平方差完全平方公式(培优)

1、平方差完全平方公式选择题（共1小题）321. （1999?烟台）F列代数式I,比逹，普卩+萨 ，其中整式有（A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二. 填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是次项式.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式.（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式2X2- 3X+X3按x的降幕排列啓_5. （1999?内江）配方：XJ4X+=（X+） 2 配方：X2x+ =（xl）22三. 解答题（共26小题）5.计算：（1）（x- y）（x+y）（x2+y2）（2）（a- 2b+c） （ a+2b- C

2、）6 .计算：123? 124 X 122 .7 .计算：20042tfi)4 2- 2005X20038. (X- 2y+z) (- x+2y+z).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y)2-(x-y)2；(2) (x+y- 2) (X- y+2)；(3) x；(4) .10 .化简：- 2)( m+n+2).11 . (X - 2y m)(X- 2y+m)12 .计算(1) (a- b+c- d)(C- a - d - b)；(2) (x+2y)(X- 2y)(x4- 8x2/+16y4).13 .计算:20082- 20072+20062 - 20052+ -+22- 12.14 利

3、用乘法公式计算： ( a 3b+2c) (a+3b- 2c) 472 - 94 X 27+272.15 .已知：x2 - y2=20, x+y=4,求 x - y 的值.16 观察下列各式：（x 1）（x+1） 1 ; （X- 1）（x2+x+1）=x3- 1 ; （X- 1）（x3+x2+x+1）=x4- 1 -（1） 根据上面各式的规律得：rx- 1）（xm-1+xm2+xm3+-+x+1）= ;（其中 n 为正整数）；（2）根据这一规律，计算 1+2+22+23+2*+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（ 24+1）.（22+1

4、）（24+1）=（24 - 1）（24+1）=28 1 .解:2+1）（22+1） （ 24+1）= （2 - 1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22 - 1）问题：化简（3+1）（32+1）（ 34+1）（ 38+1）-（ 364+1）.18.门讨）肖吟）（吟）盘）19 . （2012?黄冈）已知实数x满足x丄=3，则好丄的值为20 . （2007?天水）若a2 - 2a+仁0 .求代数式/+丄人的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2= （a

5、 b） 2.例如：fx- 1） S3、（公_2） J2x、（*x2） 2疔x2是x J 2x+4的三种不同形式的配方（即”余项”分别是常数项、一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知 a2+b2+c2 ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 .（2004?太原）已知实数 a、b 满足（a+b）2=1, （a- b） 2=25,求 a2+b2+ab 的值.2+, 223 .（2001?宁夏）设 a- b=- 2，求一的值.24 .已知（x

6、+y）J49,（X- y） 2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2； （2） xy.25 .已知x+丄=4,求x的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x2+y2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a2+b2, （a- b） ?的值.28 .若 x+y=2,且（x+2）（y+2）=5,求 x2+xy+y2 的值.29,K+,=，求 x2+；的值IX30.求下列各式的值:(1)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一 选择题（共1小题）1 . (1999?烟下列代数式2x2+x- 2,齢 2,32 n?尸卩十卩，其中整式有台）32VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考占

7、：整式.分析：解决本题尖键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解:整式有X2+x2竺共22.个.故选B.点评：主要考查了整式的有矢概念.要能准确的分清什么是整式整式是有理式的一部分，在有理式中可以加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是=次二项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的包含式单项法.系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二

8、，点评:本题主要考查多项式的定义，解答此次题的矢键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫 做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多 项式的次数.fi（答案不唯一，只要写出一个）3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式.解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2t x3y, x/3等都符合题意（答案不唯A点评：）.考查了单项式的次数的概念只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.xAZx2 一 3x4.（2004

