常微分方程考研讲义-一阶微分方程解的存在定理

1、常微分方程考研讲义第三章 -阶微分方程解的存在定理第三章 一阶微分方程解的存在定理 教学目标 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2. 了解解的延拓定理及延拓条件。3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 12 学时 教学内容 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件， 解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 考核目标 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2.

2、熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3. 利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规 律， 能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。 在第二章介绍了一阶微分方程 初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实 际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。 因此初值问题的研究就显得十分 重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能 保证初值问题解的存在性与唯一性， 而讨论初

3、值问题解的存在性与唯一性在常微分方程 占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程过点 (0,0) 的解就是不唯一， 易知 y 0是方程过 (0,0) 的解，此外，容易验证， y x2 或 更一般地，函数(x c)2cx 1都是方程过点 (0,0) 而且定义在区间 0 x 1上的解，其中 c 是满足 0 c 1的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定 条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的 近似解法具有重要的意义， 而解的存在唯一性是进行近似计算的前提， 如果解本身不存 在，而近

4、似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在 唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。1存在性与唯一性定理：( 1)显式一阶微分方程dy f (x,y)dx(3.1)这里 f (x,y) 是在矩形域： R:| x x0 | a,| y y0 | b(3.2)上连续。定理 1：如果函数 f (x, y) 满足以下条件： 1)在 R 上连续： 2)在 R 上关于变量 y 满 足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数 L 0，使对于 R上任何一对点 (x,y1) ，( x, y2 ) 均有不等式 f (x,y1) f (x, y2) L y1 y2 成立，则方程(3

5、.1 )存在唯一的解 y (x) 在区间 |x x0 | h 上连续，而且满足初始条件(x0) y03.3)其中 h min( a, b ),M max f(x, y) , L 称为 Lipschitz 常数 . M x,y R思路： 1) 求解初值问题 (3.1) 的解等价于积分方程xy y0 x f (x, y)dxx0的连续解。2) 构造近似解函数列 n(x)任取一个连续函数 0(x)，使得 | 0(x) y0 | b ，替代上述积分方程右端的y ，得到x 1(x) y0 x f (x, 0 ( x)dx x0如果 1(x) 0(x) ，那么 0( x)是积分方程的解，否则，又用 1(x

6、) 替代积分方程右端 的 y ，得到x2(x) y0 x f (x, 1(x)dxx0如果 2(x) 1(x) ，那么 1(x) 是积分方程的解，否则，继续进行，得到x n(x) y0f(x, n 1(x)dxx0(3.4)于是得到函数序列 n(x) .3)函数序列 n( x)在区间 x0 h,x0 h上一致收敛于 (x)，即lim n(x) (x) n存在，对 (3.4) 取极限 , 得到xlim n(x) y0 lim n nx0f (x, n 1(x)dxx=y0 x f(x,x0(x)dx即(x) y0xx f (x, (x)dx. x04)x(x) 是积分方程 y y0f (x,y)

7、dx 在x0h,x0h 上的连续解这种一步一步求出方程解的方法逐步逼近法 .在定理的假设条件下 , 分五个命题来 证明定理 .为了讨论方便 , 只考虑区间 x0 x x0 h, 对于区间 x0 h x x0 的讨论完全类 似.命题 1 设 y (x) 是方程 (3.1) 定义于区间 x0 x x0 h 上 , 满足初始条件 (x0) y0(3.3)的解,则 y (x) 是积分方程xy y0 x f (x, y)dxx0 x x0 hx0(3.5)的定义于 x0 x x0 h 上的连续解 . 反之亦然 .证明 因为 y( x)是方程(3.1) 满足 (x0) y0的解, 于是有d (x)dxf

8、(x, (x)两边取 x0到 x 的积分得到x0 x x0 hx(x) (x0) x f(x, (x)dxx0x即有 (x) y0 x f(x, ( x)dxx0 x x0 hx0x所以 y (x) 是积分方程 y y0f (x,y)dx 定义在区间 x0 x x0 h上的连续解x0反之,如果 y( x)是积分方程 (3.5) 上的连续解 , 则x(x) y0f (x, (x)dxx0 x x0 hx03.6)由于 f(x,y)在R上连续 ,从而 f(x, (x)连续,两边对 x求导,可得d (x)dxf(x, (x)而且(x0) y0,故 y (x)是方程 (3.1) 定义在区间 x0 x

