圆中常见辅助线

1、圆中常见辅助线的做法遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距， 或作垂直于弦的半径 （或直径）或再连结过弦的端点的半径作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形， 根据勾股定理求有关量。大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 二点.求证：AC = BD例：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中， 证明 :过 O 作 OE AB 于 E O为圆心， OE AB AE = BE CE = DE AC = BD练习：如图， AB为 O的弦， P是 AB上的一点， AB = 10cm ， PA = 4cm. 求 O的半径 .2. 有等弧或

2、证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角 例：如图，已知 AB是 O的直径，M、N分别是 AO、BO的中点，CMAB,DNAB,求证： AC BD证明：（一）连结 OC、 ODM、N分别是 AO、 BO的中点11 OM = AO、ON = BO22 OA = OBOM = ONMONABCMOA、DNOB、OC = OD RtCOMRtDON COA = DOB AC BD二）连结 AC、 OC、OD、BD M、N分别是 AO、 BO的中点 AC = OC BD = OD OC = OD AC = BD AC BD3. 有弦中点时常连弦心距例：如图，已知 M、 N分别是 O 的弦 AB、C

3、D的中点 ,AB = CD ，求证： AMN = CNM 证明：连结 OM、 ONO为圆心， M、 N 分别是弦 AB、CD的中点1 / 12COM AB ON CD AB = CD OM = ON OMN = ONM AMN = 90o OMN CNM = 90o ONM AMN = CNM4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距例：如图，已知 O1与 O2为等圆， P为 O1、 O2的中点，过 P的直线分别交 O1、 O2于 A、 C、 D、B.求证： AC = BD证明：过 O1作 O1MAB于 M,过 O2 作 O2NAB于 N，则 O1MO2NO1M O1PO2N O2PO1P =

4、O2P O1M = O2N AC = BD 二. 有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅 助线的方法：连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角例：如图，已知 D、E分别为半径 OA、OB的中点， C为弧 AB的中点，求证： CD = CE 证明：连结 OCC 为弧 AB的中点 AB BC AOC = BOCD、E分别为 OA、OB的中点，且 AO = BO11OD = OE = AO = BO22又 OC = OC ODC OEC CD = CE三. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题 例：如图， AB为 O的直径， AC为弦， P为 AC延

5、长线上一点，且 AC = PC,PB的延长线交O于 D，求证： AC = DC证明：连结 ADBCPAB为 O的直径 ADP = 90 o AC = PC1 AC = CD = AP22 / 12例（2005 年自贡市）如图 2，P 是 O 的弦 CB 延长线上一点，点 A 在 O 上，且 BAPC 。求证： PA 是 O 的切线。证明： 作 O 的直径 AD ，连 BD，则C D, ABD 90 即 D BAD 90 CBAD 90 CPAB BAD PAB 90 即 AP ADPA 为 O 的切线。四遇到 90 度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得

6、到直径练习：如图，在 Rt ABC中， BCA = 90o , 以 BC为直径的 O交 AB于 E， D为 AC中点，连结 BD交O于 F. 求证：BC CFBE EF五. 有等弧时常作辅助线有以下几种： 作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角BD = CE， 1 = 2，求证： AB = AC练习： 1.如图， O的直径 AB垂直于弦 CD，交点为 E，F为 DC延长线上一点，连结 AF交 O于 M.求证： AMD = FMC（提示：连结 BM） 2.如图， ABC内接于 O，D、E在 BC边上，且 （提示如图）BC3 / 12六 . 有弦中点时，常构造三角形中位线1 例：已

7、知，如图，在 O中， AB CD， OE BC于 E，求证： OE = AD2 证明：作直径 CF，连结 DF、 BFCF为 O的直径 CD FD 又 CD ABAB DF AD BFAD = BF OE BC O 为圆心 CO = FO1CE = BE OE = BF21OE = AD2七. 圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图， ABC内接于 O，直线 AD平分 ABAC = ADAE 证明：连结 BE 1 = 3 2 =1 3 = 2四边形 ACBE为圆内接四边形 ACD = E ABE ADCAE ABAC ADABAC = ADAE八 . 两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如

