC=CAO= AC， AECO， 又 AE DE， CODE，DE 是O 的切线、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段， 证明此垂线段的长等于半径例 6】 如图 3，AB=AC，OB=OC，O与 AB边相切于点 D证明 :连接 OD，作 OEAC，垂足为 E AB=ACO, B=OCAO为 BAC角平分线， DAO= EAO O与 AB 相切于点 D，

6、 BDO=CEO=90 AO=AO ADO AEO，所以 OE=OD OD 是 O的半径， OE是O 的半径O与 AC 边相切例 7】 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O交 BC 于 D，交AC于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与 O 相切. 证明： 连结 OE，AD.AB 是O 的直径，AD BC.又 AB=BC ，3=4.BD=DE ， 1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）.OBF=OEF.BF 与O 相切，OBBF.OEF=900.EF与O 相切.说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 8 】如图， AD

7、 是 BAC 的平分线， P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD. 求证： PA与O 相切.证明一： 作直径 AE ，连结 EC.PA=PD， 2= 1+DAC.AD 是BAC 的平分线， DAB= DAC. 2=B+ DAB ， 1=B. 又 B=E，1=EAE 是O 的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即 OAPA.PA与O 相切.证明二：延长 AD交O于E，连结 OA，OE.AD 是 BAC 的平分线，BE=CE，OEBC. E+BDE=900.OA=OE， E=1.PA=PD， PAD= PDA.又 PDA=BDE, 1+ PAD=900 即 OA PA

8、.PA与O 相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例 9】如图， AB=AC ，AB 是O的直径，O交BC于D，DMAC 于M求证：DM 与O 相切. 证明一： 连结 OD.AB=AC ，B=C.OB=OD， 1=B.1=C. ODAC.DMAC， DMOD.DM 与O 相切 证明二： 连结 OD，AD.AB 是 O 的直径， AD BC.又 AB=AC, 1=2. DMAC， 2+4=900 OA=OD ， 1=3. 3+4=900.即 OD DM.DM 是O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利

9、用已知及图上已知 .【例 10】 如图，已知： AB 是O的直径，点 C在O 上，且 CAB=30 0，BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 . 求证：DC 是O的切线 证明： 连结 OC、BC.OA=OC， A= 1=300.BOC=A+1=600.又 OC=OB， OBC 是等边三角形 . OB=BC.OB=BD ，OB=BC=BD.OCCD.CDAB ，且 OA2=ODOP.DC 是O 的切线. 说明：此题解法颇多，但这种方法较好 【例 12】 如图，AB 是O 的直径， 求证： PC是 O 的切线. 证明： 连结 OC2 OA2=ODOP，OA=OC，2 OC2=ODOP，OC OP

10、 .OD OC .又 1=1， OCP ODC. OCP=ODC.CDAB， OCP=900.PC 是O 的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的【例 13】 如图，ABCD 是正方形， G是 BC延长线上一点， AG 交 BD 于E， 交 CD 于 F.分析：此题图上没有画出求证： CE与CFG的外接圆相切 .CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 解.FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得证明：取 FG中点 O，连结OC. ABCD 是正方形，BCCD，CFG是 RtO是 FG的中点，O是 RtCFG的外心.OC=OG，3=

11、G，ADBC， G=4.AD=CD ，DE=DE， ADE= CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+ 3=900, 1+ 2=900. 即 CE OC. CE 与CFG 的外接圆相切 二、若直线 l与 O没有已知的公共点，又要证明 l是O 的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明 OA 是O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”又 BD=CD ，BDECDF（AAS）DF=DE.F 在D 上.AC 是D 的切线证明二： 连结 DE，AD ，作 DFAC，AB 与D 相切， DEAB.AB=AC ，BD=CD ， 1=2.DEAB，DFAC， DE=DF.F 在D 上.AC 与D 相切.DF=DE 的，证明二是利用角平分说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关 .【例 15】已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B，且 AC BD ，若 COD=900