9、x0 h上,且满足初始条件 (x0) y0的 解.构造 Picard 的逐次逼近函数序列 n(x) .0(x) y0x (n 1,2,L )n(x) y0 x f( , n 1( )dx0 x x0 hx0(3.7)命题 2 对于所有的 n ，( 3.6 )中的函数 n(x)在 x0 x x0 h上有定义，连续且满 足不等式| n(x) y0 | b(3.8)证明 用数学归纳法证明x当 n 1 时， 1(x)y0 x f ( ,y0)dx0，显然 1(x) 在 x0 x x0 h 上有定义、连续且有x| 1(x) y0 | | x f ( ,y0)dx0x| x | f ( , y0)|dx0

10、M(x x0) Mh b即命题成立 .假设 n k命题 2 成立，也就是在 x0 xx0 h 上有定义、连续且满足不等式| k (x) y0 |b当 n k 1 时，k 1(x) y0xx f( , k( )dxx由于 f(x,y)在R上连续 ,从而 f(x, k(x)在 x0 x x0 h上连续，于是得知 k 1(x)在 x0 x x0 h上有定义、连续 , 而且有x| k 1(x) y0 | x | f ( , k( )|d M (x x0) Mh bx0即命题 2 对 n k 1时也成立 . 由数学归纳法知对所有的 n均成立.命题 3 函数序列 n (x) 在 x0 x x0 h 上是一

11、致收敛的记 lim n(x)(x), x0 x x0 h证明 构造函数项级数0(x) k (x) k 1(x)x0 x x0 hk1(3.9)它的部分和为nSn(x)0(x) k(x) k 1(x)n(x)MLnn!xxx0(x0)ndMLn(n+1)!(x x0)nk1于是 n(x) 的一致收敛性与级数 (3.9) 的一致收敛性等价 . 为此，对级数 (3.9) 的通项进行估计 .(3.10)| 1(x)0(x)|xx0| f( , x00( )|d M (xx0)| 2(x)1(x)|x x| f( , x01( ) f ( , 0()|d由 Lipschitz条件得知| 2(x)1(x)

12、|xL x | 1( x0) 0( )|dxL M ( x0x0 )dML(x2!x0)2设对于正整数n, 有不等式| n(x) n 1(x)|MLn1(x x )nn!(x x0)成立,则由 Lipschitz 条件得知 ,当 x0 x x0 h时, 有于是由数学归纳法可知 , 对所有正整数 k , 有| k(x) k 1(x)|MLkk!(xx0)kk1MLk 1 khk!x0 x x0 hx0x0而且 f (x,y) 满足 Lipschitz条件, 可得(3.11)hk由正项级数 MLK 1 h 的收敛性 ,利用 Weierstrass 判别法 ,级数(3.9) 在 k 1 k!x0 x

13、 x0 h上一致收敛 .因而序列 n(x) 在x0 x x0 h上一致收敛 .设lim n(x)(x),则 (x)也在 x0 x x0 h上连续,且n| (x) y0 | b命题 4 (x) 是积分方程 (3.5) 的定义在 x0 x x0 h上的连续解 .证明 由 Lipschitz 条件| f(x, n(x) f(x, (x)| L | n(x) (x)|以及 n(x)在x0 x x0 h上一致收敛于 (x),可知 f (x, n(x)在 x0 x x0 h上 一致收敛于 f (x, (x) . 因此xlnim n(x) y0 lnim x f ( , n 1( )d n n 即n(x)

14、y0 x f( , ( )dx0故 (x) 是积分方程 (3.5) 的定义在 x0 x x0 h 上的连续解 .命题 5 设 (x)是积分方程 (3.5) 的定义在 x0 x x0 h上的一个连续解 , 则 (x)(x), x0 x x0 h.证明 设 g(x) | (x) (x)|,则 g( x)是定义在 x0 x x0 h的非负连续函数 , 由于xx(x) y0f ( , ( )d (x) y0f ( , ( )d0x=y0 x lnim f ( , n 1( )dx0 nxg(x) | (x) (x)| | x f( , ( ) f( , ( )d |x0xx | f( , ( ) f(

