常微分方程的应用

1、常微分方程的应用17常微分方程应用结课作业学院：轻工与纺织学院 班级：服装设计与工程 13-1 班 学号： 201321805024 姓名：周志彬常微分方程经济应用微分方程在不仅在物理学、 力学上有广泛的应 用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆 是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法 解决经济管理实际问题的魅力 .随着社会经济的迅速发展 , 数学在我们的生 活中可以说无处不在 , 尤其是在经济管理中的应 用越来越广泛 . 经济学必须进行定量研究 . 而常 微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最 重要、最基本的数学工具之一， 为了研究经济变

2、量之间的联系及其内在规律 , 常常需要建立某一 经济函数及其导数所满足的关系式 , 并由此确定 所研究函数的形式 , 从而根据一些已知条件来确 定该函数的表达式 . 从数学上讲 , 就是建立微分 方程并求解微分方程 . 用微分方程解决问题，下 面就是几个例子：一、公司资产函数例。某公司 t 年净资产有 W(t)(百万元 ), 并且 资产本身以每年 5% 的速度连续增长 , 同时该公 司每年要以 300 百万元的数额连续支付职工工 资.(1) 给出描述净资产 W(t) 的微分方程 ;(2) 求解方程 , 这时假设初始净资产为 W0;(3) 讨论在 W0 500, 600, 700三种情况下 ,

3、W(t) 变化 特点.解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度 资产本身增长速度职工工资支付速度 得到所求微分方程dW 0.05W 30.dt(2) 分离变量，得dW0.05dt .W 600600| 0.05t lnC1 (C1两边积分，得 ln |W 于是|W 600| C1e0.05t , 或 W 600 Ce0.05t (C C1). 将 W(0) W0 代入，得方程通解：W 600 (W0 600)e0.05t.上式推导过程中 W 600,当 W 600时， dW 0知dtW 600 (W0 600)e0.05t , W 600 W0, 通常称为 平衡解 ，仍包含在通解表达式中 .

4、(3) 由通解表达式可知，当 W0500 百万元时，净资 产额单调递减，公司将在第 36 年破产；当 W0600 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在 600 百万元不变；当 W0700 百万元时，公司净资产将 按指数不断增大 .二、价格调整模型例 如果设某商品在时刻 t 的售价为 P, 社会 对该商品的需求量和供给量分别是 P 的函数 D(P),S(P), 则在时刻 t 的价格 P(t)对于时间 t 的变化率 可认为与该商品在同时刻的超额需求量 D(P) S(P) 成正比 , 即有微分方程ddPt kD(P) S(P) (k 0) (1.3) 在 D(P)和 S(P)确定情况下 , 可解出

5、价格与 t 的函数 关系，这就是 商品的价格调整模型 .例如： 某种商品的价格变化主要服从市场 供求关系 . 一般情况下 ,商品供给量 S 是价格 P 的单调递增函数 , 商品需求量 Q 是价格 P的单调 递减函数 , 为简单起见 , 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为(8.6)S(P) a bP, Q(P) P 其中 a,b, , 均为常数 , 且 b 0, 0.当供给量与需求量相等时 , 由(8.6)可得供求 平衡时的价格Peab并称 Pe为均衡价格 .一般地说 , 当某种商品供不应求 , 即 S Q时 该商品价格要涨 , 当供大于求 , 即 S Q 时, 该商 品价格要落 . 因此,

6、 假设 t 时刻的价格 P(t) 的变化 率与超额需求量 Q S成正比 , 于是有方程dP其中 k 0,ddPt kQ(P) S(P) 用来反映价格的调整速度 .(8.6)代入方程 , 可得 ddPt (Pe P)(8.7)其中常数 (b )k 0,方程 (8.7)的通解为P(t) Pe Ce t假设初始价格 P(0) P0,代入上式 , 得 C P0 Pe,于 是上述价格调整模型的解为P(t) Pe (P0 Pe)e 由于 0知, t 时, P(t) Pe. 说明随着时间不断推 延, 实际价格 P(t) 将逐渐趋近均衡价格 Pe.三、新产品的销售速度分析记时刻 t 时已售出的新产品数为 X(

7、t), 假设该 产品使用方便 ,这些正在使用的新产品实际上起 着宣传的作用 ,吸引着尚未购买的顾客 ,设每一个 新产品在单位时间内平均吸引 K 个顾客 ,由此可 知,X(t) 满足微分方程 :dXdt=KX,X(0)=0.其解为 : X(t)=X 0eKt .若取 t=0 表示新产品诞生的时刻： 则 X(t)=0, 与事实不符，它只考虑了实物广告的作用 , 而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品从 而打开销路的可能性， 所以呢应该有个上界， 设 需求量的上界为 K, 则尚未使用新产品的户数为 ( K-X(t) )由统计规律可知 ,dXdt 与 X(K-X) 成正 比 ,比例系数为 r,则： d

8、Xdt=rX(K-X)它的解为 X(t)=K/1+ce -Krt 一阶导数 Xc(t)=cK 2re-Krt / 1+ce-Krt二阶导数 Xd(t)=cK 3r 2(ce-Krt -1)(1+ce-Krt )2 当 Xc(t)0 时,X(t) 单调增加 , 由 Xd(t)=0得出 ce-Krt 0=1, 此时 X(t 0)=K/2 当 t0, 即 Xc(t) 单调增加 , 这表示 在销售量小于最大需求量的一半时 , 销售速度 Xc(t) 不断增大 ; 当 tt0 时,Xd(t)t0), 销售速度 Xc(t) 开始下降。所以，用户采用某一新产品的这段时期 , 应 是该产品正式大批量生产的较合适

