初中不等式与不等式组超经典复习[1]

1、第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1. 掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义 2. 理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式 3. 会用数轴表示出不等式的解集 二、知识概要 1. 不等式：一般地，用不等号“”、表示不等关系的式子叫做不等式 2. 不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式 的解. 3. 不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集 4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 5. 不等式的性质： 性质一：不等式的两边

2、都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变 6. 三角形中任意两边之差小于第三边 . 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后 学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答 题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等. 第二节、教材解读 1. 常用

3、的不等号有哪些? 常用的不等号有五种，其读法和意义是： (1) “工”读 作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小 (2) “”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大 (3) “V”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小 (4) 读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (5) “W”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右 边的量 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ (1) 找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示 (2) 正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大 于、不小于、不超过、非负数、

4、至多、至少等的确切含义 (3) 选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是 2a+b. “不大于 就是“小于或等于”. JJ 列不等式为：2a+ b -3 ; xw 2. J n1 斗3 -2 -10 12 3_ 第三节、错题剖析 一、去括号时，错用乘法分配律 【例1】解不等式 3x+2（ 2-4x）19. 错解：去括号，得 3x+4-4x-15. 诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项. 正解：去括号，得 3x+4-8x19， -5x-3. 二、去括号时，忽视括号前的负号 【例2】解不

5、等式 5x-3 （ 2x-1）-6. 错解：去括号，得 5x-6x-3-6 ，解得 x-6 ， 所以-x-9，所以x9. 三、移项时，不改变符号 【例3】解不等式 4x-52x-9. 错解：移项，得 4x+2x-9-5 ， VI 即6x-14，所以 诊断：一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了 这一点. 正解：移项，得 4x-2x-9+5 , 解得2x-4，所以x14，解得 I 诊断：去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来错解在去掉分 母时，忽视了分数线的括号作用 正解：去分母，得 6x-（ 2x-5）14， 去括号，得 6x-2x

6、+514，解得 五、不等式两边同除以负数，不改变方向 【例5】解不等式 3x 6v 1+7x. 错解：移项，得 3x 7x V 1+6, 即一4x V 7,所以 - 诊断： 将不等式一4xV7的系数化为1时，不等式两边同除以一4后，根据不等式的基本 性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解 正解：移项，得 3x 7x W 【例6】x 2与a的和不是正数用不等式表示 . 错解及分析：x 2+a0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数. 正解：x 2+a 0. 【例7】求不等式一3勺的非负整数解. 错解及分析：整理得，3XW 16,所以故其非负整数解是

7、1 , 2, 3, 4, 5. 本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解 正解：整理得，3x 16,所以 3故其非负整数解是 0, 1 , 2, 3, 4, 5. IH 【例8】 解不等式3-5 (寸x-2 ) -4 (-1+5x ) 0. 错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x0，即4x3，所以 1 本题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每 一项相乘 正解：去括号得 3-x+10+4-20 x0 , 即-21x-17，所以 【例9】解不等式7x-64x-9. 错解及分析：移项，得 7x+4x-9-6 , 即11x-15，所以I 一元一次

8、不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号 正解：移项，得 7x-4x-9+6 , 即 3x-3，所以 x-1. 3十23烈v 十怎 【例10】解不等式 错解及分析：去分母，得 3+2 (2-3x )2,所以 X II 错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3” 正解：去分母，得 30+2 (2-3x ) 29,所以 M 【例11】 解不等式6x-6 1+7x. 错解及分析：移项，得 6x-7x 1+6. 即-x 7,所以 x-7. 将不等式-x 7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解 正解：移项，得 6x-7x1+6. 即-x -7. 【例

9、12】 解关于x的不等式 m( x-2 ) x-2. 错解：化简，得(m-1) x2 (m-1),所以x2. 诊断：错解默认为m-10，实际上m-1还可能小于或等于 0. 正解：化简，得(m-1) x2 (m-1), 当 m-10 时，x2; 当 m-10 时，x 3. g 错解：系数化为1，得I . 诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论 3 正解： 当a 1 0时，xm-l ； 当a= 1时，OX x 3，不等式无解； 3 当a 1 v 0时，xvI . -x 4x+2，且 4x+2 3x-2 , 所以 5x-3 3x-2. 移项，得 5x-3x