9、?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是考占：多项式分析：按照X的次数从大至IJ小排列艮卩可解答：解：按X的降幕排列是x3+2x2-3x -点评：主要考查降幕排列的 定义，就是按照x的 次数从大到小的顺序 排列，操作时注意带着每一项前面的符 号.三解答题（共26小题）5 计算：（1）（x y）（x+y）（x2+y2）（2）（a 2b+c）（ a+2b- c）考占：平方差公式；完全平方公式分析：（1）（x-y）与（x+y）结合，可 运用平方差公式， 其结果再与 rx2+y2）ffi结合， 再次利用平方差公 式计算；（2 ）先运用平方 差公式，再应用 完全平方公式解答：解 ( 1 )(

10、X- y)(x+y)( x2+y2)，=(x2- y2)(X2+y2)，=x4- y4;(2)( a-2b+c)( a+2bC)，=a2-( 2b- C)2，=a2 4b2+4bc点评：本题主要考查了平 方差公式与完全平 方公式，熟记公式 是解题的矢键平方差公式：(a+b)(a- b) =a2 b?.完全平方公式：心士 b)2=a2+ 2ab+b2.6 计算：1232 - 124 X 122.考占：平方差公式.分析：先把124 X 122写成(123+1)X(123- 1),利用平方差公 式计算，去掉括号后再合并 即可.解答：解:1232 - 124X 122,=1232-（123+1）（12

11、3-D,=1232-（ 1232-12）,=1.点评：本题考查平方差公式的实际 运用，构造成平方差公式的 结构形式是解题的矢键.7 计算：200420042- 2005X2003考占：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003-2004 - 1,将其写成平方差公式代入原式计算可 得答案.解答：解：200412004 2 2005 X 2003200420042 （2004+13 X （2004-1）20042004 2 -2004 2+18. （X- 2y+z）（-x+2y+z）.=2004.点评：本题考查平方 差公式的实际 运用，注意要构 造成 公式的结构形式，利用公式达

12、到简化运算的目的.考占：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为Z+（x- 2y）z -（x-2y），再运用平方差公式计算.解答：解:（X- 2y+z）（-x+2y+z）, =Z+（x-2y）z - （x- 2y）, =-（ x-2y）2, =-（ x2- 4xy+4y）, =z2 - Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用 公式的矢键，注意运用公式计算会减少运算量.9运用乘法公式计算.（1）（x+y）2-（x-y）2；（2）（x+y- 2） （X- y+2）；（3）x；（4）考占：平方差公式专题：计算题分析：(1) (x+y)2 (x-y)2可以 利用平方

13、差公式进行 计算；(2) ( x+y 2)(x- y+2)转化成x+( y- 2)x - (y- 2)啲形 式，利用平方差公 式以及完全平方公 式进行计算；(3) x可以转化 成(80-)(80+)的形式， 利用平方差公式计 算；(4) 可以转化为 (20-)2进行简 便计算解答：解：(1)(x+y)2-( x- y) 2=(x+y+x- y)(x+y- x+y),=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2),=x+( y- 2) x - (y- 2), =X2- y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+),9(4) =( 20-) 2=400 -2X20点评：本题主要考查平方

14、 差公式和完全平方 公式的运用，利 用完全平方公式以 及平方差公式可以使计算更加简 便.10 .化简：（m+2）（m+n+2）.考占：平方差公式.分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的 项，互为相反项是 2与2，然后利 用平方差公式和完 全平方公式计算即 可.解答：解:（m+n 2）（m+n+2），=（m+n）2- 22，22=m +n +2mn- 4.点评：本题主要考查了平 方差公式的应用. 运用平方差公式（a+b）（a b） =a2- b2 计算时，矢键要找 相同项和相反项， 其结果是相同项的 平方减去相反项的 平方.11.（X 2y m）（X 2y+m）考占：平方差公式.专题：计算题

15、.分析：把x- 2y当成一个 整体，利用两数的 和乘以这两数的 差，等于它们的平 方差计算即可.解答：解 （ x- 2y- m）（X- 2y+m），=（x- 2y）2- m2- =x2 - 4xy+4y2 - m2.点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较尖键12 计算(1) (a一 b+c一 d) (c一 a - d - b);(2) (x+2y) (x 2y) (x4 8x2/+l6y4) 考占：平方差公式专题：计算题分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题解答:点评：解：(1 )原式=(Cb d) +a( cb d) a =( c b d) 2a2 =c2+b2+d2+

