平面直角坐标系及其应用

1、平面直角坐标系(基础)知识讲解【学习目标】1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系2. 能在平面直角坐标系中，根据坐标确定点，以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征3. 由数轴到平面直角坐标系，渗透类比的数学思想【要点梳理】 要点一、有序数对 定义：把有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a， b).要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a , b)与(b , a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6 , 7)的形式，而(7, 6)则表示7排6号. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点

2、重合的数轴就组成平面直角坐标系水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).-2 -图1要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的2点的坐标平面内任意一点 P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a, b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b )叫做点P的坐标，记作：P(a,b)，如图2.要点诠释：隔开.(1 )表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用(2) 点P(a, b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3

3、) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x ,y)和它对应，反过来对于任意-对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应， 也就是说，坐标平面内的点与有序数 对是对应的.要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的I、n、w四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图.113J第二象跟2第一專限1 3 -2 -叫1 2 3 Jni2.IV第三叡限-3.第网硼要点诠释：(1) 坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.(2) 按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方， 第四象限在

4、右下方2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限这六个区域中，除了 x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其他区域之间均没有公共点要点四、点坐标的特征1. 各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律点的位音第“象限肃三氟限第四象限工釉1川原点颅坐标符环+十任意数丄00纵坐拯符号+0任童数$Q点的坐标符号(+,(一 L)( + *-)S3要点诠释：(1) 对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上(2) 坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0; y轴上的点的横坐标为0.(3 )根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大

5、概位置；反之，根据点在坐标 平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.2. 象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a , a);第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a , -a).3. 关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a, b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b);P(a, b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b);P(a, b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).4. 平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同【典型例题】类型一、有序数对1 如果将一张“ 13排10号”

6、的电影票简记为(13,10 ),那么(10,13 )表示的电影 票是_排_号【思路点拨】 在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点的位置.【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数【总结升华】 在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a, b)与(b , a)顺序不同，含义就不同.举一反三：【变式】某地10:00时气温是6C,表示为(10 , 6)，那么(3 , -7)表示.【答案】3:00时该地气温是零下 7C.类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点 A B、C、D各点的坐标11

7、1 1 1 411it ! ! 31 ! 21111:Q UHill j *.J L- -L v =1iiIdIli泌二比？UPJ L2 卩x1 1 1 = iaijl丄kill1i1i:1I 1awLeL. L 云 La*.111L11I1piii ii【思路点拨】 要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离.【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得 A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线，得 A点的纵坐 标是3,则点A的坐标是(2 , 3)，同理可得点 B、C、D的坐标.所以，各点的坐标： A(2, 3) , B(3 , 2) , C(-2 , 1) , D(-1 , -2

8、).【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值.举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点 A既在x轴的上方，又在 y轴的左边，且距离 x轴, y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为().A . (5, -4) B . (4 , -5) C . (-5 , 4) D . (-4 , 5)【答案】D.G3. 在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4, 3) , B(-2 , 3) , C(-4 , 1) , D(2 , -2).【答案与解析】解：因为点 A的坐标是(4 , 3)，所以先在x轴上找到坐标是 4的点M再在y轴

9、上找到坐 标是3的点N.然后由点M作x轴的垂线，由点 N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点 A,同理可描出点 B C D.有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是 对应的.举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知： A ( 3, 2), B ( 5, 0),则厶AOB的面积为.【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.指出下列各点所在的象限或坐标轴.A(4 , 5)、B(-2 , 3)、C(-4 , -1)、D(2.5 , -2)、E(0, -4)、F(3 , 0)、G(0, 0).【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断

10、所在象限.【答案与解析】解：点A在第一象限，点 B在第二象限，点 C在第三象限，点 D在第四象限，点 E在y轴 上，点F在x轴上，点G在原点上.【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上.举一反三：【变式1】点A(3 , n)在第四象限，到x轴的距离为4 则点A的坐标为 .【答案】(3 , -4).【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934 练习3】【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：(1 )点P1 (a，-b)在第象限；(2) 点P2 (-a ,b)在第象限；(3

11、) 点P3 (-a，-b) 在第象限；(4) 点P4 ( b ,a ) 在第象限.【答案】(1)三；(2) ； (3)四；(4 )四.5. 已知点A(-3 , 2)与点B(x , y)在同一条平行于y轴的直线上，且点 B到x轴的距离 等于3,求点B的坐标.A 3 21Jj, 丄 k3 -2 21-2-31 2 x-【思路点拨】 由“点A(-3 , 2)与点B(x, y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点 B的横坐 标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或-3，即可确定B的坐标.【答案与解析】解：如图，卯*3-A |2L1-X丄1-.3 -2-o1 2 -1r-2-31-点B与点A在