15、 , ( )|dx0xxL x | ( ) ( )|d L x g( )dx0x0x令u(x) L g( )d ,则u(x)是 x0 x x0 h的连续可微函数 ,且u(x0) 0, x0u(x0 )e Lx00 g(x) u(x), u (x) Lg(x), u (x) Lu(x), (u (x) Lu(x)e Lx 0,即(u(x)e Lx) 0, 于是在 x0 x x0 h上, u(x)e Lx故 g(x) u(x) 0,即 g(x) 0, x0 x x0 h, 命题得证 .对定理说明几点 :(1) 存在唯一性定理中 hmin( a, b ) 的几何意义 . MM , 故方程过 (x0,

16、 y0) 的积分曲线 y ( x)的斜率必介于 M M 与 M 的直线 .在矩形域 R 中 f (x,y) 与M 之间,过点 (x0,y0)分别作斜率为当 Mb 时，即 ab ,(如图 (a) 所示)，解 y (x)在 x0a xx0a 上有定义；aM当Mb时,即 ba, (如图(b) 所示)，不能保证解在 x0a xx0a上有定义，aM它有可能在区间内就跑到矩形 R 外去，只有当 x0 b x x0 b 才能保证解0 M 0 My(x) 在 R内，故要求解的存在范围是|x x0 | h.(2) 、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却 易于验证的条件来代替他，即如

17、果函数f (x, y)在矩形域 R上关于 y的偏导数 fy(x, y)存在并有界，即 fy(x,y) L ，则李普希兹条件条件成立 . 事实上| f(x,y1) f (x,y2)| | f (x,y2 (y1 y2) |y1 y2|yL|y1 y2 |这里 (x,y1),(x,y2) R,01. 如果 fy(x,y)在 R上连续，它在 R上当然满足李普希兹条件.但是, 满足李普希兹条件的函数 f (x,y)不一定有偏导数存在 .例如函数 f(x,y) | y |在任何区域都满足李普希兹条件 ,但它在 y 0处没有导数 .(3) 、设方程 (3.1) 是线性的 , 即方程为dy P(x)y Q(

18、x)dx易知,当 P(x),Q(x)在区间 , 上连续时 ,定理 1的条件就能满足 ,且对任一初值(x0, y0 ), x0 , 所确定的解在整个区间 , 上有定义、连续 .实际上,对于一般方程 (3.1), 由初值所确定的解只能定义在 |x x0 | h上,是因 为在构造逐步逼近函数序列 n(x) 时,要求它不越出矩形域 R, 此时,右端函数对 y没 有任何限制 , 只要取 M max | P(x)y0 Q(x)|.x , (4) 、 Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件 .例如 试证方程dy 0 y=0dx yln|y| y 0经过 xoy 平面上任一点的

19、解都是唯一的证明 y 0时, f(x,y) yln|y|,在 y 0上连续, fy(x,y) 1 ln |y|也在 y 0上连续 , 因此对 x 轴外的任一点 (x0, y0), 方程满足 y(x0) y0 的解都是唯一存在的 又由dyyln | y|可得方程的通解为y ece , 其中 y ece 为上半平面的通解 , y ece 为下半平面的通解 , 它们不可能与 y 0相交. 注意到 y 0是方程的解 , 因此对 x轴上的任一点 (x0,0) , 只有 y0通过 , 从而保证 xoy平面上任一点的解都是唯一的 .但是| f(x,y) f(x,0) | |yln|y| |ln|y|y|因为

20、 lim |ln |y|,故不可能存在 L 0,使得y0| f(x,y) f ( x,0) | L|y|所以方程右端函数在 y 0的任何邻域并不满足 Lipschitz 条件 .此题说明 Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件2) 考虑一阶隐方程F(x,y, y) 0(3.12) 由隐函数存在定理 ,若在( x0 , y0, y0)的某一邻域内 F 连续且 F(x0,y0,y0) 0,而0, 则必可把 y 唯一地表为 x,y的函数y f(x,y)(3.13) 并且 f (x,y)于(x0, y0 )的某一邻域连续 ,且满足 y0 f (x0, y0)如果 F关于

21、所有变元存在连续的偏导数 ,则 f(x,y)对 x, y也存在连续的偏导数 ,并 且F/(3.14) 显然它是有界的 ,由定理 1可知, 方程(3.13) 满足初始条件的 y(x0) 0解存在且唯一 .从 而得到下面的定理 .定理 2 如果在点 (x0,y0,y0) 的某一邻域中 :) F(x, y, y )关于所有变元 (x,y, y )连续,且存在连续的偏导数；) F(x0, y0,y0) 0) F(x0,y0,y0) 0则方程( 3.12 )存在唯一的解y y(x) | x x0 | h ( h 为足够小的正数)满足初始条件y(x0)y0, y (x0) y03.15)1、 近似计算和误

