八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径，三棱锥与长方体的外接球相同）图1图2图3图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2(2R).a2 b2 c2，求出 R例1（ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A. 16 B . 20C . 244，体积为16，则这个球的表面积是（D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是 (3)题-1（3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM MN,若侧棱SA 23 ,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 ，解：引理

2、：正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE, CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,同理：BC SA, AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3) -2 , AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面SBC ,SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互垂直，2(2R)(2 3)2(2 3)2(2.3)236，

3、即 4R236 ,题-2外接球的表面积是36a bsin A sin B孟 2r），001 2PA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）22R . PA2(2r)2 ; R2 r2 00120Q2（4）在四面体S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为（)A.11B.7C巴3d.403（5） 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 （6） 已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,贝U该几何体外接球的体积为

4、 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝V PD必过球心0 ;第二步：01为 ABC的外心，所以00!平面ABC，算出小圆01的半径01D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点P图8-3解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取 ABC的外心01，则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径AO

5、1 r，再算出棱锥的高 PO12 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： OA OiA OiO R （h R） r方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 2c.D .以上都不对3类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-3图9-41题设：如图9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根据正弦定理sin A sin B sin C2R，求出R。2.如图9-2，平面PAC 平

6、面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)OC2 OlC2 O1O2R2 r2 O1O2AC 2, R2 OQ23如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是 ABC的外 心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r，再算出棱锥的高 PO1 h (也是圆锥的高)；2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： OA O1A O1O R (h R) r，解出R4.如图9-3，

7、平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且PA AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2R . PA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12R , r2 OQ2例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2 _ 3，则该球的表面积为 。(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_(3)在三棱锥PABC 中，PAPB PC.3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为( )A.B.C. 4D.433(4)已知三棱锥S ABC的所有顶点都

8、在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径,且SC2;则此棱锥的体积为()A.B.UCDi6632类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图 10-2，10-3,直三棱柱内接于球题设：如图10-1，是任意三角形）（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心O的位置，01是 ABC的外心，则00,平面ABC ；第二步：算出小圆1。1 的半径 AO1 r ， 001AA12lh2（AA, h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理:OA2 O1A20102r2（2）2，解出R例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面,9且该六棱柱的体积为，底面周长为

9、3，则这个球的体积为8已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，（2）直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABAC AA 2 , BAC 120，则此EA EB 3, AD 2, AEB 60，4则直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球球的表面积等于（3）已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,则多面体E ABCD的外接球的表面积为（4）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB 4, AC 6, A -,AA13的表面积为类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出

10、 BCD和 ABD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ；第三步：解 OEH1，算出0H1，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH； 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝V三棱 锥P ABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB CD , AD BC , AC BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；a,b,c, AD BC x, AB CD y

11、, AC BD z,列方程组,2 ab22 x22 2b22 c2y(2R)22 ab22 xy zc,2222caz补充:VaBCDabc 1abc14 -abc63第二步：设出长方体的长宽高分别为 I 222 第三步：根据墙角模型，2R荷b2 C2图122 2 2 r2 x y z R 8 ，2 2 2R X ； Z，求出 R,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是(1)题(2) 个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱

12、锥的体积是( )A.33B.3C3D43412(3)在三棱锥ABCD中，若ABCD2, ADBC 3, AC BD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为。(4) 在三棱锥A BCD中，AB CD 5, AC BD 6,AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.(5) 正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设： APB ACB 90 ,0P,0C，贝U 0A OB 0C求三棱锥ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点0,连接1OP AB20为三棱锥PABC外接球球心，然后在0CP中求出半径)

13、例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(人125A.-12125BC3，沿AC将矩形 )125ABCD折成一个直二面角B AC D ,125(2)在矩形ABCD中，的外接球的表面积为9AB 2, BC63沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A BCDPACBD类型八、锥体的内切球问题 1题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DHBD，PO PH r，PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 匹 竺，解出r DH PD2题

14、设：如图15，四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步：求FH BC , PO PH r , PF是侧面 PCD的高；2 OG po第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式：，解出HF PF3题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：Vp ABCVo abcVo pabVo pacVo pbc11111Vp ABC SABC rSpab rSpac rSpbcr-(SABCS PABSpacS PBC ) r33333第三步：解出r3VP ABCSOABCSOPABSO PACSO PBC习题：1.若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2 ,SBSC4,则该三棱锥的外接球半径为()A. 3B.6C. 36D.92.三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为 3的正三角形，SA 2 3，则该三 棱锥的外接球体积等于3.正三棱锥S ABC中，底面ABC