常微分方程附标准答案习题

1、习题 3.4（ 一） 、解下列方程，并求奇解（如果存在的话） ：41、 y 2xdy x2 dy dx dx解：令 dy p，则 y 2xp x2 p4 ， dx两边对 x 求导，得 p 2p 2xdp 2xp4 4x2p3 dp dx dx1 2xp3 2x dp p 0dx13 从1 2xp3 0得 p 0时， x 1 3 ,y 3 2 ； 2p 4p从 2x dp p 0 得 x c2 ,y 2c c2 ， dx p pp 0 为参数， c 0为任意常数2、经检验得xyddxy212p34p33是方程奇解解：令 dy p ，则 y x p2， dx两边对 x 求导，得 p 1 2pdp

2、dxdp p 1 ，dx 2p ，解之得 x 2p ln p 1 2 c ，所以 y 2p p2 ln p 1 2 c ，且 y=x+1 也是方程的解，但不是奇解3、y xddyx 1 ddyxdy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为y cx 1 c2 ，4、y cx 1 c2c 中消去 c,x02得到奇解 y 1 x22dx xdx y 0解：这是克莱洛方程，因此它的通解为y cx c2 ，2xy 2ccx c0 中消去 c,得到奇解 4y x2 0 .25、dy 2xdy y 0dx dx解：令 dy p ，则 y 2xp p2 ， dx两边对 x 求导，得 p 2p 2xdp 2p dp

3、dx dxdx 2 x 2，dp p解之得 x 2 p cp 2 ，3 所以 y 1 p2 cp 1 ，36、 x可知此方程没有奇解 .解：原方程可化为 y xddxy dy1 2 ，ddxy 3 y ddyx 2 1 0dx dxdx这是克莱罗方程，因此其通解为 y cx 12 ， c2y cx 1从 y cx c2 中消去 c，得奇解 27x2 4y3 0.x 2c 3 0dx两边对 x 求导，得 x ce p 2p 2 ，7、 y x 1 ddyx ddyx 解：令 dy p，则 y x1 p p2，所以 y c p 1e p p2 2 ，可知此方程没有奇解 .8、2ddyxx a 2

4、0解：dy x a dx xdy x a dx xdy x a dxx2 3212y x 2 2ax 239 y c 2 4x x 3a 2可知此方程没有奇解 .9、y 2x dy 1 dy 3 dx 3 dx解：令 dy p，则 y 2x p 1 p3，dx 3两边对 x 求导，得 p 2 dp p2 dpdx dxdp p 2dx 1 p22解之得 x p 2 3ln p 2 c ，2所以 y 1 p3 p2 3p 4 6ln p 2 c ，3且 y 2x 23也是方程的解，但不是方程的奇解 .310、 dx x 1 dx y 0解：dy dy dyyxdx dx dx这是克莱罗方程，因此

5、方程的通解为 y cx c c2 ，2从 y cx c c2 中消去 c,x 1 2c得方程的奇解 x 1 2 4y 0.（二）求下列曲线族的包络 .1、y cx c2解:对 c 求导，得 x+2c=0, c x,22 2 2代入原方程得， y x x x ，2 4 42经检验得， y x 是原方程的包络 .42、c2 y cx2 1 02解：对 c 求导，得 2yc x2 0,c x ，2y44代入原方程得 x 2 y x 1 0，即 x4 4y 0，4y2 2y经检验得 x4 4y 0 是原方程的包络223、x c 2 y c 2 4 解：对 c 求导，得 2(x-c)-2(y-c)=0,

6、 c x y,2 代入原方程得 x y 2 8.经检验 ,得 x y 2 8 是原方程的包络 .4、x c 2 y2 4c 解：对 c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得 4 y2 4 x 2 ， y2 4 x 1 , 经检验，得 y 2 4 x 1 是原方程的包络 .(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之 和等于常数 c.解：设所求曲线方程为 y=y(x), 以 X、Y 表坐标系， 则曲线上任 点( x,y(x) )的切线方程为 Y y x y x X x ，它与 X 轴、Y 轴的截距分别为 X x y ，Y y xy ， y按条件有 xay ，y xy a ，化简得 y xy1y这是克莱洛方程，它的通解为一族直线acy cx 1 c ，acy cx它的包络是01 c ， a ac x21 c 1 c 2消去 c 后得我们所求的曲线 4ax x y a(四) 试证：就克莱洛方程来说， p-判别曲线和方程通解的 c-判别 曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。证：克莱洛方程 y=xp+f(p) 的 p-判别曲线就是用 p-消去法， 从 0y xcx ff cc 中消去 p后而得