22、差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法0(x) y0n(x) y0xx0 f ( x0n 1()dx0x0 h对方程的第 n 次近似解 n (x) 和真正解(x) 在 | xx0 |h 内的误差估计式| n(x) (x)|MLnh (n 1)!3.16 )此式可用数学归纳法证明 .x| 0(x) (x)| x |f( ,x0( )|dM (xx0)Mh设有不等式n| n 1(x) (x)| MnL!1(x x0)nn1MLn 1 nhn!成立,则x| n(x) (x)| x| f( , x0xL x0 |MLnn!MLnn 1(n 1(xx0(x(n+1)!例 1 讨论初值问题dyd

23、xx22y,) f ( , ( ) |d) ( )|d x0)ndx0)ny(0)MLnh(n+1)!n1解的存在唯一性区间 , 并求在此区间上与真正解的误差不超过 R: 1 x 1,0.05 的近似解 ,其中,解M| y| |2y|可知 n1 y 1.max | f (x,y| 2,a 1,b 1,h min (x,y) RL, 根据误差估计式 (3.16)| n(x)3. 于是0(x) 03(x)就是所求的近似解(x)| (nMLnhn1)!1(n 1)!1(x)2 x 002(x)dx2(x)x22x2012 ( x)dx3(x)x22x2022( x)dx3 x33 x3, 在区间a,

24、 b M12,由于0.057 x 637 x 6311x207915x5953511 上, 这个解与真正解得误差不超过20.05.2 解的延拓上节我们学习了解的存在唯一性定理，当 dy f (x,y) 的右端函数 f (x,y) 在 R dx dy f (x,y)上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题 dx 的解在 |x x0 | h上存在且 y0 y(x0)唯一 . 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的 . 可能随着 f(x,y) 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1，21当定义区域变为 R: 2 x 2, 2 y 2时，M 8,h mi

25、n2, 2 1 ，解的范围缩小841为 |x x0 | 1 . 在实际引用中， 我们也希望解的存在区间能尽量扩大， 下面讨论解的延4展概念，尽量扩大解的存在区间， 把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的 .1、饱和解及饱和区间定义 1 对定义在平面区域 G 上的微分方程ddyx f (x, y)(3.1)设y(x) 是方程 (3.1)定义在区间 I1 R上的一个解 , 如果方程 (3.1) 还有一个定义在区间 I2R上的另一解y(x) , 且满足(1)I1 I2 ；但是I1I2(2)当 x I1 时，(x)(x)则称 y (x), x I 1是可延拓的，并称 y(x)是 y(x) 在

26、I 2上的延拓 .否则如果不存在满足上述条件的解 y (x), 则称 y (x),x I1是方程 (3.1) 的不可延拓解或饱 和解 ,此时把不可延拓解的区间 I1称为一个饱和区间 .2、局部李普希兹条件定义 2 若函数 f (x,y) 在区域 G 内连续，且对 G 内每一点 P ，都存在以 P 点为中 心，完全含在 G 内的闭矩形域 Rp ，使得在 Rp上 f (x,y) 关于 y 满足李普希兹条件(对 于不同的点， 闭矩形域 Rp 的大小和李普希兹常数 L 可能不同)，则称 f (x,y) 在G 上关 于 y 满足局部李普希兹条件 .定理 3 (延拓定理)如果方程 dy f (x,y) 的

27、右端函数 f (x,y) 在(有界或无界)dx区域 G R2上连续，且在关于 y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点 (x0,y0) G ，方程 dy f (x,y)以(x0,y0)为初值的解 (x) 均可以向左右延展， 直到点 (x, ( x)任意 dx接近区域 G 的边界 .以向 x增大的一方来说，如果 y (x) 只能延拓到区间上，则当 x m时， (x, (x) 趋于区域 G 的边界。证明(x0,y0) G ，由解的存在唯一性定理，初值问题ddyx f (x,y) y0 y(x0 )1)存在唯一的解 y ( x) ，解的存在唯一区间为 |x x0 | h0. 取x1 x0 h0,y1(