8、图， O1与O2相交于 A、B，过 A的直线分别交 O1、 O2于 C、D，过 B的直线分别交 O1、 O2于 E、 F.求证： CEDF 证明：连结 AB四边形为圆内接四边形 ABF = C 同理可证： ABE = D ABF ABE = 180 C D = 180 CE DF九. 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所 作半径与这条直线垂直即可 .如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段 的长度等于半径的长即可 .4 / 12例 1：如图， P为 O外一点，以 OP为直径作圆交 O于

9、A、 B两点，连结 PA、 PB.求证： PA、 PB为 O的切线 证明：连结 OA PO为直径 PAO = 90o OA PAOA为 O的半径PA为 O的切线 同理： PB也为 O 的切线CD是小例 2：如图，同心圆 O，大圆的弦 AB = CD，且 AB 是小圆的切线，切点为 E，求证：圆的切线证明：连结 OE，过 O作 OF CD于 F OE为半径， AB为小圆的切线 OEABOFCD, AB = CD OF = OE CD为小圆的切线练习：如图，等腰 ABC，以腰 AB为直径作 O交底边 BC于 P，PE AC于 E,求证： PE是 O 的切线十. 当已知条件中有切线时，常作过切点的半

10、径，利用切线的性质定理证题.BD为直例：如图，在 RtABC中， C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是 AB上一点，以 径的 O 切 AC于 E，求 AD长.解：连结 OE，则 OE ACBC AC OEBCOEBCAOAB在 Rt ABC中， AB =AC2 BC122 92 15OE AB OB15 OEAB45OE = OB =845 BD = 2 OB =415AD = ABDB = 15 4541515答：AD 的长为 15.45 / 12练习：如图， O的半径 OAOB，点 P在 OB的延长线上，连结 AP交O于 D，过 D作 O 的切线 CE交 OP于 C，求证：

11、PC = CD一 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形 十二遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时， 常需连结顶点与内心， 以便利用内切圆的圆心是三角 形内角平分线交点这一性质。 十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问

12、题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。 十五遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用： 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质；6 / 12 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理1. 作相交两圆的公共弦 利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。A 、B 两点，过 A、B 分别作直线 CD、EF，且 CD/EF ，例 1. 如图 1， O1 和 O2 相交于 与两圆相交于 C、D 、E、 F。分析： CE 和 DF 分别是 O1 和O2

13、 的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结 AB ，则可得圆内接四边形 ABEC 和 ABFD ，利用圆内接四边形的性质，则易证明。证明：连结 AB因为 DABE， CAB F又 DAB CAB 180所以 E F 180 即 CE/DF又 CD/EF所以四边形 CEFD 为平行四边形即 CE DF2. 作两相交圆的连心线 利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例 2. O1和O2相交于 A、B 两点，两圆的半径分别为 6 2 和 4 3，公共弦长为 12。求 O1AO2 的度数。O1 AO2 的度数，可利用角的图2 分析：公共弦 AB 可位于圆心 O1、O2

14、同侧或异侧，要求和或差来求解。 解：当 AB 位于 O1、O2 异侧时，如图 2。连结 O1、 O2，交 AB 于 C，则 O1O2 AB 。分别在 Rt AO1C 和 Rt AO2C 中，利用锐7 / 12角三角函数可求得O1AC 45 ， O2 AC 30故 O1AO2O1ACO2 AC 75当 AB 位于 O1、O2 同侧时，如图 3则 O1AO2O1AC O2 AC 15 综上可知 O1AO2 75 或15例 2：已知， O1与O2交于 A、B，O1的弦 AC 切O2于 A，过 B 作直线交两圆于 D 、 E。求证： DCAE。分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦” ,连结 AB,可得