9、的时期 , 初期 应采用小批量生产并加以广告宣传 , 后期则应适 时转产 , 这样做可以取得较高的经济效益！四、差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法， 我们可以建 立在经济学中的差分方程模型， 下面举例说明其 应用.1. “筹措教育经费”模型某家庭从现在着手 , 从每月工资中拿出一 部分资金存入银行 , 用于投资子女的教育 , 并计 算 20 年后开始从投资账户中每月支取 1 000 元 , 直到 10 年后子女大学毕业并用完全部资金 . 要 实现这个投资目标 , 20年内要总共筹措多少资金 ? 每月要在银行存入多少钱 ? 假设投资的月利率 为 0.5%, 为此 , 设第 t 个

10、月 , 投资账户资金为 at, 每月存资金为 b 元, 于是 20 年后 , 关于 at ,的差分 方程模型为at 1 (1.005) at 1000(9.11)且 a120 0,a0 x.例： 某家庭从现在开始 ,从每月工资中拿出一部 分资金存入银行 ,用于投资子女的教育 ,计划 20 年后开始从投资帐户中每月只取 1000元 ,直到 10 年后子女大学毕业并用完全部资金 .要实现这个 投资目标 ,20 年内要总共筹措多少资金 ?每月要 在银行存入多少钱 ?假设投资的月利率为 0.5%, 解：设第 t 个月 ,投资帐户资金为 ta,每月存资金 为 b 元,于是,20 年后,关于 ta 的差分

11、方程模型为 at 1 1.005at 1000(9.11)a120 0, a0 x.且解方程(9.11)得其通解为at (1.005)t A 1 1100.0005 (1.005)t A 200000, 其中 A为任意常数 .因为120a120 (1.005)120 A 200000 0, a0 A 200000 x,从而有 x 200000 200001200 90073.45 .(1.005)120从现在到 20 年内 , at满足方程at 1 (1.005 )a t b(9.12)且 a0 0, a240 90073 .45.解方程 (9.12)得通解at (1.005)t A 1 1b

12、.005 (1.005)t A 200b,以 及 a240 (1.005) 240 A 200b 90073.45, a0 A 200b 0, 从 而 有 b 194.95.即要 达到 投资 目标,20 年内 要筹 措资金 90073.45 元,平均每月要存入 194.95 元.2. 价格与库存模型 本模型考虑库存与价格之间的关系设 P(t)为第 t 个时段某类产品的价格 , L(t) 为第 t 个时段的库存量 . L 为该产品的合理库存量 . 一 般情况下 , 如果库存量超过合理库存 , 则该产品 的售价要下跌 , 如果库存量低于合理库存 , 则该 产品售价要上涨 , 于是有方程Pt 1 P

13、t k(L Lt )(9.13)其中 k 为比例常数 .例： “百花”小商店是一个专门经营各类毛巾 的商店。每年营业时间为 360 天，每天平均售出 400张毛巾，每张毛巾的批发价平均为 070 元， 每次订货的平均费用为 112 元。即每次订货， 不论购买的数量多少都要支出 112 元。现在商店 是每半年进一次货，一年进两次货 。每张毛巾 的存贮费用一年为 0126 元。这个商店的经理 感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货 方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年 应该订货几次。 每次的数量应该为多少， 将可能 为他节约一笔总的库存费用。解析： 现在“百花”商店是每年进货两次 ，每 年

14、毛巾的需求量是 H=（400*360）144000 张 ，则 每次订货数量为 144000/2=72000 张。 这个库存问题是等量需求及时补充的 ，因此不 会产生脱销费用。这时的年度总库存费用 =年订 货 费 用 + 年 存 贮 费 用 ， 用 公 式 表 示 为 A=B+C其中 A 为年总库存费用；B 为 年 订 货 费 用 ， B=HS/Q ，式中 H 为年需求量，本例 H=144000张 。S 为每次订货费用 ， S=112元。 Q 为每 次订货量 ，本例 Q=72000 张。则B=HS/Q =144000 112/72000=224元。 每年订 货次数( N= H/Q) ，则 B=N

15、S=2 112=224 元。C 为年存贮费用， C=Q/2K， 存量。K 为单位商品的存贮费用， Q/2 为平均库 本例 K=0.126 元 ，则 C=72000/2 0.126=4536元。因此“百花”商店每年订货两次，每 次订货量 为 72000 张时的总库存费用为 A=B 十 C=224 4536=4760 元。3. 国民收入的稳定分析模型 本模型主要讨论国民收入与消费和积累之 间的关系问题 .设第 t 期内的国民收入 yt 主要用于该期内的 消费 Gt, 再生产投资 It 和政府用于公共设施的开 支 G（定为常数 ）, 即有yt Ct It G(9.17)又设第 t 期的消费水平与前一

16、期的国民收入 水平有关 , 即Ct Ayt 1 (0 A 1) (9.18) 第 t 期的生产投资应取决于消费水平的变化 即有It B(Ct Ct 1)(9.19)由方程 (9.17), (9.18), (9.19)合并整理得 yt A(1 B)yt1 BAyt 2 G (9.20) 于是, 对应 A, B, G 以及 y0, y,可求解方程 , 并 讨论国民收入的变化趋势和稳定性 .例： 社会原收入水平 1000亿元，消费为 800 亿 元。当收入增加至 1200 亿元时，消费增加至 900 亿元。解：平均消费倾向： APC=C/Y=900/1200=0.75 平均储蓄倾向： APS=1-APC=1-0.75=0.25 边 际 消 费 倾 向 ： MPC= C/ Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5储蓄倾向： MPS=1-MPC=1-0.5=0.5 自发总支出增加 50 亿元，GDP 会增加多少。Y=1/(1-c) AE Y=1/(1-c)