16、2bd2bc 2cd a2，(2 )T x48x2y2+16y4=( x24y2)2原式=(x?4y2)( x2- 4y2)2=( x2 4y2)3=(x2)3 3( x2)2( 4y2)+3x2?(4y2)2-( 4y2)3=x6 12x4y2+48x2y464y6 本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中13 计算：20082 20072+20062 20052+.+2212.考占：平方差公式分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题解答：解：原式=(20082-20072)+(20062-20052)+ +(22 - 12),=(2008+2007 )(2008 20

17、07)+( 2006+2005)(2006- 2005)+(2+1 )(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+- +2+1，=2017036 -本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和14 利用乘法公式计算： (3b+2c) (a+3b 2c)点评： 472 - 94 X 27+273考占：平方差公式；完全平方公式.分析： 可用平方差公式 计算：找出符号 相同的项和不同的 项，结合再按公 式解答， 把94写成2 X47后，可用完 全平方公式计算.解答：解:原式=a - （3b- 2c）a+ （3b 2c）=a2 - （3b- 2c） 2

18、=9b2+12bc 4c2;原式=47 2 X 47X 27+272=（47- 27）2=400点评：本题考查了平方差 公式，完全平方 公式，熟记公式是解题的矢键. 把(3b - 2c)看作一个整体是运用平方差公式的尖键； 把94写成2X47是利用完全平方公式的矢键.15 .已知：x2 - y2=20, x+y=4,求 x y 的值._5考占：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答:解:a2 - b2=(a+b)(a- b), x2- y2=(x+y)( x y)=20 把x+y=4代入求 得 x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，矢键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相

19、反项的平方.把 x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式:(X- 1)(1)(2)(X+1 ) =X2 - 1 ： (X- 1 ) (X2+X+1 ) =X3- 1 ； (X- 1 ) (X3+X2+X+1 ) =x4- 1 -根据上面各式的规律得：各1)(xm1+xm2+xm3+-+x+1)=xm- 1 ；(其中n为正整数)； 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+-+268+269的值.考占：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边X的指数比左边X的最高指数大1，利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1 +x+x2+x3+ +x= (Xn+1

20、- 1 ) 4- ( X- 1 ),从解答：而得出1+2+22+-+268+269= (?69+1-1) T2-1),再进行计算即可.解：(1) ( X- 1 )(Xm1+Xm-+X2+X+1 ) =xm - 1;(2)根据上面的式子可得：231+X+X +X + +宀对 1 ) +(X- 1 ), 1+2+2?+268+269=(269+1 -1)-( 2 - 1) =270 1点评:本题考查了平 方差公式，认真 观察各式，根据指数的变化情 况总结规律是 解题的矢键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1)(22+1 ) ( 24+1 ).问题：化简解：(2+1)(22+

21、1 ) ( 24+1 ) =(2 - 1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22 1 ) ( 22+1 ) (24+1)= (24 1)(丫+1) =28 1 (3+1)(32+1 ) ( 34+1 ) ( 38+1 )-(364+1 ).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算. 解答：解：原式J(3-1) (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1 ), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),(34 1)1(34+1 ) (38+1)(364+1),(38 1)1(3

22、8+1)(364+1),二(3弘.1)(364+1),(8 分)= (3128.1）. （ 10分）本题主要考查了平方差公式，尖键在于把点评：（3+1）化简为(3-1) (3+1)的形式，考占：平方差公式.专题：计算题.分析：由平方差公式，(1+2) ( 1 -丄)2解答:推，从而得出结(1 +(1 + 考点专题分析解答:完全平方公式.计算题.将X+ =3两边平方，然后移项即可得出答案.解：由题意得，1 0x=3,两边平方得：+2+ : =9,（1+二）24（1 +-）（1 +1(1 +-)（1 +刃（）点评:本题考查了平方差 公式的反复应用， 是基础知识要熟练 掌握.（2012?黄冈）已知实

