常用三角恒等变换技巧师

1、实用标准文案常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题， 几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。 三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、 函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。 下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求

2、解。已知 COS x +一 II 4丿53 二x :442,sin2x 2 sin x，求的值。1 -tan x精彩文档JI:：x 一 ： 2 二,4又因为cos x30，所以45江:x 一： 2 二,24sin x + -4丿sin x = sin i xK 4丿4sin x + icos - cos xl 4丿 4 0，4 4丿所以，原式-(sin 2 cos3) (sin 3-cos3) - -2cos3 .例2求函数f(x)=2亦F xJWcS ,屯日的最大值与最小值.【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幕”后“角变倍”，与第二项的角一致【简解】f (x) = 1cos n 2x

3、 - 一 3cos2x=1 sin2xi：；3cos2xIL 2=1 2sin又f (x)max=3, f(x)min =2 .【反思】以上两例表明，“升降幕技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧六、“公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如sinsin22cos:sin 2cos 二2sin :tan .二tan ： = ta二卩1 tantan ：等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幕”技 巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例 1 求值：（1） cos20 cos40 cos60

4、 cos80 ；（2） tan70 -tan10 - 3tan70 tan10。【分析】第（1）小题中，除60是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式； 第（2）小题中两角差为 60，而 3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式=sin 40sin802sin20 2sin40cos60si n1602si n80sin 160116si n20 - 16tan nxnxn。tanx差角公式中出现所以 tan(k -1)xtankxankxtan(k1)x1 ,其是当旦b、3sin x cosx= 2(sin x 一一cos2n =四2 一 nN .2 si n

5、et例 2 求证：tan xta n2x ta n2xta n3x 川诩ta n(n 1)x ka n【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、了两角正切的积，可尝试.= 2,3,4/ ,n【简证】因为tan x=ta nkx - kx丄怡氏一 tan(k - Dx , k 1 +ta nkxta n(k 1)xtan xtan2xtanx tan3x -tan2x tan4x - tan3xtannxtan（n 1）x左边=ntanxtanxtanxtanxtannx=ntanx【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.

6、七、“辅助角变换”技巧通常把asin x - bcosx二a2 b2 sin（x ）叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作 用是把同角的正弦、余弦的代数和化为 y二Asinx :的形式，来研究其图象与性质尤3，一时，要熟记其变换式，如sinx cosx2（sin1 sinx “宀、亠 的值域.3 cosx实用标准文案a sin x bcosx，然【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了 后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式【简解】由1 sin x3 cosx得 3y ycosx =1 sin x ,所以 sin x - y cosx = 3y -1，2精彩文档从而.1 y2

7、sin(x 7；) =3y -1，其中辅助角由sin =cosb 十1决定. 小+ y2sin x =3胡解得。皿7设 t = sin x cosx (或 t = sin x - cosx)，贝U sinx cosx =t2 -1(或 sin xcosx =1 -t2),所以，由把问题转化【反思】（1）解答本题的方法很多， 比较多用的方法是类比斜率计算公式,为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的（ 2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果 .事实上，asinx+bcosx=a sinx+cosx i,可设 I a 丿-tan :，再进行“切化弦”变换，就得到了 “化

8、一公式”.a八、“换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现sinx cosx （或sin x-cosx ）与sin xcosx，这时，可把三角函数转化为熟悉的函数来求解sinx cosx1 sin x cosx0-【的值域.2丿丿【分析】 同时出现 sin x cosx 与 sin xcosx 时(si nx +cosxf =1 +2s in xcosx.【简解】设sin x - cos x = t,因为0乞x乞2t = 2(sin x + 所以t （1八2,又由(sinx+cosx 2 =1+2sinxcosx得,t2 -1sin xcosx =,2sinx cosxt2 -1所以，y -1+

9、si nx+cosx 1 + tt 一1由 t （1, .2得，0 ：八 2 一1【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、实用标准文案配”则是因题而异，无明显特征 ；（ 2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值I , I , 一、 2范围；（3）平方关系的变式（sin x+cosx ） =1 + 2sin xcosx应用广泛，如在解答命题“已知si nr，cost是方程x2 -kx k 0的两根，求k的值”时，关键步骤是 在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。x-yy-zz-xx-yy-zz-x例2 求证:+ + =*1 xy1 yz1 zx1 xy1

10、 yz1 zx【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论tan A ta nB - tan C =ta nAta n Bta nC相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设tan = x, tan ：二y, tan = z，因为很一 1=：-,所以 tan L- - - - I - tan ：,精彩文档所以,tan：- -tan ：1 tan ： tan :tan：- -tan :1 tan -：i tan :tan -tan1 tan ： tantan - tan :1 tan tan 二即，x-y y-z z-x1 + xy 1 + yz 1 +z

11、xx_y y_z z_x1 xy 1 yz 1 zx变形整理得 tani很 ；j亠 tani. r tan ：二 tani：；-l：, tani. jtan一 :-tan ： - tan tan - tan 二【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐 九、“万能置换”技巧“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的 正弦、余弦与正切2x例讨论函数y-的最大值与最小值1 +x【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解但类比函数式的结构与万能置换公式c x2ta n si nx芬相同，于是问题得到转化1 tan2 -2【简解】设x = tan t ：二，则2当且仅当t 也就是x = tan1时，24Ymax2x2 tan1 x2=1 ,1 tan2 -二 si nt,1 tan ： tan 1 tan tan:-当且仅当2也就是X討匕卜1时，ym”1.可考虑使用万能置也可以把三角问题转化为代数问题，如例即X11中，可设5巧，1 si n x3 cosxta n2? 2ta n? 12 22ta n2? 42【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时, 换公式；（2）运用万能置换技巧