28、x1), 以( x1, y1)为中心作一小矩形 R1 G, 则初值问题dy f (x,y)dxy1 y(x1)(2)存在唯一的解y (x) ，解的存在唯一区间为 |x x1 | h1.因为 (x1) x1 h1 x x1 时(x1), 有唯一性定理 , 在两区间的重叠部分应有 (x) (x), 即当 (x) (x) . 定义函数(x)( x), x0 h0 x x0 ( x), x0 h0 x x0h0h0 h1则 y( x)是方程 (3.1) 满足(1)( 或(2) 的,在x0这样,把方程 (3.1) 满足(1) 的解 y y(x) 看作方程 (3.1) 的解 y (x) 在定义区间 |x区

29、间 x0 h0 x x0 h0 h1. 同样的方法 , 也可把解 yh0,x1 h1上有定义的唯一的解 .( x)在定义区间上向右延伸了一段 . 即把解x0| h0的向右延拓 , 延拓到更大( x)向左延拓 . 这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去 , 最后将得到一个解 y 个解称为方程 (3.1) 的饱和解 .(x), 不能再向左右延拓了 . 这推论 1 对定义在平面区域 G 上的初值问题dy f (x,y)dxy0 y(x0 )其中 (x0,y0) G若 f (x,y)在区域 G内连续且关于 y满足局部 Lipschtiz 条件, 则它的任一非饱和解均 可延拓为饱和解 .推论 2 设

30、y (x) 是初值问题dx其中 (x0,y0) Gy0 y(x0 )的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间 I 一定是开区间 .证明 若饱和区间 I 不是开区间 ,不妨设 I ( , ,则( , ( ) G, 这样解 y (x) 还可以向右延拓 ,从而 y (x)是非饱和解 ,矛盾.对I , )时,同样讨论 ,即 x (或 x)时, (x, (x) G.推论 3 如果 G是无界区域 ,在上面解的延拓定理的条件下 ,方程(3.1) 通过 (x0,y0)点的 解 y( x)可以延拓 ,以向x增大(减小)一方的延拓来说 ,有以下两种情况 :(1) 解 y (x)可以延拓到区间 x0, )(或( ,x0

31、)；(2) 解 y (x)只可延拓到区间 x0 , m) (或( m, x0 ) ，其中为有限数， 则当 x m时，或者 y(x)无界 ,或者点 (x, (x)G.例 1 讨论方程 dxy2 1分别通过点 (0,0) 和点 (ln 2, 3) 的解的存在区间解 此方程右端函数 f (x,y)y 1 在整个2xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件 . 易知方程的通解为x1 ce例2讨论方程 ddyx1 ln x 过 (1,0) 点的解的存在区间解 方程右端函数 f(x,y) 1 ln x 在右半平面 x 0上满足解的存在唯一性定理 及解的延拓定理的条件 .区域 G (右半平面 )是

32、无界开域， y 轴是它的边界 .易知问题的解为 y xln x, 它于区间 0 x 上有定义、连续且当 x 0时, y 0 ,即所求问题的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到 0,且当 x 0时积分曲线上的点 (x, y) 趋向于区域 G 的边界上的点 .例 3 考虑方程 dy (y2 a2)f (x,y),假设 f(x,y)和 fy(x,y)在 xoy平面上连续， dx试证明：对于任意 x0及 y0 a ，方程满足 y(x0) y0的解都在 ( , )上存在 .证明 根据题设 , 易知方程右端函数在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及 解的延拓定理的条件 .又y a为方程在 ( ,

33、 )上的解, 由延拓定理可知 ,对 x0,| y0 | a , 满足 y(x0) y0的解 y y( x)应当无限远离原点 ,但是 ,由解的唯一性 , y y( x )又不能穿过直线 y a, 故只能向两侧延拓 , 而无限远离原点 , 从而解应在 ( , )存在.注: 如果函数 f (x,y)于整个 xoy平面上定义、 连续和有界 , 同时存在关于 y的一阶 连续偏导数 , 则方程 (3.1) 的任一解均可以延拓到区间 x .练习 试证对任意 x0 ，y0，方程 dy2 x 2 满足初始条件 y(x0 ) y0 的解都dx x y 1在() 上存在 .3 解对初值的连续性和可微性定理dy在初值

