常见几何体的面积体积求法与应用

1、常见几何体的面积、体积求法与应用要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别 对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来 计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式， 对号入座很麻烦。 笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、 体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除 大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下 个月销售量，若去年平均销售量为 y，设本月权为 4，上月权数为 1，下月 权数为 1，各月权数分别乘销售量相加后除以 6 等于 y

2、。这样能准确地确定 下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通 过推导与实践， 对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、 体积。 下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。常见几何体的面积、体积统一公式：h0A 0 (C0 4C1 C2 )6h0V 0 (S0 4S1 S2 )6(其中 A 为几何体侧面积， C0 为上底面周长， C1 为中间横截面周长， C2为下底面周长， V 为几何体体积， S0为上底面面积， S1为中间横截面面 积， S2为下底面面积， h 为高， h0为斜高或母线长。注：中间横截面为上、 下底等距离的截面。 )一、棱柱、棱

3、锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式 的正确性1、棱柱：据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即C0 C1 C2 ，可得： h0 (C0 4C1 C2) h0 6C2 h0C2，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。66以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的 正确性。据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：S0 S1 S2 ，即：hhV h(S0 4S1 S2) h(S2 4S2 S2) S2h 。662、棱锥a1，则设底边长为 a2，边数为 n ，斜高为 h0，侧面三角形中位线为1a1 a22即 C1 1C22h0h011A(C0 4C1 C2 )(

4、0 4 C2 C2)C2h06622设正棱锥底面 n 边形中心点与边分割成 n 块三角形，相应对应中间 横截面也分割成 n 块三角形，而每块对应三角形底边 a1 1 a2 ，且高也为一 1 2 2 半，即 h1 1h22 nn 1 1 1 n1S1 a1h1a2 h2a2h2 S222 2 2 4 24则V h(S0 4S1 S2) h(0 4 1S2 S2) h 2S2 hS26 6 4 633、棱台设上底面边长为 a0，中间横截面边长为 a1，下底面边长为 a2，则11a1(a0 a2 ) ，即 C1(C0 C2) 。22h0h01h0h0A 0 (C04C1C2)0C04 1(C0C2)

5、C20 (3C0 3C2)0 (C0C2)66262设正棱台 h0 为上底面中点与边所分割成三角形的高， h1为中间横截面相应分割成三角形的高， h2为下底面相应分割成三角形的高， 则 h0 a0 h2 a2即 a2h0 a0h2，1n 11nS1na1h1(a0a2 )(h0h2 )(a0h0 a0h2a2h0a2h2 )22 228h h nV (S04S1S2) S04 (a0h0 a0h2a2h0a2h2)S26 0 1 26 0 8 0 0 0 22 02 22hS0 na0h0 na0h2 na2h0 na2h2 S262 2 22hS0 S0 na2h0 na2h0 S2 S26

6、 2 2hn(2S0 2S2 2 a2h0) 62 hn(S0 S2a2h0)32 h n n (S0 S2 a2h0 a2h0 )223 0 2 2 2 0 2 2 0 h n n 3(S0 S2 2a0h0 2a2h2 )hh(S0 S2 S0 S2 )3注：以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。例：已知正四棱台容器量得斜高为 1.3m ，上、下底面边长分别为 0.8m和 1.8m ，求容器能盛多少水？解： h 1.32 (2 1.8 0.8 2 1h 1.32 ()2 1.2, a1(0.8 1.8) 1.3Vh(S04S1S2)1.2(0.8241.321.82)2.128m32.1

7、28吨6 0 1 2 6则容器能盛 2.128 吨水。4、圆柱设母线长为 h0，上底面半径为 r0，下底面半径长为 r2，中间横截面半 径为 r1，则 r0=r1=r2h0h0h0A0 (C04C1C2 )0 (2r04 2r12 r2)0 (2 r28 r22r2)2 r2h0666hh 2 2 2 h 2 2 2 h2 2V(S04S1S2)( r04 r1r2 )( r24r2r2 )6r2r2 h66 6 65、圆锥若母线长为 h0，底半径为 r2，中间横截面半径为 r1，则 r1 12r2A h0 (C0 4C1 C2)h0 (04 2 r1 2 r2)h0 (08 1r2 2 r2

