在几何中的应用“三角形“四心”向量”

1、1ab ac= ，得 = = ，即op op op、3 2 2 = 在几何中的应用“三角形“四心”向量” 一、一些重要的结论：在 dabc中：若 a (x, y ),b(x, y1 1 22),c(x, y3 3)，则其重心的坐标为x +x +x y +y +y g 1 2 3 , 1 2 3 3 3 。 pg = ( pa +pb +pc ) g 3的重心；为 dabc的重心，特别地 pa +pb +pc =0 p 为 dabc pa pb =pb pc =pc pa p 为 dabc 的垂心；向量l(+ )(l0) | ab | | ac |所在直线过 dabc的内心(是 bac的角平分线

2、所在直线)；| ab | pc +| bc | pa+| ca | pb =0 p dabc的内心；二、四心应用1、重心(中线交点 )g 是abc 的重心 ga +gb +gc =0 ；证明 作图如右，图中 gb +gc =ge ，连结 be 和 ce，则 ce=gb，be=gc bgce为平行四边形 d 是 bc 的中点，ad 为 bc 边上的中线.将gb +gc =ge代入ga +gb +gc 0 ga +eg 0 ga =-ge =-2gd，故 g 是abc 的重心。(反之亦然)1pg = ( pa +pb +pc ) 3 g为abc 的重心(p 是平面上的点).证明pg =pa +ag

3、 =pb +bg =pc +cg 3 pg =( ag +bg +cg ) +( pa +pb +pc )g 是abc的重心ga +gb +gc 0 ag +bg +cg 0 3pg =pa +pb +pc，由此可得1pg = ( pa +pb +pc ) 3。练习、向量 、1 2 3 是正三角形。满足 op +op +op =0 ，op =op =op =1 ，求证 dpp p 1 2 3 1 2 3 1 2 3练习、若 o 为 dabc 内一点， oa +ob +oc =0 ，则 o是 dabc 的（ ）a、内心 b、外心 c、垂心 d、重心b练习、 a、b、c 是平面上不共线三点， o

4、是 dabc 的重心，动点 p 满足 1 1 1 op = oa + ob +2oc ，则点 p 一定为 dabc 的（ ） a 、 ab 边中线的中点 b 、 ab 边中线的三等分点（非重心） c 、重心 d 、 ab 边的中点aoedc练习、证明由已知op1+op2=-op3，两边平方得op1op2=-12，同理op2op op op3 3 1=-12，1 / 4在几何中的应用“三角形“四心”向量”|.3p p p 的中心.，2 2 2| p1 p2 |=| p2 p3 |=| p3 p1 |= 3 ，从而p1p2p3 是正三角形。反之，若点 o 是正三角形p1p2p3 的中心，则显然有

5、op1 + op2 + op3 = 0 且| op1 |=| op2 |=| op即 o 是abc 所在平面内一点， op + op + op = 0 且| op |=| op |=| op | 点 o 是正1 2 3 1 2 31 2 3练习、解析：由 oa +ob +oc =0 得 ob +oc =-oa ，如图以 ob、oc 为相邻两边1构作平行四边形，则 ob +oc =od ，由平行四边形性质知 oe = od ，2oa =2 oe ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 d。练习、解：b ；取 ab 边的中点 m ，则oa +ob =2om1 1 1，由op = oa ob

6、+ oc +23 2 2，可得 3op =om +2oc ，op =-om ，即点 p 为三角形中 ab 边上的中线的一个 三等分点，且点 p 不过重心，故选 b ；2、垂心(高线交点 )ch 是abc 的垂心 ha hb =hb hc =hc ha由 hahb =hbhc hb(hc -ha) =0 hbac =0 hb ac 同理 hc ab ， ha bc .故 h 是abc 的垂心.,ahdb(反之亦然(证略)若 h 是 dabc (非直角三角形)的垂心，则cs : s : s =tan a : tan b : tan c , dbhc adhc dahb故 tan a ha +tan