12、同一条平行于y轴的直线上， 点B与点A的横坐标相同，x = -3 .点B到x轴的距离为3, y = 3 或 y= -3 . 点B的坐标是(-3 , 3)或(-3 , -3).【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3,则点B可能在第二 象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解.举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为().A . (3,0)B . ( 3, 0)或(-3, 0)C. (0,3)D . ( 0, 3)或(0, - 3)【答案】B.【高清课堂：第讲平面直角坐标系1 369934 练习 4( 5)】【变式2】在直角坐标系中，点

13、P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2, 5,则 P的坐标是 ;若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是.【答案】(-5,2 )； (5, 2), (-5,2 ), (5, -2 ), (-5 , -2 )平面直角坐标系（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. A地在地球上的位置如图，则 A地的位置是（）SO*40初 30*130ISO* 亲经A.东经130 ，北纬 50 B. 东经130,北纬 60C.东经140 ，北纬50 D. 东经40 ，北纬502点A（ a，-2 ）在二、四象限的角平分线上，贝Ua的值是（）A. 2B. -2C.D.3.已知点M到x轴、y轴的距离分

14、别为 的坐标为（）.A . （4, -6） B . （-4 , 6） C4和6,且点M在x轴的上方、(6 , -4) D . (-6 , 4)y轴的左侧，则点M4. 已知A（a, b）、B（b, a）表示同一个点，那么这个点一定在（）.A.第二、四象限的角平分线上B 第一、三象限的角平分线上C.平行于x轴的直线上D .平行于y轴的直线上5.已知点M （a , b），过M作MHx轴于H，并延长到N，使NH MH ,且N点坐标为（2 ,3），则a b （）.A. 0B. 1C. 1D. 56. （湖北武汉）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的

15、点.观察如图所示的中心在原点，一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有一个整点， 边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形 内部有9个整点，则边长为 8的正方形内部的整点的个数为 （）.A . 64 B . 49 C . 36 D . 25 、填空题7. 已知点R2 a, 3a-2)到两坐标轴的距离相等，贝UP点的坐标为 .8. 线段AB的长度为3且平行x轴，已知点A的坐标为(2, -5 ),则点B的坐标为.9. 如果点A(0，1)，B(3，1)，点C在y轴上，且厶ABC的面积是5,则C点坐标.10. 设x、y为有理数，若丨x+ 2y 2 | + | 2x y + 6 | = 0

16、,则点(x, y)在第象限.1 1111 观察下列有序数对：(3 , -1)、5,7,丄、9,丄、根据你发现的规2 34律，第100个有序数对是 .12. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为： A(-2 , 1)、B(-3 , -1) , C(-1 , -1),且D在x轴上方顺次连接这4个点得到的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 .13. 已知平面直角坐标系内两点M(5, a), N(b , -2).(1) 若直线MIN/ x轴，则a, b;(2) 若直线 MIN/ y，轴，则 a, b.14. (台州)若点P(x , y)的坐标满足x+y = xy，则称点P为“和谐点”，请写出一

17、个“和谐点”的坐标，如.三、解答题15如图，棋子“马”所处的位置为(2 , 3).(i987653 j(1) 你能表示图中“象”的位置吗？(2) 写出“马”的下一步可以到达的位置(象棋中“马”走“日字或“ 丄”字)16. 如图，若B (X1, yj、C(X2, y2)均为第一象限的点，O B、C三点不在同一条直线上(1)求 OBC的面积(用含X1、X2、y1、y2的代数式表示)； 如图，若三个点的坐标分别为A ( 2,5 ) , B ( 7,7 ) , C (9,1、，求四边形OABC勺面积.17. 如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形 OAB1,第二次将三角形OAB

18、1变换成三角形 OAB2,第三次将三角形 OAB2变换成三角形 OAB，已知A(1 , 2),A1(2 , 2) , Aa(4 , 2) , A3(8 , 2) ; B(2, 0) , B(4 , 0) , B2(8 , 0) , B(16 , 0).i543r2AA XX *J-1 01234 357 S ，.八一t10 IL 12 门 1415 1 -f-I(1) 观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形0AB3变换成三角形0AB4,贝U A的坐标是 ，B4的坐标是 ；(2) 若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形 OAB，推测A的坐标是, Bn

19、的坐标是.(3)求出 0二上的面积.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C.2. 【答案】A;【解析】因为(a, -2 )在二、四象限的角平分线上，所以a+(-2)=0，即a=2.3. 【答案】D;【解析】根据题意，画出下图，由图可知M(-6 , 4).M&I- I15X4. 【答案】B;【解析】由题意可得：a b，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上.5. 【答案】B;【解析】由题意知：点M( a, b)与点N (-2 , -3 )关于x轴对称，所以M(-2,3).6. 【答案】B;【解析】边长为奇数的正方形内所含整点个数为奇数的平方，而边长为偶数的正方形内 所含整点个数与边长比此偶数少1的奇