34、问题 dxf ( x, y)中我们都是把初值 (x0, y0 )看成是固定的数值， 然后再去y0 y(x0 )讨论方程 dy f (x, y) 经过点 (x0,y0) 的解.但是假如 ( x0 , y0)变动，则相应初值问题的 dx解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量 x ,还依赖于初值 (x0, y0). 例 如： f (x,y) y时,方程 y y的解是 y cex ,将初始条件 y(x0) y0带入 ,可得 y y0ex x0 .很显然它是自变量 x和初始条件 (x0,y0)的函数. 因此将对初值问题 dy f (x,y)dx 的解记为 y (x,x0,y0),它满足 y0

35、 (x0,x0, y0).y0 y(x0)当初值发生变化时， 对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化 是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质 .1、解关于初值的对称性设方程(3.1) 满足初始条件 y(x0) y0的解是唯一的 , 记为 y(x,x0,y0), 则在此关系式中 , (x,y)与(x0, y0)可以调换其相对位置 .即在解的存在范围内成立关系式y0(x0,x,y)证明 在方程 (3.1) 满足初始条件 y(x0) y0的解的存在区间内任取一点 x1, 显然 y1 (x1, x0 , y0) ,则由解的唯一性知 , 过点 ( x1 , y1 )的解与过点 (x

36、0, y0 )的解是同一条积 分曲线 , 即此解也可写为y (x,x1,y1)并且,有 y0(x0,x1,y1).又由 (x1, y1)是积分曲线上的任一点 , 因此关系式y0( x0, x, y)对该积分曲线上的任意点均成立 .2 、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差 . 有的时候误 差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当 (x0, y0) 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续 依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数 f (x, y)于某域

37、 D内连续，且关于 y 满足 Lipschtiz 条件( Lipschtiz 常数为 L )，则对方程( 3.1 )的任意两个解 (x) 及 (x) ，在它们公共存在的区间内 成立着不等式| (x) (x)| | (x0)(x0)|eL|x x0|(3.17)其中 x0 为所考虑区域内的某一值 .证明 设 (x), (x)于区间 a x b上均有定义 ,令2V(x) (x) (x)2,a x b则V (x) 2 (x) (x) f (x, ) f (x, )于是 V (x) |V (x)| 2| (x) (x)| f(x, ) f(x, )| 2LV(x)V (x)e 2Lx 2LV(x)e

38、2Lx 0从而 d (V(x)e 2Lx) 0dx所以,对 x0 a,b ,有V(x) V(x0)e2L(x x0),x0 x b对于区间 a x x0 ,令 x t, 并记 x0 t0, 则方程(3.1) 变为dy f ( t,y)dx而且已知它有解 y ( t) 和 y( t).类似可得 V(x) V(x0)e2L(x0 x),a x x0因此 ,V(x) V(x0)e2L|x x0|,a x b,a x0 b两边开平方即得 (3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设 f(x,y)在区域 G内连续，且关于 y满足局部李普希兹条件， 如果 (x0,y

39、0)dy 初值问题 dxy0f(x,y)有解yy(x0)(x,x0,y0) ，它于区间 a x b上有定义 ( a x0G，b ),则对任意 0， ( ,a,b) 0，使得当 (x0 x0) 2 2| (x) (x0)| 1,取 min( 1, 2),则当 (x0 x0)2 (y0 y0)22时就有| (x)(x)|2 | (x0) (x0)|2 e2L|x x0|12(| (x0)(x0)| | (x0) (x0)|)2e2L|x x0|2(| (x0)(x0)|2 | (x0)(x0)|2)e2L|x x0| 2( 12 |y0 y0|2)e2L(b a) 12e2L(b a)2 (c x

40、 d)(3.18) 于是对一切 x c, d ,| (x) (x)| 成立 ,特别地有 (y0 y0)22时,方程(3.1)满足条件 y(x0) y0的解 y ( x, x0 , y0 )在区间 a x b上也有定义，并且有(x,x0,y0) (x,x0,y0),a x b.证明 记积分曲线段 S:y(x,x0,y0)(x),a x b是 xy平面上一个有界闭集.第一步:找区域 D,使S D,而且 f(x,y)在 D上关于 y满足 Lipschitz 条件.由已知条件 ,对 (x,y) S ,存在以它为中心的开圆 C,C G,使 f(x,y)在其内关 于 y满足 Lipschitz 条件. 因