7、 b hb +tan c hc =0 .aodb练习、 p 是 dabc 所在平面上一点，若 pa pb =pb pc =pc pa ，则 p 是 dabc 的（ ）a 、外心b 、内心c 、重心 d 、垂心练习、解析:由 pa pb =pb pc得 pa pb -pb pc =0 .即pb (pa -pc ) =0, 即pb ca =0 则 pb ca , 同理 pa bc , pc ab 所以 p 为 dabc 的垂 心. 故选 d.、外心 (边垂直平分线交点，外接圆圆心 )o 是 dabc 的外心 oa =ob =oc (或 oa =ob =oc )(点 o 到三边距离相等) (oa+o

8、b)ab=(ob+oc)bc=(oa+oc)ca=0（o为三边垂直平分线) 若 o 是 dabc 的外心，则sdboc: s : s =sin boc : sin aoc : sin aob =sin 2 a : sin 2 b;sin 2c daoc daob故 sin 2 a oa +sin 2 b ob +sin 2c oc =0 .练习、若 o 为 dabc 内一点， oa = ob = oc ，则 o 是 dabc 的（ ） a 、内心 b 、外心 c 、垂心 d 、重心练习、解析：由向量模的定义知 o 到 dabc 的三顶点距离相等。故 o 是 dabc 的外心 ， 选 b。2 /

9、 4在几何中的应用“三角形“四心”向量”oa e eob e e) ( )ab acab ac 14、内心(角平分线交点，内切圆圆心 )o 是 dabc 的内心充要条件是oa (ab ac- ) =ob ( | ab | | ac |ba bc- ) =oc ( | ba | | bc |ca cb- ) =0 | ca | | cb |如果记 ab ， bc ， ca 的单位向量为 可以写成e , e , e 1 2 3， o 是 dabc 内心的充要条件c( + )= ( + )= oc ( e + e )= 01 3 1 2 2 3o 是 dabc 内心的充要条件也可以是 a oa +b

10、 ob +c oc =0 . 若 o 是 dabc 的内心，则 s : s : s =a : b : c ,dboc daoc daobadob故 a oa +b ob +c oc =0 或 sin a oa +sin b ob +sin c oc =0 ,| ab | pc +| bc | pa +| ca | pb =0 p为abc的内心;向量l(ab ac+ )( l0) | ab | | ac |所在直线过 dabc 的内心(是 bac 的角平分线所在直线)；pi =*设 p 是 dabc 所在平面内任意一点， i 为 dabc 内心的充要条件是 apa +bpb +cpca +b +

11、c练习 1、 o 是平面上一个定点， a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满足：op =oa +l(abab+acac),l 0, + ，则 p 点轨迹一定经过 dabc 的（ ）( a) 外心 ( b ) 内心 (c ) 重心 ( d ) 垂心练习、已知 o 是平面上的一定点， a、b、c 是平面上不共线的三个动点，动点 p 满足 ob +oc ab acop = +l + , l 0, + ，则 p 的轨迹一定通过 dabc 的 2 ab cos b ac cos c （ ）( a) 外心( b ) 内心(c ) 重心( d ) 垂心练习、已知非零向量 ab 与 ac 满足 为（

12、 ） + bc=0 ，且 = ，则 dabc ab ac ab ac 2 练习 1、abab,acac分别表示 ab, ac 上的单位向量，因此abab=acac；abab+acac表示菱形 abdc对角线 ad ；（设 ab=abab, ac =acac，角平分线）； l(abab+acac)(l0) 表示 lad ，即起点 a ，终点在射线 ad 上的向量。 op =oa +l(abab+acac) 表示以 oa, l(abab+acac) 为邻边的平行四边形的对角线上动点 p 为终点 op ：因为 p 点总在 bac 的平分线上，所以 p 点过 dabc 的内心。选 b；3 / 4在几何中的应用“三角形“四心”向量”( )ab ac练习、因为abab cos b与acac cos c都点乘以 bc 后分母可以约去，且有abab cos b+acac cos c