23、数x满足二=3侧x2+啲值为7故 x2+ =7.故答案为：7.点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的矢键，属于 基础题.20 . （2007?天水）若a J 2a+仁0 .求代数式/+岂的值考占：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代 数式的值.解答：解：由乳2a+1=0 得(a 1) 2=0, a=1 ；把a=1代入a4+ A=1+1=2故答案为：2.点评:本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的矢键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式

24、的方法叫做配方法.配方法的基本形式是 完全平方公式的逆写，即a22ab+b2= （a b） 2.例如：（x- 1） S3、（x-2） J2x、（丄x-2） 2芒好是x“ 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、24一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出X2- 4x+2二种不同形式的配方；(2)(3)将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；已知 a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.考占：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平 方公式的灵活应用 能力，由题中所给 的已知材料可

25、得 X2-4x+2 和 a2+ab+b2 的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：x? 4X4-2=(X -2) 2- 2,/ 4x+2=(X+.1 )2(2, f+4)x,x2- 4x+2= C Zx:* ： )2 -x2；(2) a2+ab+b2=(a+b)2 - ab,22a +ab+b =(Fr(3) a2+b2+c2ab - 3b -2c+4,=(a2 - ab+丄 b2)(4+ (上 b2- 3b+3)+(c2- 2c+1),=(a2 - ab+b2)4( b2 _

26、 4b+4 )4+(c2- 2c+1),“亍b)2C-2)2+(C- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,C- 1=0,即 a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评:本题考査了根据完全平方公式：a2+ 2ab+b2=（a b） 2进行配方的能力.22 .（2004?太原）已知实数 ab 满足（a+b）2=1, （a- b） J25,求 a2+b2+ab 的值.考占：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式 （a+b）2和ab的形式，即可 求值.解答：解：（a+b）2=1, （ a- b）2=25,a2+b2+2ab=

27、1 , a2+b2 -2ab=25.4ab= - 24,ab= - 6, ,a2+b2+ab= （a+b）2 - ab=1 -（-6）=7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求 解.23 .（2001?宁夏）设b=- 2，求乍 广命的值.考占：完全平方公式.分析：对所求式子通 分，然后根据完 全平方公式把 分子整理成平 方的形式，把a -b= - 2 代入计算即可.解答:解：原式/ + b2 2ab=2G-b）:j2/ a b_- 2 ,原式（-22 =22点评：本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的矢键，注意整体思想的利用.24

28、.已知（x+y）2=49,（X- y） 2=1，求下列各式的值:（1） x2+y2；（2）xy.考点：完全平方公式.分析：解答:根据完全平方 公式把（x+y） 2和（X- y） 2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相 减即可求出xy的值.解：由题意知：（x+y）2_x2+y2+2xy_49，（X- y） 2_x2+y2 -2xy_1 ,+得：（x+y）2+（x-y）2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2（x2+y2）,_49+1,_50,-x2+y2_25 ;得:4xy_（x+y）2-（ x-y） 2=49 -1_48, xy_12.点评：本题考查了完全平 方公式，灵活运用 完

29、全平方公式，熟 记公式是解题的矢 键.25 .已知x+-A4,求X-丄的值.考点：分析：完全平方公式.把已知条件两边平方求 出X2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然 后进行开方运算解答：解： 二4,Xxx2 X2+ =142，(x)X2 2. 1X2=12,X -二二 .点评：本题考查了完全平 方公式，灵活运用 完全平方公式，利 用好乘积二倍项不 含字母是常数是解 题的尖键.26 .已知x+y=3, xy=2,求 x2+y2 的值.考占：完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解： x+y=3, x2+y2+2xy=9, xy=2, x2+y2=9 - 2xy=9 - 4=5.点评：本题考查