41、此,根据有限覆盖定理 ,可以找到有限个具有这种性质的圆 Ci(i 1,2,L ,N)(不同的 Ci,其半径 ri和 Lipschitz 常数 Li的大小可能不同 ), 它们的全 N体覆盖了整个积分曲线段 S,令G% UCi ,则 S G% G,对0,记i1d( G%,S), min( , 2),L max(L1,L LN),则以 S上的点为中心 ,以 为半径的 圆的全体及其边界构成包含 S的有界闭域 D G% G,且 f(x,y)在 D上关于 y满足 Lipschitz 条件 , Lipschitz 常数为 L.2 2 2第二步:证明 ( ,a,b) 0( ) ，使得当 (x0 x0)2 (y

42、0 y0)22时,解y (x)(x, x0, y0)在区间 a x b上也有定义 .由于 D是一个有界闭域 ,且 f (x,y) 在其内关于 y满足 Lipschitz 条件,由解的延拓 定理可知 , 解 y (x)(x,x0,y0)必能延拓到区域 D的边界上 .设它在 D的边界上的点为 (c, (c) 和(d, (d), c d ,这时必有 c a,d b. 否则设 c a,d b ,由引理有| (x) (x)| | (x0) ( x0 ) |eL|x x0|,c x d1利用 (x)的连续性 ,对 1 1 e L(b a),必有 2 0存在,使当|x x0| 2时有| (c) (c)| ,

43、 | (d) (d)|即点 (c, (c) 和(d, (d )均落在域 D的内部 ,这与假设矛盾 ,故解 y (x)在区间 a,b 上有定义 .第三步 证明 | (x) (x)| ,a x b.在不等式( 3.18 )中将区间 c,d换成 a,b ，可知当(x0 x0)2 (y0 y0 )2 2 时，就有(x,x0, y0) (x, x0, y0 ),a x b.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数 f (x,y)在区域 G内连续，且关于 y满足局部李普希兹条件 ,则方程 (3.1) 的 解 y(x,x0, y0)作为 x, x0 , y0的函数在

44、它的存在范围内是连续的 .证明 对 (x0, y0) G ,方程(3.1) 过(x0,y0)的饱和解 y(x,x0,y0)定义于(x0, y0) x(x0, y0)上,令(x0,y0),(x0,y0) GV ( x,x0, y0) | (x0, y0) x下证 y(x,x0,y0)在V 上连续.对 (x,x0,y0) V , a,b,使解 y (x,x0, y0)在a,b 上有定义 ,其中 x,x0 a,b .对 0, 1 0, 使得当 (x0 x0)2 (y0 y0)212 时,(x,x0,y0) (x,x0, y0),a x b2又y(x,x0,y0)在 x a,b上对 x连续, 故 20

45、 , 使得当 |x x|2 时有(x,x0, y0) (x,x0,y0) 2,x,x a,bmin(2) ,(x,x0, y0) (x,x0, y0)| (x,x0, y0)(x,x0,y0)| (x,x0,y0) (x,x0, y0)|22从而得知 y(x,x0,y0)在V 上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数 的微分方程dy f (x, y, ) G :(x,y) G,dx(3.19)如果对 (x,y, ) G ，都存在以 (x, y, )为中心的球 C G ，使得对任何(x,y1, ),( x,y2, ) C ，成立不等式| f (x,y1, ) f (x,y2, )|

46、L|y1 y2 |其中 L 是与 无关的正数， 称函数 f (x,y, ) 在 G 内关于 y 一致地满足局部的李普 希兹条件 .由解的唯一性，对每一 0 ( , )，方程( 3.19 )通过点 (x0, y0) G的解是 唯一确定的，记这个解为 y(x,x0, y0, 0).设 f(x, y, ) 在 G 内连续 , 且在 G 内关于 y 一致地满足局部的李普希兹条件 , (x0,y0, 0) G ,y (x,x0,y0, 0)是方程(3.19) 通过 (x0,y0)的解, 在区间 a x b上 有定义,其中 a x0 b,则对0, ( ,a,b) 0 ,使得当(x0 x0)2 (y0 y0 )2 (0)2 2时,方程(3.19) 通过点 (x0,y0)的解 y (x,x0, y0, ) 在区间 a x b上也有定义 , 并且(x,x0,y0, ) (x,x0, y0, 0),x a,b5、解对初值和参数的连续性定理设函数 f(x,y, )在区域 G 内连续，且在G 关于 y一致地满足局部李普希兹条件 , 则方程(3.19) 的解 y (x,x0,y0, ) 作为 x,x0,y0, 的函数在它的存在范围内是连续 的.6、解对初值的可微性定理f (x,y) d