初三数学有关圆的经典例题

1、/ 0A 1,二 cos Z OAD AD 3 OA 2 cos Z OAE AE 2 OA 2 Z OAD=30 ,Z OAE=45。，故Z BAC=75 初二数学有关圆的经典例题 1.在半径为1的O O中，弦AB、AC的长分别为、3和.2,求/ BAC的度数。 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注 意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分 AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作0D丄AB于D，过O作0E丄AC于E, AB “3, AC -2，二 AD , AE 2 2 1 OD交AB于F， 当AB、AC

2、在圆心O同侧时，如下图所示, 同理可知 Z OAD=30 ,Z OAE=45 , Z BAC=15 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2.如图： ABC的顶点A、B在O O上，O O的半径为 R, O O与AC交于D, 如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点， (1)求证： ABC是直角三角形; 2 求型的值 BC 分析：(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结则AF=FB , OD丄AB，可证 DF是厶ABC的中位线; （2）延长DO交O O于E,连接AE，由于/ DAE=90 2R,故巫可求 BC 2 1 DAE，可得 AD2 DF DE，而 DF BC,

3、DE 2 解：（1）证明，作直径 DE交AB于F,交圆于E v D为AB的中点， AB丄DE , AF FB 又 AD=DC 1 DF / BC, DF BC 2 AB丄BC, ABC是直角三角形。 (2)解：连结AE v DE是O O的直径 ./ DAE=90 而AB丄DE, . ADFEDA .AD DF ，即AD 2 DE DF DE AD v DE 2R, DF丄 BC 2 2 AD2 AD BC R,故 R BC 例3.如图，在O O中, AB=2CD，那么（ F D A. AB 2CD B. AB 2CD C. AB 2 CD D. AB与2 CD的大小关系不确定 分析：要比较AB

4、与2CD的大小，可以用下面两种思路进行： （1）把AB的一半作出来，然后比较 1 AB与CD的大小。 2 把2 CD作出来，变成一段弧，然后比较2 CD与AB的大小。 解：解法（一），如图，过圆心 0作半径OF丄AB，垂足为E, 则 AF FB 1 AB 2 1 AE EB AB 2 1 v AB 2CD，二 AE CD - AB 2 v AF FB，二 AF FB 在厶AFB中，有 AF+FBAB AB 二 2AF AB，二 AF，二 AF CD,二 2 AF 2CD 2 AB 2 CD 选 A o 解法（二），如图，作弦 DE=CD，连结 CE 7 贝y de cd !ce 2 在厶CDE

5、中，有 CD+DECE 2CDCE v AB=2CD， ABCE AB CE， AB 2CD 选 A o 例4. 如图，四边形 ABCD内接于半径为2的OO,已知AB 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分/ ADC，延长 AB、DC交于E，易得 EBCEDA，又可判定 AD是O O的直径，得/ ABD=90。，可 证得 ABDEBD，得DE=AD，利用 EBCEDA，可先求出 CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD 1 v AB BC AD 1 AB BC，AD 4，/ ADB Z EDB /O O的半径为2 , AD是O O的直径 / ABD= / EBD=90

6、。，又/ BD=BD ABD EBD , AB=BE=1 , AD=DE=4 /四边形ABCD内接于O O, ./ EBC= / EDA，/ ECB= / EAD CE BC AE AD BC AD CE AE BC(AB BE) 1 11 AD2 例5.如图，AB、AC分别是O O的直径和弦, (1)当厶PCF满足什么条件时，PC与O O相切，为什么? CD DE CE 417 2 2 D为劣弧 AC上一点，DE丄AB (2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD2 DE DF，为什么？ 分析：由题意容易想到作辅助线 0C， (1)要使PC与O O相切，只要使/ PCO=90。，问题转化

7、为使/ OCA+ / PCF=/ FAH+ / AFH就可以了。 (2)要使AD2 DE DF，即使也 匹，也就是使 DAFDEA DE AD 解：(1 )当 PC=PF，(或/ PCF= / PFC)时，PC 与O O 相切， 下面对满足条件 PC=PF进行证明， 连结 0C，则/ OCA= / FAH， / PC=PF，.Z PCF=Z PFC= / AFH， / DE 丄 AB 于 H，/ OCA+ / PCF= / FAH+ / AFH=90 DE DF，理由如下: 即0C丄PC,. PC与O O相切。 （2）当点D是劣弧AC的中点时，AD2 连结 AE ,v AD CD，二/ DAF