10、 -2+3. _ 解得x T. 诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x的条件下，任取一个 x 的值，看是否满足不等式组如取x = 1,将它代入5x-3 4x+2，得2 6 (不成立)可知乂一不是原方 程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集 正解： 由 5x-3 4x+2，得 x 5. 由 4x+2 3x-2，得 x 4. 综合x5和x 4,得原不等式组的解集为x5. 鮎十3 7 f 【例16】解不等式组 4* 错解：由不等式 2x+ 37可得x9可得x3. 所以原不等式组的解集为2x3. 诊断：由不等式性质可得，23,这是不可

11、能的. 正解：由不等式 2x+ 37可得x9可得x3. 所以原不等式组无解. I -3*:. 【例17】解不等式 错解：去分母，得 3 4x 1 9x.移项，得4x 9x 1 3合并，得13x 2系数化为1,得 诊断：本题忽视了分数线的双重作用，去分母时，若分子为多项式，应对其加上括号. 正解：去分母，得3(4x 1 )9x去括号，得3 4x+1 9x.移项，得4x 9x-1 3合并， 得13x 4系数化为1,得百一 色二Li 3 【例18】 若不等式组口的解集为x2,则a的取值范围是（ A. a2D. a 2 X2 ! 错解及分析：原不等式组可分为得a27 当a=2时，原不等式组变为3解集也

12、为x2. 正解：应为a 2 ,故选B. 2flF7+rT J CD 例 19】解不等式组3心-6一 错解：，得不等式组的解集为x-13. 诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中 正解：由不等式 2x7+x得到x7. 由不等式3xx-6得到x-3. 所以原不等式组的解集为x -1. 2x4-1a-2 -2 【例3】解不等式0苗 05 【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数但我们会注意到“ 0.25 X 4= 1, 0.5 X 2= 1 ”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以 2，这样就可以化去分母并且系数为整数 解：利用分数的性质（即

13、左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2）, 得 8x+4-2 （x 2） 2, 去括号，得 8x+4-2x+4 2, 移项，合并同类项，得 6x -6两边同时除以6得 x 0，则ab;如果a b0,则ay，试比较代数式-(8-10 x )与(8-10y )的大小，如果较大的代数式为正 数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？ 【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件xy，来 判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小 解：由两式作差得 -(8-10 x ) ( 8-10y ) = -8+10 x+8-10y = 10 x-10y. 因为 xy，所

14、以 10 x10y，即 10 x-10y0. 所以-(8-10 x ) ( 8-10y ). 斗 又由题意得-(8-10 x ) 0,即，所以x最小的正整数值为1. 【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买 一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80% 收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？ 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家 旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即 可比较出哪个旅行社的费用低 解

15、：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意 东方旅行社的收费为 2a + 70% a = 2.7a , 光明旅行社的收费为 3ax 80%= 2.4a. 因为 2.7a 2.4a = 0.3a0 , 所以实际上光明旅行社的收费较低. 【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为如果不设的话, 我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手 五、巧去括号 【例8】 -17 - 【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运 算简便. 解：去中括号，得山33 去分母，得 3x+60 v 28+8x，移项，合并同类项，得 -5x V -32 , 化系数

16、为I簡舞 【例2】解不尊比 2知-（务-曰卜訐一 【思考与分析】 观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便 解：去小括号，得 2齐一卜亡4宁补即 354 再去中括号得 去分毎得SO卄 移项冶并同类项得 血 M-24. 化系数为得心-饕 J 六、巧用“整体思想” 【例9】解不等式: 【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x 1视为整体，再去 中括号和分母，则可使运算简捷. 解：3 (2x-1 ) -9 (2x-1 ) -9 v 5. 合并同类项得 -6 X( 2x-1 ) v 14. 命2 解得 3 反思： 我们在解带有括号的一元一次不等

17、式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运 算简便 【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内 杯” .16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛(即每个队需同其他三个队各赛一场)，胜一场积3分， 平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分， 才能确保出线？ 【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论 出线积分的多少 (1) 若某一队三战全胜积 9分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的 两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积