15、D=CAB, 由切线知 CAB= E, 即D=E即得证。练习：如图 O1和O2都经过 A、B两点。经过点 A的直线 CD 与 O1交于点 C，与 交于点 E，与 O2 交于点 F。求证： CEDF.例、如图 8，在梯形 ABCD中，以两腰 AD、BC分别为直径的两个圆相交于 M、N 两点， 过 M、N 的直线与梯形上、下底交于 E、F。求证： MN AB。8 / 12分析：因为 MN是公共弦，若作辅助线 O1O2，必有 MNO1O2，再由 O1O2 是梯形的中位线，得 O1O2/AB ，从而易证MNAB。证明 连结 O1O2交 EF于 G = MNO1O2。DO 1=O1A，CO2=O2B =

16、 O1O2是梯形 ABCD的中位线 = O1O2/AB = EFA= EGO1=Rt = MN AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。十六遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线 常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质；弦切角性质； 切线性质等。例 3. 如图 4， O1和 O2外切于点 P，A 是 O1上的一点，直线 AC 切O2于 C，交 O1 于 B，直线 AP 交 O2于D。求证 PC平分 BPD 。图4分析：要证 PC平分 BPD ，即证 BPC DPC 而 BPC 的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过 P 作两圆的公切线 PT，与 AC 交于 T 易知 BPC TPB

17、 TPC 由弦切角定理，得 TPB A 又 DPC 是 APC 的一个外角 所以 DPC A ACP 又 TPC ACP 从而有 BPC DPC 即 PC 平分 BPD例 3:已知, O1和O2外切于 A,直线 BC切O1于 B,切 O2于 C。 求证： AB AC（人教版课本 P87例 4）9 / 12分析 1：口诀“两个相切圆不离公切线” ,过 A 作两圆的公切线 ,则 1= 2, 3=4,又 1+2+3+4=180,则2+3=90 即AB AC。分析 2：口诀“两圆三圆连心线” ，连结 O1O2、O1B、O2C,则点 A 在 O1O2 上,易知 O1BO2C, 显然 1+2=90,故 A

18、B AC1. 相切两圆常添公切线作辅助线 .例 2 如图 2, 已知 O1、 O2外切于点 P，A是 O1上一点，直线 AC切 O2于点 C，交O1一点 B，直线 AP交 O2于点 D .(1) 求证:PC平分 BPD;(2)将“ O1与 O2外切于点 P” 改为“ O1、 O2 内切于点 P”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画出图形并证明 你的结论 ( 武汉市中考题) .证明: (1) 过P点作两圆公切线 PQ QPC=PCQ, QPB=A,CPD= A+QCP， CPD= CPB,即 PC平分 BPD(2) 上述结论仍然成立 .如图 3, 过点 P 作两圆公切线 PM,则 MPB=

19、A. BPC=MPC MPB= BCP A= CPA,说明: 作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。10 / 123. 两圆三圆时常作连心线作为辅助线例 3 如图 4, 施工工地水平地面上有三根外径都是 1 米的水泥管 , 两两外切堆放在一起则最高点到地面距离是 （ 辽宁省中考题 ）.解: 连 O1O2、O2O3、O3O1，过 O1作 AO1O2O3交 O1 于 A，交 O2O3于 B O1、 O2、 O3是等圆 , O1O2O3是等边三角形 .说明 : 三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。过小圆圆心作大圆半径的垂线 有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例 5. 如图 6， O1与O2外切于点 O，两外公切线 PCD 和 PBA 切 O1、 O2于点 C、 D、B、 A ，且其夹角为 60 ， AB 2 3 ，求两圆的半径。图611 / 12分析：如图 6，连结 O1O2、O1A、O2B，过点 O2作 O2E O1 A ，构造 Rt O1O2E ，下面很容易求出结果。十八相交两