8、 Z DEA AD DF DE AD 又/ ADF Z EDA, DAF DEA , 即 AD 2=DE DF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求 PCF满足什么条件时，PC与 O 0相切，可以反过来，把PC与O 0相切作为条件，探索 PCF的形状，显然有多个答案； 第（2）问也可将AD 2=DE DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。 1 例6.如图，四边形ABCD是矩形（AB -BC），以BC为直径作半圆0,过点 2 D作半圆的切线交 AB于E,切点为F,若AE : BE=2 : 1，求tanZ ADE的值。 D C 分析：要求tanZ ADE，在Rt AED中

9、，若能求出 AE、AD，根据正切的定义就可以 得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到 ED和AE的关系, 进一步可求出 AE : AD。 解：四边形 ABCD为矩形， BC丄AB，BC丄DC AB、DC切O 0于点B和点C， / DE 切O 0 于 F , DF=DC，EF=EB，即 DE=DC+EB， 又 AE : EB=2 : 1，设 BE=x，贝U AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x ， 在 Rt AED 中，AE=2x，DE=4x， AD 2、3x 则 tan Z ADE AE 2x AD 2、3x 点拨：本题中，通过观察图形，两

10、条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7.已知O 01与O 02相交于A、B两点，且点 02在O 01上， (1)如下图，AD是O 02的直径，连结 DB并延长交O 01于C,求证C02丄AD ； (2)如下图，如果 AD是O 02的一条弦，连结 DB并延长交O 01于C,那么C02所在 直线是否与 AD垂直？证明你的结论。 分析：(1)要证 C02丄AD，只需证/ C02D=9O。，即需证/ D+ / C=90 ，考虑到 AD是O 02的直径，连结公共弦 AB,则/ A= / C,Z DBA=90 ，问题就可以得证。 (2)问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC,直观

11、上看，AC等于 CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到 02在O 01上，连结A02、D02、B02,可得/仁 / 2，且有 A02CBA D02C，故 CA=CD，可得结论 C02丄AD。 解：(1)证明，连结 AB , AD为直径，则/ ABD=90 / D+ / BAD=90 又/ BAD= / C，/ D+ / C=90 / C02D=90 , C02丄 AD (2) C02所在直线与 AD垂直， 证明：连结 02A、02B、02D、AC 在厶A0 2C与厶D02C中 / 02A 02B，二 A02 B02，/ 1 Z 2 / 02BD= Z 02AC，又Z 02BD= Z 02DB

12、,/ 02AC= Z 02DB / 02C=02C,.A A02CBA D02C, CA=CD , CAD为等腰三角形， / C02为顶角平分线， C02丄AD。 例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心， 以a为半径的圆相切于点02、03，求0Q2、0203、0301围成的图形面 积S。（图中阴影部分） A 分析：阴影部分面积等于三角形面积减去 3个扇形面积。 解：SA ABC .3 2 a ， 3S扇 3X 6 a 2 (2) 此题可变式为如下图所示A、 O B、。C两两不相交，且它们的半径都 为a，求图中三个扇形 2 （阴影部分）的面积之和 分析：因三个扇形的半

13、径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/ A+ ZB+ZC=180， 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为 原题可在上一题基础上进一步变形：O Ai、O A2、O A3-O An相外离，它们的半径都 是1,顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解: (n 2) 2 、填空题（10X 4=40分） 1. 已知：一个圆的弦切角是50。，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 。 2. 圆内接四边形 ABCD中，如果/ A :/ B:/ C=2： 3： 4,那么/ D=度。 3. 若O O的半径为3，圆外一点 P到圆心0的距离为6，