18、4分，一胜一负积 3分，两平积2分，一平 一负积1分，两负积0分(三场比赛，肯定有一场负)因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线； (2) 若某一队三战两胜一平积 7分，则小组第二至少要两胜积6分才能出线； (3) 若某一队三战两胜一负积 6分，则其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积 6 分，不能确保小组出线 由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7 分，才能保证以小组第二的身份出线 解：需7分. 【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次； 积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜

19、球数都相等的球队，进球数多的队名次在前； 分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系 第五节、竞赛数学 2+t Zx-1 【例1】满足 23 的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等 于. 【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因 此我们应该先解不等式 解：原不等式去分母，得 3 (2 + x) 2 (2x 1), 去括号，移项，合并同类项，得 x 8，即 x 8. 满足x2a2，那么（） A. a-ca+cB. c-ac+a D. 3a2a C. ac-ac 【思考与分析】已知两个不等式分别是关于 a和c的不等

20、式，求得它们的解集后，便可以 找到正确的答案 所以a2，得 c0,则有cc. 两边都加上a，得a-ca+c，排除A; 由 a0,得 ac0,从而 ac-ac，排除 C; 由a0,两边都加上 2a,得3a2a，排除D. 答案应该选B,事实上，由a0,从而aa，两边同时加上 c,可得c ac+ a. 【例4】四个连续整数的和为S, S满足不等式r； Pj,这四个数中最大数与最小数的 平方差等于. 【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就 行了，由它们的和满足的不等式就可以求出 解： 设四个连续整数为 m-1, m m+1, m+2它们的和为 S= 4m+ 2.

21、 得肚竺鱼- 由 2219, 解得7mI b I Jbw |a| 或 b-|a| , I a II b I j I b Iw aI b I; (2) I a I - I b ll a+b I 11 a I + I bl; (3) I a I - I b II a-b I I a I + I b I . 由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算通常的手法是按照绝对值 符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有 绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、 不漏下面结合例题予以分析. 【

22、例5】解不等式丨x-5 | - | 2x+3 | 1 【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号 .分三个区间讨论: 解：(1)当当x戈时，原不等式化为-(x-5 ) - :- (2x+3) 1 , 解得x-7，结合x|二|,故x-7是原不等式的解； _3_ (2)当一亍 x 5时，原不等式化为 -(x-5 ) - (2x+3)5时，原不等式化为： x-5-(2x+3)-9，结合x5，故x5是原不等式的解. 综合(1), (2), (3)可知，鼻是原不等式的解. 第六节、本章训练 基础训练题 1. 不等式x+ 3V 6的非负整数解为（）. A. 1 ，2 B. 1 ，2，3 27且大于10，这样

23、的数组共有（ C. 1，2，0 D. 1 ，2，3，0 A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 2a-1 3.】 的值不小于一2，则a的取值范围是（ ) 2.已知三个连续奇数的和不超过 2 C, 1去- 2 D. 车 J_x_ 4. 若4 + 2x的值不大于8丢的值，那么x的正整数解是 5. 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了 方便面，还可以买多少根火腿肠？ |/.曰 米是 6. 小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5 他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么

24、？ 答案 1. C2. B3. C4. 1, 2, 3 5. 解：设还可以买 x根火腿肠. 由题意我们可列不等式5 X 3+ 2x 26, 解得 因为x必须为正整数，所以 x = 1 , 2, 3, 4, 5. 答：小明还可以买火腿肠的数目不超过5根. 6. 解：17v xv 18. 提高训练题 1. 解不等式484 2. 李明在第一次数学测验中得 76分，在第二次测验中得 92分，设第三次测验的分数为x，且三 次的平均分不低于 85分，求x的取值范围. 3. 小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数不少于5件， 路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：

25、准备400元，准备500元，准备510元，准备610 元.请你说明哪种方案可行？ 4. 某商城以单价260元购进一批DVD机,出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售， 但要保证利润不低于 10% . 小明说：“可降价 100元.” 小英说：可降价 150元.” 小华说：“降价不能超过 112元.” 你同意他们谁的说法？ 5. 巧解下列不等式： (1) 0.375X-2 6 (2) 12-3x v 8-2x q. I勺3 0.5 m=3 rn= 7. 已知 答案 1 斛:将原不等盍裂项得孕一亠一字一丄 4 4 b 8 辛讣儿约分得扌十計”+p. 移翩時子卜T+卜 合并得，解得 尤肩-

