常微分方程习题及解答

1、常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答、问答题：1 常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义 ? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函 数及其导数的关系式。常微分方程，自变 量的个数只有一个。偏微分方程，自变量 的个数为两个或两个以上。常微分方程解 的表达式中，可能包含一个或几个任意常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数 恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该 微分方程的通解。2 举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的 通解，是将线性齐次方程通解中的任意常 数变易为待定函数来求线性非齐次方程的 通解。例：求 dy P(x)y Q(x) 的通解。d

2、x首先利用变量分离法可求得其对应的 线性齐次方程的通解为 y cl P(x)dx，然后将常 数c变易为 x的待定函数 c(x)，令 y c(x)l P(x)dx， 微分之，得到ddyx dcd(xx) l P(x)dx c(x)P(x)l P(x)dx ，将上述两式代入dx dx方程中，得到dc(x)ldxP( x)dxP(x) dx c(x)P(x)lP(x) dxc( x)P(x)lQ( x)即 dc(x) Q(x)l P( x)dxdx积分后得到 c(x) Q(x)l P( x)dxdx c%进而得到方程 的通解P(x)dx P( x)dxy l ( Q( x)l dx c%)3高阶线性

3、微分方程和线性方程组之间的联系如何？答： n 阶线性微分方程的初值问题x(n) a1(t)x(n 1) . an 1(t)x an(t)x f (t) x(t0) 1,x (t0) 2,x(n 1)(t0) n其中 a1(t)，a2(t),.an(t), f (t)是区间 a t b 上的已知 连续函数， t0 a, b ， 1, 2,., n 是已知常数。 它可以化为线性微分方程组的初值问题但是需要指出的是每一个n 阶线性微分方程010L00001L00xMMMMMxM000L10an(t)an 1(t)an 2 (t )La1(t)f (t )x(t0)反之却不成立。4若常系数线性方程组

4、x Ax 和 x Bx 有相同的基本解矩阵， 则 A与 B 有什么关系？答：设常系数方程组 x Ax的基解为 1(t) expAt ， x Bt的基解为 2(t) expBt ，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知 1(t) C 2(t)，则可得 exp At C exp Bt ，C为非奇异 n n 的常数矩阵。5写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。0 (t) ,t a t b k(t) t A(s) k 1(s) f (s)ds(k 1,2,L )t0、求下列方程(或方程组)的通解(或特解)1. y x dy y2 sin2 xdx解：方程可化为2 y sin x y

5、xxy2x y2 ，y y2sin2 x，当 x 0时，是伯努利方程。其中 P( x)11,Q(x)x2sin x。令z y 1，方程可化为dzdxl 1x( x 1(1 x2 12sin xx，12 xdx ( sin xl xsin2 xdx c)x 1 sin 2x41 sin 2x c1dxx1x(xc)c)1 cos2xdx c)2将z y 1代入上面的式子，可得 y 1 21 14 sinx2x cx或2 4 x x者1 y 1 ysin2x cy2 4 x xy 0 也是方程的解。2 y xy yl 2y 0 解：令 yp，对x求导，则原方程可化为 y xppl 2p 0可得 p

6、 x dp p 2pl dx2p dpdxl2p dp 0， dx则 ( x2pl 2p l2p dp)dx0那么：x 2pl 2pl 2p 0或者 ddpxdx当x2pl 2p l2p时，则y( 2pl2 p 2p2p l 2p)p plpl2p2p2l 2p pl 2p2p2l 2p当 dp 当 dx0时，则pc，那么其中 c,c%是任意常数。02pdydxp，可得 y cx c%，x2，转化为欧3. xy 2y 0 解：方法一：方程两端同时乘以 拉方程 x3y 2x2 y 0 。它的特征方程 k(k 1)(k 2) 2k(k 1) 0 ，特征根 为 0，0， 1.方 程 的 基 本 解

7、组 为 1,ln x,x, 故 其 通 解 为y C1 C2 lnC3x方法二：令 y z ，将方程转化为一阶线性方程 xz 2z 0 ，解之得 z C21 。x即有 y Cx12 ，积分得 y Cx1 C2 ，再积分得xx其通解为 y C1 C 2 ln x C3 x4d2y 2 dy. 2 x2 2xy 1 y(0) 0,y (0) 0dx dx解：原方程可写成 y x2y 2xy 1 ， 方程的左边可写成 y (x2y) (y x2 y) 则 (y x2y) =1 积分可得， y x2 y x c1那么 y x2 y x c12因为 y (0) 0，所以 c1 0，则 y x2 y x2

8、利用常数变易法可求得方程的解为：2 2 2x dx x x dxy l ( l dx c)2x3 x 2 x3x3 1 x3l 3 ( x l 3 dx c) l 3 ( 1 l 3 c )22x3cl1 0 0x15. x Ax A 0 1 3x x20 1 1x3解：特征方程为24) ( 1)( 2)( 2)( 1)2 ( 1) 3( 1) ( 1)( 可得特征值为2, 2 1, 3 2 。对应于特征值2的特征向量为v101，1对应于特征值1 的特征向量为 v210，0对应于特征值令0(t ) l 2tl 2t三、证明题lt001, 1, 1 ，03l 2t 。l 2t03。1可得方程组的

9、基解为2 的特征向量为 v31给定方程 x2 x xf (t)，其中 f (t)在 t上连续，1(t),在。证明：(t) 是上述方程的任一两个解，证明极限ltim 1(t)2(t)齐次方程3 2 2x 2x x 0 的特征方程为解为 x解之得， 1 0, 2,3 1。所以齐次方程的通 c2l t c3t l t因为 1(t), 2(t) 是非齐次方程的两个解，有 解的性质可得，1(t) 2(t) 是对应齐次方程的解，也就是说 存在适当的常数 c1,c2,c3 使得mli)t(12)t(1从2 c1 m l ) t (2ctc2证明：已知二阶非齐次方程 x p(t)x q(t)x f (t) 对

10、应齐次方程的一 个非零解 x1(t ) ，则该方程可以求得通解。证明：对于二阶线性方程 x p(t)x q(t)x f (t)，经 过变换 x x1(t) y ，得到x1(t)y (2x1(t) p(t)x1(t)y f (t)再作变换 z y ，即 zf (t )x1(t)(2x1 (t) p(t)x1(t)zx1(t)这是一个以 z 为未知函数的一阶线性非齐 次方程，容易求出它的通 p(t)dt解为 z l 2 (C1 f (t)x1(t)l p(t)dtdt)x12(t)再积分p(t)dtx12(t)(C1p(t )dtf (t )x1(t )ldt) dt则该方程的解可表示为p(t)dt lp