8、)h0 6r2r2h0666 26h h 2 2 h 1 2 2 h 2 2V(S04S1S2 )(0 4r12r22)(0 4 (r2)2r22)(r22r22 )6 6 6 2 6h 2 1 22 r2r2 h636、圆台若母线长为 h0，高为 h，上底面半径为 r0，中间横截面半径为 r1，下 底面半径为 r2，则 r1 1(r0 r2 )。2h0h0A0 (C0 4C1 C2)0 (2 r0 4 2 r1 2 r2)614 2(r0 r2) 2 r2 2 0 2 2h06 h02 r060 h00 (2 r06h0(2 r020h h 2 2 2 V(S0 4S1 S2 )( r0 4

9、 r1r2 )66h 2 2 2 2( r0r0 2 r0r2 r2r2 )6h 2 2(2 r02 r0r2 2 r2 )6h 2 2 2 2( r0r2r0 r2 )(S0 S2S0 S2 )3 0 2 0 24 r0 4 r2 2 r2)h02 r2) 0 (C0 C2)2 2 0 2hh 2 1 2 2 6h r02 4 41(r0 r2)2r222222例：某圆台工件量得大头直径为36 毫米，小头直径为 24 毫米，长为 180 毫米，求体积。解：r0 12, r2 18, r1 1(12 18) 15, h 1802V 180 ( 122 41526182) 41040 41.04

10、 厘米 3二、常见曲线围成面积与旋转体体积1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用：hA h6(y0 4y1 y2 )设一次函数：hA (ax b)dxy ax b在 x 0,h 的曲边梯形面积为：2 x bx2hah2 bh02h6h(3ah 6b)(1)而这时 f (0), f (h), f (h)分别为2 则 y0 b, y1 a h b, y2 ah b2y0 4y1 y2 b 4(a h b) ah b 2b 2ah 4b ah 3ah 6b，代入( 1)可y0,y1, y2得 A h6(y0 y1 y2 )设二次函数：y ax2 bx c在x 0,h 上的曲边梯形面积为

11、：h 3 20 a h3 bh2 ch h(3ah232xx a b cx32A (ax bx c)dx h2(2ah 3bh 6c) 6由 f(0), f(h), f (h)分别为2a 2 b 2y0 c, y1h2 h c, y2 ah2 bh c42a 2 b 2则 y0 4y1 y2 c 4( h2h c) ah2 bh c42h ax2bh c)2(1)y0, y1,y2，222c ah2 2bh 4c ah 2 bh2ah2 3bh 6c ，代入(1)可得：A h(y0 4y1 6y2)设三次函数： y ax3 bx2 cx e在x 0,h 的曲边梯形面积为： a4h 3 2 A

12、(ax3 bx2 cx e)dxa3h( h344 3 2 h x x x b c ex 324 3 2 hhhb c eh432由 f(0),y0 e,b2ch33h2h e) ( ah33262f(h2), f (h)分别为 y0, ah3bh2che,abce,8 4 2 h3h2e 4(ah bh 8422bh2 3ch 6e)y1, y2 ，y1即 y0 4y1 y2(1)32y2 ah3 bh2 ch eh 3 2c2h e) ah3 bh2 ch ee ah3 bh2 2ch 4e ah3 bh2 ch e 3h3 2bh2 3ch 6e22代入( 1)可得：A h(y0 4y1

13、 y2) 6综上所述，可得出一个结论：对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用：hA h6(y0 y1 y2) 。例：求 f (x) x2 2x 1与 (x) x3 1, x 0,2 所围成的面积。解： y0 f(0) (0) 0, y1 f (1) (1) 2, y2 f(2) (2) 0 28面积 A (0 4 2 0)632、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用：hV 6h(S0 4S1 S2)在所有旋转体要求体积时，若被积函数为一次函数、二次函数、三次 函数据对前面推导可知，其体积都可用 V h(S0 4S1 S2) 。6如：球半径为 R 时，球的体积为 V 2R(0 4 R2 0) 4 R363例：求 f (x) x3 2x 5, x 0,2 绕 x 轴旋转所成几何体体积。解：x 0时 S0f 2(0) 5x 1时 S1f 2(1) 8x 2时 S2f 2(2) 172V (5 4 8 17 ) 186例：已知抛物面形水池，