26、 oS 2. 解：由题意得我们可列不等式 *+92曲 385,解得 x 87. 3. 解：设小明准备了 x元钱. x-lO 我们由题意可列不等式IOO 5. 解得x 510. 所以准备510元或准备610元都可以. 4. 解：设降价x元. 5. (1) x -16 (提示：不等式两边同乘 8 ); -27 - 柑夕（握示:原不尊式先移项再合幷即 可消 （35-1 260X 10%.解得x 1，则实数M= a, N 一 的大小关系是（） A . P N MB. M N P C . N P MD. M P N 2. 若0 v av 1,则下列四个不等式中正确的是（）. A- If B. s匚I a

27、a C. D一 亡丄a da 3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（） eb血 I_ *1 零 -2-10123 b+c 0 : a+b a+c; bc ac; ab ac. A . 1 个 B. 2 个 C . 3 个 D. 4 个. 4. 我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3 分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分 不少于50分，问小军至少要答对几道题？ 5. 已知前年物价涨幅(即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比)为20%，去年物价 涨幅为15%，预计

28、今年物价涨幅降低 5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55%，明年 物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低 x个百分点(x为整数)则x=(). A. 6B. 7C. 8D. 9 6. 某商场计划投入一笔资金，采购紧销商品 .经调查发现，如月初出售，可获利 15%，并可用本 和利再投资其他商品， 则月末又可获利10%;如等到月末出售可获利 30%,但需要支付仓储费用 700元. 请问根据商场资金多少，如何购销获利较多？ 7. 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们 的单价分别为2元和32元，经了解知道这两种灯的照明效果和使用寿命都是一样的.

29、已知小王家所在地 的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。 答案 1.【分析与解】 由于M、N、P都是含字母的式子， 不易比较其大小.不妨用特殊值法.由 a 1，取 a = 4,贝U M=4, N=2, P=3,易知MPN,故选 D. 注：用特殊值法解选择题时，一般取能使运算简单的数为特殊值，如本例取a=4. 比超：由不紡取圧=4厕丄也由 d巧 3. 【分析与解】本题不妨取a = 2.5 , b = 0.5 , c= -1.5，这样就把利用不等式基本性质解答较难的问题变成了简单的计算题了，易知、正 确，故选C. 4. 【思考与解】首先要清楚记分原则，

30、抓住关键“最后得分不少于50分”，列出不等式解决问 题. 方法一：设小军答对x道题，依题意，得 3x ( 20-x )50, 解得 x 17.5. 因为x为正整数，所以x的最小正整数为18. 方法二： 设小军答对x道题，依题意，得 3 X 20 - 4 (20 - x) 50 , 解得 x 17.5. 因为x为正整数，所以x的最小正整数为18. 方法三：设小军答错x道题，依题意，得 3 X 20 - 4x 50, 解得x 2.5. 因为x为正整数，所以x的最大正整数为2, 所以小军至少答对18道题. 1.20 X( 1 + 15%)= 1.38，预 1+ (10-x )%7.9，因为x为整数，

31、最小值为 8) 6. 解：设商场有本金 x元，采取月初出售商品的办法到月末可共获利 办法可以获利y2元，则由题意可得 y1 = x 15% + 10%( x + 15%x) = 0.265x， y2= 30 % x-700 = 0.3x 700， 所以 屮一y2 = -0.035(x-20000). 所以当x 20000时，y1 y2，选月末出售. 当xy2,选月初出售. 当x=20000时，y1 = y2，任选一种办法. 7. 解：设使用寿命超过 x小时时，选择节能灯合算. 2. +O.5X -1- 3 2+A.5. 由题意得00 解得 x 1000. 所以当这两种灯的使用寿命超过1000小时时，选择节能灯才合算 综合训练题 一、填空题（每题 5分，共30分） （?t-3 ） 35.若初三男生小明的体重是 50kg，那么小明的握力至少要