14、则点P到O O的切线长为 4. 如图所示CD是O O的直径，AB是弦，CD丄AB于M ,则可得出AM=MB , AC BC 等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论: 11 5. O01与O 02的半径分别是3和4，圆心距为4.3，那么这两圆的公切线的条数是 O 6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是 6cm，则它的侧面展开图的面积是 。 7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的 半径是。 8若PA是O 0的切线，A为切点，割线 PBC交O 0于B，若BC=20 , PA= 10 J3，贝y PC 的长为。 9.如图5, ABC内接于O

15、 0,点p是AC上任意一点（不与A、C重 合）， ABC 55 ,贝U P0C的取值范围是 . 10如图，量角器外沿上有A B两点，它们的读数分别是70、 40 ,则/ 1的度数为. （第9题图） 11 已知e O的半径是3，圆心 O到直线I的距离是3，则直线l与e O的位置关系 是 12 .如图，已知点 E是圆O上的点，B、C分别是劣弧 AD的三等 分点， BOC 46，贝V AED的度数为 13 如图，RtA ABC 中 ACB 90, AC 4 , BC 3 将 ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体 的侧面积 （取3.14，结果保留两个有效数字） 14.如图8，两个同

16、心圆的半径分别为 I 第14题图 C 15 如图，AB是e O的直径，AM为弦， MAB 30o，过M点的e O的切线交 AB延 长线于点N 若ON 12cm，则e O的半径为cm 16如图，Rt ABC是由Rt ABC绕B点顺时针旋转而得，且点 A B, C在同一条 直线上，在 Rt ABC中，若/ C 90。, BC 2 , AB 4，则斜边AB旋转到AB所 扫过的扇形面积为 （15题图） 17.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA, PB ,切点分别是 A, B，若PA 8cm , C是AB上的一个动点（点C与A, B两点不重合），过点C作圆0的切线，分别交PA, PB 于点D, E

17、，贝V PED的周长是 18、在平面内，O 0的半径为5cm,点P到圆心0的距离为3cm,则点P与O 0的位置关系 是. 19如图8，在Rt ABC中， 以BA 20.如图9,点A, B是e O上两点, 合）连结AP, PB ,过点O分别作OE C 90o, AC BC为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 3 将其绕B点顺时针旋转一周，贝吩别 AB 10，点P是e O上的动点（P与A, B不重 AP于点E，OF PB于点F，则EF 图9 17 三、解答题： 1. 已知：如图所示，O O1和O O2相交于A、B两点，过B点作O O1的切线交O O2于D , 连结DA并延长与O O1相交于C点，连

18、结BC。过A点作AE / BC与O O2相交于E点，与 BD相交于F点。 (1) 求证：EF BC=DE AC ; (2) 若 AD=3 , AC=1 , AF 、3，求 EF 的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同 颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案 成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图， 不写作法）。 3已知： ABC是O O的内接三角形，BT为O O的切线，B为切点，P为直线AB上一 点，过点P作BC的平行线交直线 BT于点E,交直线AC于点F。 (1)

19、PA PB=PE PF; 如图所示，当点 P在线段 （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请 证明；如果不成立，请说明理由； (3)若 AB 4 2 , COS Z EBA -，求O O 的半径。 3 4 如图， ABC是e O的内接三角形，点 C是优弧AB上一点（点C不与A B重合）， 设 OAB , C （ 1）当35时，求 的度数；（2）猜想 与 之间的关 系，并给予证明. 5、（8分）已知：如图，在 ABC中, AB=AC以BC为直径的半圆 与边AB相交于点D,切线DEI AC垂足为点 E. 求证：（1） ABC是等边三角形；（2） AE - CE

20、3 6、已知：如图，在 Rt ABC中， C 90，点0在AB上，以0为圆心，0A长为半 径的圆与 AC, AB分别交于点 D, E，且 CBD (1 )判断直线bd与eO的位置关系，并证明你的结论； (2)若 AD:AO 8:5，BC 2，求 BD 的长 7、如图，在梯形 ABCDK AB/ CD O O为内切圆，E为切点， (I)求 AOD 的度数；(U)若 ao 8 cm, DO 6 cm,求 OE 的长. 8、已知Rt ABC中, acb 90 ， CA CB ,有一个圆心角为45 ，半径的长等于CA 的扇形CEF绕点C旋转，且直线 CE CF分别与直线 AB交于点M N. (I)当扇形CEF绕点C在 acb的